1、山西省太原市2016届高三第二次模拟考试理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，且，则（ ）A7 B6 C5 D4【答案】A考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，表示复数的点为，则复数的共轭复数是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：由图可知，所以，故其共轭复数为，选项为A.考点：（1）复数的几何意义；（2）复数的运算.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又单调递增的函数是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：对于，在其定义域内不具有单调性，故A 错误；对于为减函数，故B错误；对于
2、即为增函数又为奇函数，故C正确；对于不满足增函数，故D错误.故选项为C.考点：函数的奇偶性与单调性.14.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于（ ）A30 B24 C12 D4【答案】B考点：几何体的体积.5.若函数同时满足以下三个性质：的最小正周期为；对任意的，都有；在上是减函数，则的解析式可能是（ ）A B C D【答案】B考点：由的部分图象确定其解析式.6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数的可能取值的集合是（ ）A B C D【答案】C考点：程序框图.7.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【解析】试
3、题分析：由得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，作出不等式组对应的平面区域如图，则，的最大值为，最小值为，直线过点时，取得最大值为，经过点时取得最小值为，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上-2a1，故选：A考点：简单的线性规划.18.已知三棱锥中，底面为边长等于的等边三角形，垂直于底面，那么三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D【答案】D考点：球的表面积和体积.【方法点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径是
4、解答的关键由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径，和球心距，代入，可得球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积9.已知双曲线与函数的图象交于点，若函数在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（ ）A B C D【答案】B考点：（1）利用导数研究曲线上某点的切线方程；（2）双曲线的简单性质.【方法点睛】本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法，结合双曲线的标准方程与离心率，对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求，难度中档.设出切点坐标，通过导数求出切线方程的斜率，利用斜率相等列出方程，即可求出切点坐
5、标，代入双曲线方程，结合然后求解双曲线的离心率10.已知正项数列的前项和为，若和都是等差数列，且公差相等，则111（ ）A50 B100 C1500 D2500【答案】D【解析】试题分析：设等差数列和的公差都为，则，两边平方可得，同理可得，联立消可得：，故或，故时，故不成立；当时，成立；故，故选：D考点：等差数列的前项和.11.已知圆，点是直线上的动点，若在圆上总存在两个不同的点，使，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A考点：平面向量的基本定理及其意义.1【思路点晴】考查向量加法的平行四边形法则，圆心和弦中点的连线垂直于弦，以及两点间的距离公式，一元二次不等式的解法，属中档题；根据条件
6、可画出图形，根据图形便可看出的中点在圆内，从而可得到圆心到直线的距离小于半径即，这样联立，转化为关于的一元二次不等式，即可得出的取值范围12.已知函数，若成立，则的最小值为（ ）A B C D【答案】B1111考点：（1）利用导数研究函数的极值；（2）函数的值.【方法点晴】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.已知的
7、展开式中含的项的系数为30，则实数_.【答案】考点：二项式定理.14.在区间上随机抽取两个数，则事件“”发生的概率为_.【答案】【解析】试题分析：设，点落在正方形内部（含边界）作曲线，交正方形于，两点，则满足条件的点落在区域内（含边界）由于“”发生的概率为故答案为：考点：几何概型.【方法点睛】本题考查了几何概型的概率计算，作出符合条件的区域是解决几何概型的方法，属于中档题设，点落在正方形内部（含边界）作曲线则满足条件的点落在曲线与正方形所围成的区域内使用定积分求出封闭区域的面积，则“”发生的概率为115.在中，角的对边分别是，若，则的大小是_.【答案】考点：正弦定理.16.已知关于的函数的最大
8、值为，最小值为，若，则实数的值为_.【答案】【解析】试题分析：函数令，则，设的最大值为，最小值为，则，即有，解得故答案为：考点：函数与方程的综合运用.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知是数列的前项和，且，数列中，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设（），求的前项和.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）时，可得，时，两式相减，得，的奇数项和偶数项分别以为公差的等差数列，当时，；当，时，.（2），也适合，再由错位相减得.考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.118.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，且，.
