1、20202021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试 数 学 2021年4月注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解已知复数z满足则|z|A4 B2 C D12已知集合，若AB，则ABA(3，3) B(2，2) C(2
2、，3) D(3，2)3数术记遗是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等及其用也，乃有三焉十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载三等者，谓上、中、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也从亿至载，终于大衍下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用故其传业，唯以中数耳”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，即万，亿，兆，京，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A2
3、1 B20 C25 D244已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A2019 B2020 C2021 D20225已知a，b是不共面向量，设若OAB的面积为3，则OCD的面积为A4 B5 C6 D86正实数a，b，c满足asina，则实数a，b，c之间的大小关系为Abac Babc Cacb Dbca7已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且BC，若面面体ABCD的体积是则这个球面的面积是A16 B C4 D8已知函数f(x)，g(x)f(x)kx，若函数g(x)有两个零点，则k的取值范围是A B(0，) C D，)二、选择题：
4、本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9在平面直角坐标中，已知圆O过点，A(3，4) 、B、C、且，则A直线BC的斜率为 BAOC60CABC的面积 D点B、C在同一象限内10在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy1，下列结论正确的是A曲线C上的点与定点距离的最小值是B曲线C上的点和定点的距离与到定直线l的距离的比是C曲线C绕原点顺时针旋转45，所得曲线方程是D曲线C的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是411设a29，则下列结论正确的是ABCD29a295812下列结论正确的是A存在这样的四面体ABC
5、D，四个面都是直角三角形B存在这样的四面体ABCD，BACCADDABBCD90C存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDA90D存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDADAB90二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13已知是奇函数，若，msin(2x)n，则nm的最小值是_14集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，AB的元素个数是1，在AB中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是_5设数列各项互不相同，且若下列四个关系a11；a21；a32；a44中恰有一个正确，则的最大值是_16设抛物线2和在它们的一个交点处的切线互相垂直，则
6、过定点_三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)(1)写出一个等差数列的通项公式，使满足a10，是等差数列，其中是的前n项和(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的设求数列的前n项和Tn18(12分)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB，ADDCCB1(1)当A、B、C、D共圆时，求cosA的值；D(2)若求sinABC的值CAB19(12分)某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯数20253035404550天数551015101
7、05以60天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求的分布列和数学期望；假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由20(12分)如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，ACB90，BE2(1)证明：DE平面ACD；(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是求异面直线DE与AB所成角的余弦
8、值DECBA21 (12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的离心率是，焦点到相应准线的距离是3(1)求a，b的值；(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1，0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点22(12分)设0x1(1)证明： ；(2)若，求a的取值范围20202021学年度江苏省百校联考高三年级第三次考试 数 学 2021年4月注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上一、选
9、择题：本题共8小是，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数人们发现，最简单的二次方程在实数范围内没有解已知复数z满足则|z|A4 B2 C D1【考点】复数的运算【答案】B2已知集合，若AB，则ABA(3，3) B(2，2) C(2，3) D(3，2)【考点】集合的运算【答案】B3数术记遗是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等及其用也，乃有三焉十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载三等者，谓上、中、
10、下也，其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也从亿至载，终于大衍下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用故其传业，唯以中数耳”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，即万，亿，兆，京，地球的质量大约是5.965秭千克，5.965秭的位数是A21 B20 C25 D24【考点】新情境下的文化题：计数的位数【答案】C4已知由正整数组成的无穷等差数列中有三项是13、25、41，下列各数一定是该数列的项的是A2019 B2020 C2021 D2022【考点】等差数列的
