1、第2讲 矩阵与变换 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算；(2)二阶矩阵的逆矩阵及其求法；(3)矩阵的特征值与特征向量的求法.本内容考查主要属B级要求.真 题 感 悟 1.(2016江苏卷)已知矩阵 A1 20 2，矩阵 B 的逆矩阵 B11 120 2，求矩阵 AB.解 B(B1)122 12202 121 140 12.AB1 20 21 140 121 540 1.2.(2015江苏卷)已知 x，yR，向量 11 是矩阵 Ax 1y 0 的属于特征值2 的一个特征向量，求矩阵 A以及它的另一个特征值.解 由已知，得 A2，即x 1y 0 11 x1 y
2、 2 2，则x12，y2，即x1，y2，所以矩阵 A1 1 2 0.从而矩阵 A 的特征多项式 f()(2)(1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为 1.考 点 整 合 1.矩阵的乘法与逆矩阵(1)11122122aaaa11122122bbbb=11 1112 1211 1212 2221 1122 2121 1222 22a ba ba ba ba ba ba ba b(2)若二阶矩阵 A，B 满足 ABBAE(E 为二阶单位矩阵)，则称 A 是可逆矩阵，B 为 A 的逆矩阵，记为 BA1.2.矩阵对应的变换 矩阵 Ma bc d对应的变换 T：(x，y)(x，y)满足xyxy a bc d
3、xy axbycxdy.3.二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设 是二阶矩阵 Ma bc d的一个特征值，它的一个特征向量为 xy，则有 Mxy xy.(2)f()abcd2(ad)adbc 为矩阵 Ma bc d 的特征多项式.(3)如果 是二阶矩阵 M 的特征值，则 是 M 的特征多项式的一个根，它满足 f()0，此时将 代入axbyx，cxdyy可得到一组非零解x0y0，它即为 M 的属于 的一个特征向量.4.已知曲线C的方程，求变换后的曲线C1的方程的过程分三步：(1)将目标曲线C1上的任意一点的坐标(x，y)用曲线C上对应点的坐标(x，y)表示；(2)用x，y反表示x，y；(3)将x，
4、y带回曲线C的方程，得到x，y的等式，该等式即所求曲线C1的方程.5.记忆特征多项式，和这类问题的求解步骤 理解特征值与特征向量理论 a bc dxy xy（a）xby0，cx（d）y0.热点一 二阶矩阵与平面变换【例 1】若直线 ykx 在矩阵0 11 0 对应的变换作用下得到的直线过点 P(4，1)，求实数 k 的值.解 设变换 T：xy xy，则xy 0 11 0 xy yx，即xy，yx，代入直线 ykx 得，xky，将点 P(4，1)代入得，k4.探究提高 解决这类问题一般是设变换 T：xy xy，求出原曲线在 T 的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.【训练 1】已知曲线
5、C1：x2y21，对它先作矩阵 A1 00 2 对应的变换，再作矩阵 B0 b1 0 对应的变换，得到曲线 C2：x24y21.求实数 b 的值.解 从曲线 C1 变到曲线 C2 的变换对应的矩阵为 BA0 b1 01 00 2 0 2b1 0.在曲线 C1 上任意选一点P(x0，y0)，设它在矩阵 BA 对应的变换作用下变为P(x，y)，则有0 2b1 0 x0y0 xy，即2by0 x0 xy.故2by0 x，x0y.解得y0 12bxx0y.代入曲线 C1 方程得，y212bx21.即曲线 C2 方程为：12b2x2y21.与已知的曲线 C2 的方程x24y21 比较得(2b)24.所以
6、 b1.热点二 二阶矩阵的逆矩阵及其求法【例 2】(2016南京调研)已知点 P(3，1)在矩阵 Aa 2b 1 变换下得到点 P(5，1).试求矩阵 A 和它的逆矩阵 A1.解 依题意得a 2b 131 3a23b1 51，所以3a25，3b11，解得a1，b0，所以 A1 20 1.因为 det(A)1 20 11(1)021，所以 A11 20 1.探究提高 由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.【训练2】二阶矩阵M对应的变换TM将曲线x2xy10变为曲线2y2x20，求M1.解 设曲线 2y2x20 上一点 P(x，y)在 M1 对应变化下
7、变成 P(x，y)，设 M1a bc d，xaxby，ycxdy，代入 x2xy10 得，方程(axby)2(axby)(cxdy)10，即 b2y2(ac)x(bd)xy2abxya2x210，与方程 y2x210 比较得，a0，b1，c12，d1 或 a0，b1，c12，d1.所以 M10 112 1，或 M10 1121.热点三 特征值与特征向量【例 3】(2016南通调研)已知矩阵 M1 02 2，求逆矩阵 M1 的特征值.解 设 M1a bc d，则 MM11 02 2a bc d1 00 1，所以 a b2a2c 2b2d 1 00 1，所以a1，b0，2a2c0，2b2d1，解得
8、a1，b0，c1，d12，所以 M11 01 12.M1 的特征多项式 f()1 01 12(1)12 0，所以 1 或 12.所以矩阵 M 的逆矩阵 M1 的特征值为 1 或12.探究提高 求矩阵 Ma bc d 就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.【训练 3】已知矩阵 A 的逆矩阵 A12 11 2.(1)求矩阵 A；(2)求矩阵 A1 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.解(1)因为矩阵 A 是矩阵 A1的逆矩阵，且|A1|221130，所以 A132 11 2 23 1313 23.(2)矩阵 A1 的特征多项式为 f()2 11 2243(1)(3)，令 f()0，得矩阵 A1 的特征值为 11 或 23，所以 111)是矩阵 A1 的属于特征值 11 的一个特征向量，211 是矩阵 A1 的属于特征值 23 的一个特征向量.