9、（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正切值的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，为轴，在平面中过作的垂线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值（2）在中，且是平面内的两条相交直线，面，建立如图所示的坐标系，则，取平面的一个法向量，设平面的一个法向量，由，得，取，则，设二面角的大小为，则，二面角的正切值为.考点：（1）平面与平面垂直的判定；（2）平面与平面垂直的判定.19.（本小题满分12分）近几年来，我国许多地区经常出现雾霾天气，某学校为了学生的健康，对课间操活动做了如下规定：课间操时间
10、若有雾霾则停止组织集体活动，若无雾霾则组织集体活动，预报得知，这一地区在未来一周从周一到周五5天的课间操时间出现雾霾的概率是：前3天均为50%，后2天均为80%，且每一天出现雾霾与否是相互独立的.（1）求未来一周5天至少一天停止组织集体活动的概率；（2）求未来一周5天不需要停止组织集体活动的天数的分布列；（3）用表示该校未来一周5天停止组织集体活动的天数，记“函数在区间上有1111且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率.【答案】（1）；（2）分布列见解析；（3）.试题解析：（1）未来一周天都组织集体活动的概率是，则至少有一天停止组织集体活动的概率是.（2）的取值是，则，不需要停止组织集体活动
11、的天数分布列是012345考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）离散型随机变量及其分布列120.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为.（1）已知点是椭圆上两点，点为椭圆的上顶点，的重心恰好是椭圆的右焦点，求所在直线的斜率；（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点，且，求四边形的面积最小时直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为，列出方程组求出，由此能求出椭圆方程为，由重心公式得，由此结合点差法能求出直线的斜率；（2）设，由题意推导出，若直线中有一条斜率不存在，求
12、出四边形的面积为；若直线，的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得，由此利用韦达定理、弦长公式求出，同理可求得，由此能求出四边形的面积的最小值及此时直线的方程（2）设，则由题意：，即整理得：，即，所以.若直线的斜率存在，设直线的方程为：，则由，得，则，同理可求得，故四边形的面积：（当取“”），此时，四边形面积的最小值为，所以直线方程为：或.考点：椭圆的简单性质.【方法点睛】本题考查直线的斜率的求法，考查四边形的面积的最小值的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用，难度较大.在直线与圆锥曲线相交的过程中，当涉及到弦的中点及直线的斜率
13、时，主要利用点差法及整体代换的思想构造直线的斜率求解；把已知条件转化为，分为斜率存在和不存在两种情况进行讨论.21.（本小题满分12分）已知函数（，为自然对数的底数）.（1）若对于任意，总存在，使得成立，求的最小值；（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）设，则时，在上为减函数，所以只要，所以只要在上有解即可.即在上有解，设，因为，所以在上为增函数，只要，所以的最小值是.（2），由，得，又.若函数在区间内有零点，设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间内不可能单调，则在区间内不可能恒为正，也不可能恒为负，故在区间内存在零点，同理在区间内存在零点，故函
14、数在区间内至少有三个单调区间，在区间内至少有两个零点.设，.当或时，函数在区间内单调，不满足“函数在区间内至少有三个单调区间”；当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，因此，又，令，则，令，得，列表如下：+-111增减依表格知：当时，恒成立，于是，函数在区间内至少有三个单调区间满足，即，解得，综上所述，的取值范围为.考点：（1）导数在最大值、最小值问题中的应用；（2）函数的零点.【方法点睛】本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点是一道导数的综合题，难度较大当遇到存在成立时，把看作自变量，当设计到任意恒成立时，把看作自变量，转化为最大或最小值问题；
15、对于零点的个数转化为图象与轴交点的个数，在本题中利用数形结合的思想，得到函数单调区间的个数，在转化为导函数零点的个数进行讨论求解.1请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，与相交于两点，是的直径，过点作的切线交于点，并与的延长线交于点，分别与，交于两点.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（2）连结，是的直径，是的切线，由（1）知，,又是的切线，（或，是的直径，由垂径定理得，,.）考点：（1）切线的性质；（2）相似三角形的判定与性质.123.（本小
16、题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，设倾斜角为的直线的方程为，（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于不同的两点.（1）若，求线段中点的直角坐标；（2）若，其中，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）曲线的普通方程是,当时，设点对应的参数为，直线方程为，（为参数），代入曲线的普通方程，得，设直线上的点对应参数分别为，则，所以点的坐标为.（2）将代入曲线的普通方程，得，因为，所以，解得，由于，故，所以直线的斜率为.考点：（1）简单曲线的极坐标方程；（2）参数方程化成普通方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，对于，都有成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）令，得；令，得.当时，原不等式化为，即，无解；当时，原不等式化为，即，得.当时，原不等式化为，即，得，所以原不等式的解集为.（2）令，当时，由，得，对于使得恒成立，只需 即可，作出的大致图象，易知，得考点：绝对值不等式的解法.1