1、第7课时双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义.2.掌握双曲线的标准方程、几何图形.3.理解标准方程中a,b,c的关系,并能利用双曲线中a,b,c的关系处理“焦点三角形”中的相关运算.如图所示,某农场在M处有一堆肥料沿道路MA或MB送到稻田ABCD中去,已知|MA|=6,|MB|=8,|BC|=3,AMB=90,能否在稻田中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿MA送肥料较近,而另一侧沿MB送肥料较近?若能,请建立适当的直角坐标系,求出这条界线的方程.问题1:双曲线的标准方程的定义双曲线的标准方程分两种情况:焦点在x轴上时,双曲线标准方程为(a0,b0);焦点在y轴上时,标准方程为(a0,b0).
2、问题2:双曲线的定义中应注意的问题双曲线的定义用代数式表示为=2a(0ac),关于定义要重点注意两点:(1)注意定义表述中的“绝对值”字眼,如果取消绝对值的限制,则动点的轨迹可分为以下几种情况:若-=2a(0ac),则轨迹为双曲线中焦点对应的一支;若-=2a(0a|F1F2|)|MF1|-|MF2|=2a(02a0,b0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则ABF1的周长为().A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)a=3,c=4,焦点在x轴上.(2)右焦点与抛物线y2=24x的焦点是
3、同一个点,经过点A(6,5).已知动圆与C1:(x+3)2+y2=9外切,且与C2:(x-3)2+y2=1内切,求动圆圆心M的轨迹方程.1.双曲线-=1的焦距为().A.3B.4C.3D.42.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为().A.-1k1C.k1或k问题3:(1)-=1(a0,b0)(2)-=1(a0,b0)(3)mx2+ny2=1(mnb0)-=1(a0,b0)+=1(ab0)-=1(a0,b0)基础学习交流1.D根据双曲线的定义可得.2.C因为b2=c2-a2=49-25=24,且焦点位置不确定,所以所求双曲线的标准方程为-=1或-
4、=1.3.-1因为双曲线焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程为-=1,所以k0,又(0,3)是双曲线的一个焦点,则c=3,于是有-=32=9,解得k=-1.4.解:(1)设双曲线的标准方程为mx2+ny2=1(mn0,b0),所以解得所以所求双曲线的标准方程为-=1.重点难点探究探究一:【解析】(1)设双曲线的两个焦点分别为A,B,由定义,|PA|-|PB|=4,|8-|PB|=4,|PB|=4或|PB|=12.(2)在-=1中,a=3,b=4,c2=a2+b2=25,c=5,|PF2|=|F1F2|=2c=10.又P为双曲线C的右支上一点,|PF1|-|PF2|=2a=6,|PF1|=16.过
5、点F2作F2TPF1于T,则T为PF1的中点,且|PT|=8,|F2T|=6,=166=48.【答案】(1)C(2)C【小结】双曲线-=1(a0,b0)上的点P(x0,y0)满足方程-=1(a0,b0),符合定义|PF1|-|PF2|=2a.双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2,F1PF2=,因为|F1F2|=2c,所以有:定义:|r1-r2|=2a;余弦公式:4c2=+-2r1r2cos ;面积公式:=r1r2sin .一般地,在PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.探究二:【解析】(1)(法一)椭
6、圆+y2=1的焦点是(-,0)和(,0),双曲线的焦点也在x轴上,且c=.设双曲线方程为-=1(a0,b0),则-=1且a2+b2=3.解得a2=2,b2=1,故标准方程为-y2=1.(法二)椭圆+y2=1的焦点坐标为(-,0)和(,0),双曲线的两个焦点坐标也是(-,0)和(,0).点(2,1)在双曲线上,则2a=|-|=(+1)-(-1)=2,a=.从而b2=3-2=1.双曲线的标准方程为-y2=1.(2)(法一)当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1(a0,b0).由P1,P2在双曲线上,知解之得不合题意,舍去;当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1(a0,b0).由P
7、1,P2在双曲线上,知解之得即a2=9,b2=16.故所求双曲线方程为-=1.(法二)双曲线的焦点位置不确定,可设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0,b0)或-=1(a0,b0),焦点位置不定时,亦可设为mx2+ny2=1(mn0).(3)寻关系:根据已知条件列出关于a,b,c(m,n)的方程组.(4)得方程:解方程组,将a,b(m,n)代入所设方程即可求得标准方程.探究三:【解析】设动圆M的半径为r.(1)C与M内切,点A在C外.=r-,=r,-=,点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线,且有a=,c=2,b2=c2-a2=,点M的轨迹方程为2x2-=1.(2)M与C1、C2都外切,设动圆M
8、的半径为r.=r+1,=r+2,-=1,点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线,且有a=,c=1,b2=c2-a2=.点M的轨迹方程为4y2-=1.问题(1)(2)中的轨迹都是完整的双曲线吗?结论不是,根据双曲线的定义,轨迹都应该是双曲线的一支.于是正确解答如下:设动圆M的半径为r.(1)C与M内切,点A在C外.=r-,=r,-=.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支,且有a=,c=2,b2=c2-a2=,点M的轨迹方程为2x2-=1(x-).(2)M与C1、C2都外切,设动圆M的半径为r,=r+1,=r+2,-=1,点M的轨迹是以C2、C1为焦点的双曲线的上支,且有a=,c=1,b2=c
9、2-a2=.易求两圆交点坐标为(,),观察图像可知,x必须满足x,点M的轨迹方程为4y2-=1(y,x).【小结】如果求解的动点轨迹方程是双曲线方程,要特别注意所得轨迹是双曲线的两支还是其中一支.思维拓展应用应用一:B设ABF1的周长为Z,则Z=|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.应用二:(1)由题设a=3,c=4,由c2=a2+b2得,b2=c2-a2=42-32=7.因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求双曲线
10、的标准方程为-=1.(2)由y2=24x得抛物线焦点坐标为(6,0),c=6.因为点A(6,5)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值是常数2a,即2a=|-|=|13-5|=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20.因此,所求双曲线的标准方程是-=1.应用三:设动圆圆心M的坐标为(x,y),半径为r,则|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=r+3-r+1=4|C1C2|=6,由双曲线的定义知,点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支,且2a=4,a=2,其轨迹方程为:-=1(x2).基础智能检测1.D由双曲线的标准方程可知,a2=10,b2=2.
11、于是有c2=a2+b2=12,则2c=4.故选D.2.A由题意得解得即-1k1.3.33由双曲线方程-=1知,a=8,b=6,则c=10.P是双曲线上一点,|PF1|-|PF2|=2a=16,又|PF1|=17,|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|c-a=2,|PF2|=33.4.解:当k=0时,方程变为y=2,表示两条与x轴平行的直线;当k=1时,方程变为x2+y2=4表示圆心在原点,半径为2的圆;当k0时,方程变为-=1,表示焦点在y轴上的双曲线;当0k1时,方程变为+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.全新视角拓展44可知a=3,b=4,c=5,由双曲线的定义得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6,两个等式相加得|PF|+|QF|=28,故PQF的周长为44.思维导图构建差的绝对值小于-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)
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