1、七二项式系数的性质(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是()A.8B.6C.4D.2【解析】选B.由题图知,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.【加练固】如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于()A.20B.21C.22D.23【解题指南】由图可知,各行数字中除两端的数代表行数外,其他数字均等于上一行中其肩上的两数的和,如4=2+2,7=3+4,11=4+7,14=7+7,据此规律进行求解.【解析】选C.由a=7,可知b左肩上的数为6,右肩上的数为(11+5)即16,所以b
2、=6+16=22.2.已知bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+an(x-1)n,对任意xR恒成立,且a1=9,a2=36,则b=()A.4B.3C.2D.1【解析】选D.由已知得bxn+1=b(x-1)+1n+1=a0+a1(x-1)+an(x-1)n,所以a1=b=nb=9,a2=b=36,所以n-1=8,n=9,所以b=1.3.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为()A.3B.6C.9D.21【解析】选B.由于x3=,其展开式的通项为23-r,当r=2时,为21=6,故a2=6.4.已知(1-2x)6=a0+a1x+a
3、2x2+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=()A.1B.-1C.36D.26【解析】选C.由已知展开式中a0,a2,a4,a6大于零,a1,a3,a5小于零.所以|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36.所以|a0|+|a1|+|a2|+|a6|=36.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(x2+1)(x-2)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a11(x-1)11,则a1+a2+a3+a11的值为_.【解析】令x=1,得a0=-2.令x=2,得a
4、0+a1+a2+a11=0.所以a1+a2+a3+a11=2.答案:26.实数ai(i=0,1,2,3,4,5)满足:对任意xR,都有(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0=_,+=_.【解题指南】由二项展开式可直接求出各项的系数,即可求出ai(i=0,1,2,3,4,5),进而可求出结果.【解析】由二项展开式可得(1+x)5=+x+x2+x3+x4+x5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5,所以a0=1,a1=5,a2=10,a3=10,a4=5,a5=1,故+=1+=.答案:1【加练固】设(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0
5、+a1x+a2x2+anxn,当a0+a1+a2+an=254时,n=_.【解析】令x=1,得a0+a1+a2+an=2+22+23+2n=254,所以2n=128,即n=7.答案:7三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知nN*,+2+3+n=192,且(3-2x)n=a0+a1x+a2x2+anxn.求(1)展开式中各项的二项式系数之和.(2)a0+a2+a4+a6.(3)|a0|+|a1|+|an|.【解析】因为i=i=n(i=1,2,n),所以+2+3+n=n(+)=n2n-1=326,所以n=6.(1)展开式中各项的二项式系数之和为26=64.(2)令x=1,得a0+a1+a6=
6、1,令x=-1,得a0-a1+a2-+a6=56,相加得a0+a2+a4+a6=7813.(3)令x=-1,得|a0|+|a1|+|an|=56.8.已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值.(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.【解析】(1)由已知+2=11,所以m+2n=11,x2的系数为+22=+2n(n-1)=+(11-m)=+.因为mN*,所以m=5时,x2的系数取得最小值22,此时n=3.(2)由(1)知,当x2的系数取得最小值时,m=5,n=3,所以f(x)=(1+x)
7、5+(1+2x)3,设这时f(x)的展开式为f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,令x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33,令x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1,两式相减得2(a1+a3+a5)=60,故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.(15分钟30分)1.(5分)将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(nN+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于()A.26B.27C.7D.8【解题指南】由于是将奇数换成1,故都是奇数,分别验证n=6,7时的情况,直接
8、得出正确选项.【解析】选D.第1行和第3行全是1,已经出现了2次,依题意,第6行原来的数是,而=6为偶数,不合题意;第7行原来的数是,即1,7,21,35,35,21,7,1全为奇数,一共有8个,全部转化为1,这是第三次出现全为1的情况.2.(5分)(多选题)(2020济南高二检测)对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9.则下列结论成立的是()A.a2=-144B.a0=1C.a0+a1+a2+a9=1D.a0-a1+a2-a3+-a9=-39【解析】选ACD.对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1
9、)2+a3(x-1)3+a9(x-1)9=-1+2(x-1)9,所以a2=-22=-144,故A正确;故令x=1,可得a0=-1,故B不正确;令x=2,可得a0+a1+a2+a9=1,故C正确;令x=0,可得a0-a1+a2+-a9=-39,故D正确.3.(5分)记f(m,n)为(1+x)6(1+y)4展开式中xmyn项的系数,则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=_.【解析】f(3,0)=20,f(2,1)=60,f(1,2)=36,f(0,3)=4,所以f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=20+60+36+4=120.答案:1204.(5分)若(1+
10、x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n,则a0+a2+a4+a2n=_.【解析】设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+a2n,f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+a2n,由+得2(a0+a2+a4+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+a2n=.答案:【加练固】如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列an,则数列的第10项为_.【解析】由题意a1=1,a2=1,a3=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13,a8=8+13=21,a9=13+21=34,a10=21+34=55
11、.答案:555.(10分)在的展开式中,第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.(1)求n的值.(2)求展开式中所有的有理项.(3)求展开式中系数最大的项.【解题指南】(1)由二项展开式的通项公式分别求出第4项的系数与倒数第4项的系数,然后计算出结果.(2)由通项公式分别计算当r=0,2,4,6时的有理项.(3)设展开式中第r+1项的系数最大,列出不等式求出结果.【解析】(1)由题意知:Tr+1=2r,则第4项的系数为23,倒数第4项的系数为2n-3, 则有=,即=,所以n=7.(2)由(1)可得Tr+1=2r(r=0,1,7),当r=0,2,4,6时,所有的有理项为T1,T3,T5,T7,即T
12、1=20x14=x14,T3=22x9=84x9,T5=24x4=560x4,T7=26x-1=448x-1.(3)设展开式中第r+1项的系数最大,则 r,所以r=5,故系数最大项为T6=25=672.1.(1+ax+by)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243,不含y的项的系数的绝对值的和为32,则a,b,n的值可能为()A.a=2,b=-1,n=5B.a=-2,b=-1,n=6C.a=-1,b=2,n=6D.a=1,b=2,n=5【解析】选D.根据展开式的特点,通过特殊值法找到符合要求的各项系数的绝对值的和,通过方程组解决.只要令x=0,y=1,即得到(1+ax+by)n的展开式
13、中不含x的项的系数的和为(1+b)n,令x=1,y=0,即得到(1+ax+by)n的展开式中不含y的项的系数的和为(1+a)n.如果a,b是正值,这些系数的和也就是系数绝对值的和,如果a,b中有负值,相应地,分别令y=-1,x=0;x=-1,y=0.此时的和式分别为(1-b)n,(1-a)n,由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1+|b|)n,(1+|a|)n.根据题意(1+|b|)n=243=35,(1+|a|)n=32=25,因此n=5,|a|=1,|b|=2.2.已知函数f(x)=(1+x)n,nN*.(1)当n=8时,求展开式中系数的最大项.(2)化简2n-1+2n-2+2n-3+2-1.(3)定义:ai=a1+a2+an,化简:(i+1).【解题指南】(1)根据题意知展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项,n=8,中间项为第5项,其系数最大.(2)根据f=+x+x2+xn-1+xn,令x=2,即可求值.(3)原式添加,利用倒序相加,化简即可.【解析】(1)f=,所以系数最大的项即为二项式系数最大的项T5=x4=70x4.(2)f=+x+x2+xn-1+xn,所以原式=.(3) =2+3+n+, =+n+3+2, 在,添加,则得1+ =+2+3+n+,1+ =+n+3+2+1,+得:2(1+)=2n,所以 =2n-1-1.