1、8.5.2 直线与平面平行【情境探究】1.如图,将课本ABCD的一边AB紧贴桌面,把课本绕AB转动,在转动过程中,AB的对边CD(不落在内)和平面有何位置关系?提示:因为没有公共点,所以CD.必备知识生成2.如图,平面外的直线a平行于平面内的直线b,这两条直线共面吗?直线a与平面相交吗?提示:直线a,b共面,直线a与平面不相交.3.如果直线a与平面平行.(1)直线a与平面内的直线的位置关系是怎样的?提示:平行或者异面.(2)在平面内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何?提示:在平面内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行.(3)经过直线a的平面与平面相交于直线b,那么这样的
2、平面有多少个?直线a,b的位置关系如何?为什么?提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行.因为直线a平面,所以直线a与平面内的任何直线无公共点,又因为a,b共面,所以ab.【知识生成】1.直线与平面平行的判定定理文字语言如果_一条直线与此平面内的一条直线_,那么该直线与此平面平行图形语言符号语言a_,b_,且aba作用证明直线与平面_平面外平行平行2.直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行,如果过该直线的_与此平面_,那么该直线与交线_图形语言符号语言a,_ab作用证明两条直线_平面相交平行a,=b平行关键能力探究探究点一 直线与平面平行的判定定理【典例1】如图,在斜三
3、棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,D,E分别是AB,B1C的中点.求证:DE平面ACC1A1.【思维导引】构造中位线或平行四边形,利用线线平行证明.方法二:连接A1C,交AC1于O,连接OE,则O是A1C的中点,又E是B1C的中点,所以OEA1B1,OE=A1B1,又ADA1B1,AD=A1B1,所以OEAD,所以四边形ADEO是平行四边形,所以AODE,因为AO平面ACC1A1,DE平面ACC1A1,所以DE平面ACC1A1.【类题通法】1.证明直线与平面平行的关键关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线.把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行
4、等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法.2.用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤【定向训练】1.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()2.如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:(1)EH平面BCD;(2)BD平面EFGH.【证明】(1)因为EH为ABD的中位线,所以EHBD.因为EH平面BCD,BD平面BCD,所以EH平面BCD.(2)因为BDEH,BD平面EFGH,EH平面EFGH,所以BD平面EFGH.3.如图,P是ABCD所在平面外一
5、点,E,F分别为AB,PD的中点,求证:AF平面PEC.【补偿训练】如图,EBDC,EB=2DC,P,Q分别为AE,AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是_.探究点二 直线与平面平行的性质定理【典例2】如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.求证:截面MNPQ是平行四边形.【思维导引】根据已知AB平面MNPQ,CD平面MNPQ,由线面平行的性质定理,找出经过直线的平面与平面MNPQ的交线,转化为线线平行即可得证.【类题通法】线面平行的性质定理的解题步骤与思路(1)利用线面平行的性质定理解题的步骤(2)运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线
6、的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.【知识延拓】1.若本例条件不变,求证:【证明】由例题知:PQAB,所以因为QMDC,所以所以2.若本例中添加条件:ABCD,AB=10,CD=8,且BPPD=11,求四边形MNPQ的面积.【解析】由例题知,四边形MNPQ是平行四边形,因为ABCD,所以PQQM,所以四边形MNPQ是矩形.因为BPPD=11,所以PQ=5,QM=4,所以四边形MNPQ的面积为54=20.【定向训练】证明:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行.探究点三 线面平行的综合应用【典例3】如图所示,已知P是ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB
7、,PC的中点,平面PBC平面PAD=l.(1)求证:lBC;(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.【思维导引】联合运用线面平行的判定及性质定理.【类题通法】解决线面平行问题的思路判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链.【知识延拓】与线面平行相关的“有且只有”命题的证明方法:典型例题:求证过两条异面直线中的一条,有且仅有一个平面和另一条直线平行.【类题通法】(1)“有”即“存在”;“只有”即“唯一”.此类问题的论证既要证明存在性又要证明唯一性.(2)存在性的证明只需找到或作出满足题设条件的
8、事物即可.(3)对唯一性的证明,可采用“反证法”,也可采用“同一法”,同一法和反证法一样,是一种间接证法.一般来说,一个命题,如果它的题设和结论所指的事物都是唯一的,那么,原命题和它的逆命题中,只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理就叫做“同一法则”.在符合同一法则的前提下,代替证明原命题而改证它的逆命题的这种方法,叫同一法.同一法的一般证明过程是:不从已知条件入手,而另作图形使它具有求证结论中所提到的特性;证明所作图形的特征和已知条件符合;因为已知条件和求证的结论所指的事物都是唯一的,从而推断所作图形与已知条件要求的是同一图形,由此判定原命题成立.【定向训练】1.若在四棱锥S-ABCD中
9、,底面ABCD为平行四边形,E是SA上的一点,当点E满足条件_时,SC平面EBD.2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点PBB1(P不与B,B1重合),PAA1B=M,PCBC1=N,连接MN.求证:MN平面ABCD.【课堂小结】1.2.课堂素养达标1.下列条件中能确定直线a与平面平行的是()A.a,b,abB.b,abC.b,c,ab,acD.b,Aa,Ba,Cb,Db,且AC=BD【解析】选A.由直线与平面平行的判定定理知选A.2.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.以上均有可能3.过平面外的直线l,作一组平面与相交,如果所得的交线为a,b,c,则这些交线的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交不一定交于同一点D.平行或相交于同一点【解析】选D.当直线l与平面平行时,abc,当直线l与平面相交时,设l=O,则a,b,c,相交于同一点O.4.(1)已知直线l平面,P,那么过点P且平行于l的直线有_条.(2)如图,在棱长为1的正方体ABCDABCD中,AP=BQ=x(0 x1),截面PQEFAD,截面PQGHAD,则截面PQEF和截面PQGH面积之和为_.本课结束
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