1、1.1.1 任意角一、教学目标重点: 是任意角的概念，用集合表示终边相同的角.难点：角的概念的推广，终边相同的角之间的关系知识点：任意角的概念，学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合和符号语言的准确书写.能力点：通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用.教育点：经历由特殊到一般的研究数学问题的过程，体会探究的乐趣，激发学生的学习热情.自主探究点：如何运用集合表示终边相等的角.考试点：用集合表示终边相同的角，会利用概念求符合某种条件的角.易错易混点：用集合表示终边相同的角时易忽略.拓展点：如何求呈周期性变化集合的交集和并集.二、引入
2、新课1.提问：初中所学的角是如何定义的？角的范围是多少？平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针旋转到另一位置就形成角.射线，分别是角的始边和终边.角的范围：.2讨论：实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？问题1：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？（分针顺时针旋转）问题2：假如你的手表快了5分钟或1.5 小时，你又是怎样将它校准的？当时间校准后，分针各转了多少度？ （分针逆时针旋转、逆时针旋转 ）【设计意图】通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.三、探究新知
3、教师：通过生活中的实例，我们发现角度的旋转量和方向都是刻画角度不可缺少的因素.任意角可以与任意实数中的正数、负数、零进行类比，把任意角分为正角、负角和零角.1.任意角的定义(1)规定：正角（按逆时针方向旋转所形成的角），负角（按顺时针方向旋转所形成的角），零角（一条射线未作任何旋转所形成的角）.(2)推广后角可以是任意大小的正角、负角和零角.(3)角的表示：角或，简记为.教师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系中讨论角，那么把角怎样放在坐标系中比较方便、合理？2.象限角使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就称这角是第几象限角.终边在坐标轴上的角不属于任何象
4、限称为非象限角.BO讨论：（1）锐角是第几象限角？（2）第一象限的角一定是锐角吗？再分别用钝角、直角来回答这两个问题.教师：给定一个角，在坐标系上可以唯一确定终边的位置，从而确定这个角是第几象限角，若终边在某一象限，那么终边上的角是不能确定的，这些角有什么关系？3.终边相同的角提问：（1）角终边分别与角和角的终边有什么样的关系？(终边相同)（2）与角终边相同的角有哪些？并尝试表示这些角.再引出与任意角终边相同的角. 与角终边相同的角都可以表示成的角与个（）周角的和设，因此，所有与角终边相同的角都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同；结论：所有与角终边相同的角，连同在内，构成一个
5、集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.设计意图教学中突出学生的主体地位，引导学生观察，通过师问生答，小组内讨论、交流，抽象概括得出结论，让学生经历获取新知识的过程. 通过探究终边相同的角之间的关系，我们要能体会从特殊到一般的、从具体到抽象的思想方法.让学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角的集合. 四、理解新知1.任意角的概念:用旋转运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角.2.象限角的引入是为了便于讨论三角函数，这一点在今后的学习中可得到深刻的体会，学习象限角时，关键是应把握住这样一个条件：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的
6、非负半轴重合.3.终边相同的角：终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；终边相同的角有无限多个，它们相差的整数倍. 设计意图为准确地运用新知，作必要的铺垫.五、运用新知例1在范围内，找出角终边相同的角，并判断它是第几象限角.（教师可引导学生先估计大致是的几倍，再求解）解：与角终边相同的角可表示为,故时，角的终边与角终边相同，它是第二象限. 设计意图 本题的解体思路为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础思考1：若在范围内找，能找几个与角终边相同的角.答案：两个.变试训练1：写出与下列各角的终边相同的最小正角，并判定角所在的象限.（1）909 （2）1442 （3）6
7、0 （4）-56024答案：（1） 第三象限; （2） 第一象限；（3） 第四象限；（4） 第二象限.设计意图 组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法例2写出终边在轴上的角的集合. 分析:终边落在轴上,应分轴的正方向与轴的负方向两个.学生很容易分别写出所有与, 的终边相同的角构成集合,这时应启发引导学生进一步思考:能否化简这两个式子,用一个式子表示出来.图2 解:在范围内,终边在轴上的角有两个,即和角,如图2.因此,所有与的终边相同的角构成集合.而所有与角的终边相同的角构成集合.于是,终边在轴上的角的集合=.设计意图:本例
8、是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示.教学中,应引导学生体会用集合表示终边相同的角时,表示方法不唯一,要注意采用简约的形式. 体现出由形到数及从数到形的数形结合思想方法.变式训练2：写出终边在轴上的角的集合.写出终边在坐标轴上的角的集合.答案:.例3写出终边在直线上的角的集合S,并把S中适合不等式的元素写出来.图3解:如图3,在直角坐标系中画出直线,可以发现它与轴夹角是45,在范围内,终边在直线上的角有两个:和,因此,终边在直线上的角的集合.S中适合的元素是:,设计意图:本例是让学生表示终边在已知直线上的角,并找出某一范围内的所有的角,即按一定顺序取的值,应训练学生掌握这一方法.例4写出在下列
9、象限的角的集合:第一象限; 第二象限;第三象限; 第四象限. 分析:本题关键是写出第一象限的角的集合,其他象限的角的集合依此类推即可,如果学生阅读例题后没有解题思路,或者把中的范围写成,可引导学生分析范围的角是不是第一象限的角呢?进而引导学生写出所有终边相同的角.解:终边在第一象限的角的集合:.终边在第二象限的角的集合: .终边在第三象限的角的集合: .终边在第四象限的角的集合: .设计意图:教师给出以上解答后可进一步提问:以上的解答形式是唯一的吗?充分让学生思考、讨论后形成共识,并进一步深刻理解终边相同角的意义.六、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作
10、答：1知识：任意角、象限角、终边相同的角2思想：数形结合的思想、等价转化的思想教师总结: 本节课设计的容量较大,学生的活动量也较大,若用信息技术辅助教学效果会很好.教师可充分利用多媒体做好课件,在课堂上演示给学生;有条件的学校,可以让学生利用计算机或计算器进行探究,让学生在动态中掌握知识、提炼方法.设计意图 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔”七、布置作业 1阅读教材P69；2.书面作业 必做题：P5 练习4,5. P9 习题1.1 A组 1.（1）、（3），2,3.选做题：1.若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 若角与的终边关于轴对称，则与的关系是_若角与的终边关于原点对称，则与的关
11、系是 _.2若角的终边与角的终边相同，求在内终边与角的终边相同的角? 3课外思考 如何求呈周期性变化集合的交集和并集？已知:求；设计意图设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用集合表示终边相等的角；课外思考的安排，是让学生理解本节知识，从而让学生深刻地体会到终边相等的角的表示，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础八、教后反思 1.本教案的亮点是在教学中采用“直观式”和“类比”的教学模式相结合，注重了教学与生活和实际的联系，在学习新知过程中，借助与本节知识息息相关的学生身边的实例，增强直观教学效果，使学生了解到数学的基础学科的作用，数学知识来源于生活，服务于生活，培养学生的数学应用意识.2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在题目的难度的设置上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上有限的时间不能充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊断与分析.九、板书设计111 任意角1. 任意角2. 象限角3.终边相同的角例1.例2. 例3.
