1、河南省豫北重点中学2016届高三下学期第二次联考数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知为虚数单位，若为纯虚数，则复数的模等于（ ）A B C D【答案】D考点：复数概念及其运算.【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数
2、形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.熟练记忆.2.已知集合，集合，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：集合，集合，故考点：1.集合交集；2.分式不等式.3.已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（ ）A B C D2【答案】D【解析】试题分析：依题意，渐近线为.考点：双曲线离心率. 14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A8 B9 C10 D11【答案】C考点：算法与程序框图.5.某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为
3、此将他们随机编号为1，2，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间的人做试卷，编号落在的人做试卷，其余的人做试卷，则做试卷的人数为（ ）A10 B12 C18 D28【答案】B111【解析】试题分析：人抽一个，长度为，故抽取人.考点：系统抽样.6.下列命题正确的是（ ）A命题“，均有”的否定是：“，使得”；B“命题为真命题”是“命题为真命题”的充分不必要条件；C，使是幂函数，且函数在上单调递增；D若数据的方差为1，则的方差为2.【答案】C考点：1.常用逻辑用语；2.方差；3.函数单调性.7.九章算术“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各
4、节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ）A升 B升 C升 D1升【答案】A【解析】试题分析：依题意，解得，故.考点：等差数列.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D【答案A【解析】试题分析：由三视图可知，从左往右为半个圆锥，一个圆柱，一个半圆，故体积为.考点：三视图.9.已知函数的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当111时，的最大值和单调区间分别为（ ）A1， B1， C， D，【答案】D考点：三角函数图象与性质.110.设实数满足约束条件，已知的最大值是，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分
5、析：画出可行域如下图所示，由已知条件可知在点处取得最大值，故.考点：线性规划.11.已知直线和圆相交于两点，当弦最短时，的值为（ ）A B-6 C6 D【答案】A考点：直线与圆的位置关系.【思路点晴】这个题目是直线与圆的位置关系的题目，首先我们来确定直线过的顶点，将直线含有的式子合并同类项，可有，故直线过定点，并且可以判断这个点是在圆内的，圆心坐标为，弦最短时，故我们求出后，可求得，由此就确定了直线的斜率.111112.已知函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】B考点：函数导数与不等式.【思路点晴】两个函数图象存在关于轴的对称点
6、，也就相当于把其中一个函数先关于对称，对称得到的图象和另一个函数的图象有交点，本题中函数转换为函数，要使与有交点，也就是有零点，转化为的最小值不大于零，最大值不小于零来解决.第卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13.二项式展开式中含项的系数是_.【答案】【解析】试题分析：通项为，所以，系数为.考点：二项式展开式.114.已知平面向量，满足，则的最大值为_.【答案】考点：向量运算.15.已知是周期为2的奇函数，当时，则的值为_.【答案】【解析】试题分析：.考点：函数的周期性与奇偶性.【思路点晴】本题的主要思路就是将要求的中的转换到区间内，因为已知条件是当时，
7、.由于是周期为的周期函数，故也是周期为的周期函数，所以就有，这样就变成了的形式，在根据是奇函数，有即可就得结果.116.等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为_.【答案】考点：1.等差、等比数列的概念；2错位相减法.【思路点晴】题目中包含了等差数列和等比数列，我们第一步采用的是基本元的思想，将已知条件全部化为，联立方程组，解出，即有.第二部就是处理的前项和，这是一个等差数列乘以一个等比数列，我们采用的是错位相减法，求出前项和后，使，也就可以求得的最小值为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.