11、性质【答案】C5已知a，b是不共面向量，设若OAB的面积为3，则OCD的面积为A4 B5 C6 D8【考点】平面向量的几何应用【答案】D6正实数a，b，c满足asina，则实数a，b，c之间的大小关系为Abac Babc Cacb Dbca【考点】大小比较【答案】A7已知四面体ABCD的四个顶点都在以AB为直径的球R面上，且BC，若面面体ABCD的体积是则这个球面的面积是A16 B C4 D【答案】A【考点】立体几何的外接球问题【解析】由题意可知SBCD，所以点A到平面BCD的距离为可设AB的中点为O，BCD的外心为点E，则可得到OE又BE所以OB2，则S球4R216，故答案选A.8已知函数f
12、(x)，g(x)f(x)kx，若函数g(x)有两个零点，则k的取值范围是A B(0，) C D，)【答案】B【考点】函数的零点问题【解析】当ykx与y相切时，可得将函数ykx的图象顺时针旋转，当k0时，f(x)与ykx都有2个交点，故答案选B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9在平面直角坐标中，已知圆O过点，A(3，4) 、B、C、且，则A直线BC的斜率为 BAOC60CABC的面积 D点B、C在同一象限内【考点】直线与圆的应用【答案】BD10在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是xy1，
13、下列结论正确的是A曲线C上的点与定点距离的最小值是B曲线C上的点和定点的距离与到定直线l的距离的比是C曲线C绕原点顺时针旋转45，所得曲线方程是D曲线C的切线与坐标轴围成的三三角形的面积是4【考点】曲线的切线方程、导数的几何意义综合应用【答案】ABC11设a29，则下列结论正确的是ABCD29a2958【答案】ACD【考点】二项式定理展开式定理的应用【解析】对于选项A，(2)15(2)160，故选项A正确；对于选项B，可令x0，可得令x1，得，所以，故选项B错误；对于选项C，令x1，得，则故选项C正确；对于选项D，由58(12x)28，可令x1，可得，故选项D正确；综上，答案选ACD.12下列
14、结论正确的是A存在这样的四面体ABCD，四个面都是直角三角形B存在这样的四面体ABCD，BACCADDABBCD90C存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDA90D存在不共面的四点A、B、C、D，使ABCBCDCDADAB90【答案】AC【考点】立体几何中四面体的应用【解析】对于选项B，三个直角以A为顶点，那么BCD为锐角三角形，故错误；对于选项D，此时A，B，C，D四点共面，故错误；综上，答案选AC.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13已知是奇函数，若，msin(2x)n，则nm的最小值是_【答案】1【考点】三角函数的图象与性质应用14集合A中有4个等差数列，集合
15、B中有5个等比数列，AB的元素个数是1，在AB中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是_【答案】【考点】数列与概率综合应用5设数列各项互不相同，且若下列四个关系a11；a21；a32；a44中恰有一个正确，则的最大值是_【答案】18【考点】逻辑推断题：数列的项与最值问题【解析】若正确，也正确，则不符合题意；若正确，此时a44，a31，a13，a22，的最大值为18；若正确，此时a44，a21，a13，的最大值为7；若正确，此时a42，a33，a14，a21，的最大值为9；综上，的最大值为18.16设抛物线2和在它们的一个交点处的切线互相垂直，则过定点_【答案】(1，)【考点
16、】抛物线与二次函数的交点问题【解析】设交点为(x0，y0)，则(2x02)(2x0a)1，且x022x02x02ax0b，联立化简可得ab，所以过定点(1，)三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)(1)写出一个等差数列的通项公式，使满足a10，是等差数列，其中是的前n项和(写出一个就可以，不必证明)(2)对于(1)中的设求数列的前n项和Tn 【考点】等差数列的通项公式、错位相减法求和【解】(1)可写an2n1，则有Snn2，所以n，即是等差数列(2)由(1)得(2n1)2n(2n3)2n1(2n5)2n，所以Tnb1b2bn(2n3)2n1618
17、(12分)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB，ADDCCB1(1)当A、B、C、D共圆时，求cosA的值；D(2)若求sinABC的值CAB【考点】三角恒等变换与解三角形【解】(1)在ABD中，由余弦定理可得，在BCD中，由余弦定理可得cosC22cosA，所以解得cos A(2) 在ABD中，由余弦定理可得ADB，化简可得，解得则，所以且所以sinABCsin(19(12分)某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售价6元如果当天卖不完，剩下的奶茶只能倒掉奶茶店记录了60天这款新品奶茶的日需求量，整理得下表：日需求量杯数20253035404550天数55101510105以60天记录的
18、各需求量的频率作为各需求量发生的概率(1)从这60天中任取2天，求这2天的日需求量至少有一天为35的概率；(2)若奶茶店一天准备了35杯这款新品奶茶，用表示当天销售这款新品奶茶的利润(单位：元)，求的分布列和数学期望；假设奶茶店每天准备的这款新品奶茶倍数都是5的倍数，有顾客建议店主每天准备40杯这款新品奶茶，你认为店主应该接受这个建议吗?请说明理由【考点】随机变量的概率、期望与分布列【解】(1)由题意得从60天中任取2天的日需求量至少有一天为35的概率P1；(2)由题意20，10，40，70，其分布列为：20104070P则E()20104070由题意每天准备40杯这款新品奶茶的数学期望为E(
19、)40(10)20508045，因为45，所以每天准备40杯这款新品奶茶的利润较少，则不应该接受这个建议20(12分)如图，矩形BCDE所在平面与ABC所在平面垂直，ACB90，BE2(1)证明：DE平面ACD；(2)若平面ADE与平面ABC所成锐二面角的余弦值是且直线AE与平面BCDE所成角的正弦值是求异面直线DE与AB所成角的余弦值DECBA【考点】立体几何中位置关系的证明、空间角(二面角、异面直线所成的角)的求解【解】(1)由题意可知DEDC，又ACB90，则BCAC，又DE/BC，所以DEAC，且ACDCC，所以DE平面ACD(2)由题意可知AC平面BCDE，连结CE，则有si又平面A
20、DE与平面ABC所成的锐二面角的平面角为DAC，所以且DCBE2，可得AC1，所以AE3，则可知，所以BC2，则，而异面直线DE与AB所成的角为ABC，所以其余弦值为21 (12分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的离心率是，焦点到相应准线的距离是3(1)求a，b的值；(2)已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，F(1，0)，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系中求直线的过定点问题【解】(1)由题意有，解得a2，c1，所以(2)由题意可设y2)，E(x3，y3)，由A，F，D三点共线，得，所以又因为，所以，解得，同理可得，又直线DE的方程为，且，即有直线DE的方程为所以过定点22(12分)设0x1(1)证明： ；(2)若，求a的取值范围【考点】函数与导数：利用函数的单调性证明不等式、利用函数的零点求参数范围【解】(1)由题意可设f(x)sinxx(0x1)，有则f(x)0，得设则有单调递增，得g(x)0，所以得证；(2)由(1)可知a1时，成立，则当a1时，设，则，单调递增，则， 若x)单调递减，则有h(x)0，此时不符合题意；若1所以有唯一零点，可记为则，此时h(x)单调递减，有h(x)0，则不符合题意；综上可知a1，即a的取值范围为(，1