8、（本小题满分12分）在中，角的对边分别是，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）由正弦定理可得，,从而可得，又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，因此，.（2），由可知，所以，从而,因此，故的取值范围为.考点：解三角形.118.（本小题满分12分）某市于今年1月1日起实施小汽车限购政策，根据规定，每年发放10万个小汽车购买名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半，政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示.申请意向年龄111摇号111竞价（人数）1111合计111111
9、电动小汽车（人数）非电动小汽车（人数）30岁以下（含30岁）501005020030至50岁（含50岁）5015030050050岁以上10015050300合计2004004001000（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）分别为；（2）；（3）分布列见解析，.试题解析：（1）采取分层抽样的方法从30到50岁的人中抽到10人，从30至50岁的有500人，
10、每个人被抽到的概率为.根据题意得出：电动小汽车，摇号的有，非电动小汽车，摇号的有，竞价的有.（3）根据题意得出：样本总人数1000人，电动小汽车摇号的有200人，非电动小汽车摇号的有400人，竞价的有400人，总共有1000人.用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为，服从二项分布，摇号申请电动小汽车意向的人数记为.；，的分布列为01234或考点：1.分层抽样；2.二项分布.119.（本小题满分12分）如图所示，在四棱柱中，底面是梯形，侧面为菱形，.（1）求证：；（2）若，点在平面上的射影恰为线段的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见
11、解析；（2）.试题解析：（1）因为侧面为菱形，所以，又，所以，从而.（2）设线段的中点为，连接，由题意知平面，因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线，射线，射线为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，设，由可知，所以，从而，所以，由可得，所以，设平面的一个法向量为，由，,得，取，则，所以，又平面的法向量为，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.考点：空间向量与立体几何.20.（本小题满分12分）椭圆的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为.（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；（2）若
12、椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，证明：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.试题解析：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为，该弦中点为，则有，相减得：，由于，且，所以得：，故该直径的共轭直径所在的直线方程为.（2）椭圆的两条共轭直径为和，它们的斜率分别为，四边形显然为平行四边形，设与平行的弦的端点坐标分别为，则，而，故，由得的坐标分别为，故，同理的坐标分别为，设点到直线的距离为，四边形的面积为,所以，则，为定值.考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断；（2）弦长、弦中点问题；（3）轨迹问题；（4）定值、最值
13、及参数范围问题；（5）存在性问题常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系. 研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解点差法，设而不求是一个很经典的方法.121.（本小题满分12分）设函数，.（1）求函数的单调区间；（2）设，若对于任意给定的，方程在内有两个不同的实数根，求的取值范围.（其中是自然对数的底数）【答案】（1）单调递增区间是，递减区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）先求定义域和求导，令，有，这是一个开口向下的二次函数，判别式大于零，且有一个正根和一个负根，负根不再定义域内，故函数的单调
14、递增区间是，递减区间是；（2）先用导数判断函数在区间的值域为，令，依题意知在上有一个实数根，且在上单调递增；在上单调递减，根据方程在内有两个不同的实数根，所以，且，由此解得.1（2），当时，是增函数；时，是减函数，可得函数在区间的值域为，令，则，由，结合（1）可知，方程在上有一个实数根，若，则在上单调递增，不合题意，可知在有唯一的解，在上单调递增；在上单调递减.，方程在内有两个不同的实数根，所以，且由，即，解得，由，即，即，因为，所以，代入，得，令，可知在上单调递增，而，则，所以，而在上单调递增，所以.考点：函数导数与不等式.【方法点晴】求解导数有关的问题，先要求定义域，然后导数等于令，求出相
15、应的极值点，结合导函数图象也就知道了函数的单调区间.本题中求导后有，这是一个开口向下的二次函数，判别式大于零，且有一个正根和一个负根，负根不再定义域内，故函数的单调递增区间是；递减区间是.要注意导函数这个二次函数的开口方向.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，在中，是的角平分线，的外接圆交线段于点，.（1）求证：；（2）当时，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题解析：（1）证明：因为四边形为圆内接四边形，所以,又，所以，则,在圆内接四边形中，是的平分线，所以
16、，,而，所以，即.（2）解：由（1）得，而，所以，根据割线定理得，所以，,在圆内接四边形中，由于，所以，,在等腰梯形中，易求得.考点：几何证明选讲.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为（为参数），当时，曲线上对应的点为，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求证：曲线的极坐标方程为；（2）设曲线与曲线的公共点为，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用加减消元法将曲线的参数方程为参数消去，得到，故曲线的极坐标方程为；（2）先将直线的方程化为标准的参数方程为（为参数），将的极坐标方程化为直角坐标方程为，联立直线的参数方程和，有，故.（2）解：当时，由（1）知，曲线是经过的直线，设它的倾斜角为，则，所以，曲线的参数方程为（为参数），因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为，将代入，得,所以.考点：坐标系与参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）设，试比较与的大小.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）所以或，或.所以不等式的解集为.（2）由（1）易知，所以，由于，因为，所以，即，所以.考点：不等式选讲.