1、2.2.4 点到直线的距离课标解读课标要求素养要求1.探索并学握点到直线的距离公式 2.会求两条平行直线间的距离。1.逻辑推理会推导点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式.2.数学运算能利用点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式解决问题. 自主学习必备知识见学用57页教材研习教材原句要点一点到直线的距离公式设P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为d，则d=|Ax0+By0+C|A2+B2 .这称为点到直线的距离公式.要点二两平行直线间的距离已知直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0，则l1与l2之间的距离为d=|C2-C1|A2+B2 .自主思考1.直线
2、外一点到直线的距离是直线上的点与直线外一点连线的长度中的最小值吗？答案：提示是名师点睛应用点到直线的距离公式的注意点（1）求点到直线的距离时，要注意公式中的条件是直线的一般式方程（2）公式的形式：分母是直线Ax+By+C=0的x,y项系数平方和的算术平方根，分子是用x0,y0替换直线方程中x,y所得实数的绝对值（3）在解决直线方程的问题时，要注意直线的斜率是否存在，以免漏解或错解（4）公式对任意的直线都成立，但当直线与x轴、y轴垂直时，可以简化公式，点P0(x0,y0)到x=x1的距离d=|x0-x1|；点P0(x0,y0)到y=y1的距离d=|y0-y1| .互动探究关键能力见学用57页探究
3、点一点到直线的距离精讲精练例（1）求在x轴上且与直线3x+4y-5=0的距离等于5的点的坐标；（2）求过点M(-2,1)且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线方程答案：（1）设点的坐标为(x,0)，依题意有5=|3x+40-5|32+4225=|3x-5|，即3x-5=25或3x-5=-25，x=10或x=-203（2）当斜率存在时，设直线方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0 .由题意得|-k-2+2k+1|k2+1=|3k+2k+1|k2+1，解得k=0或k=-12直线方程为y=1或x+2y=0当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线所求直线方程为y=1或x+2y
4、=0变式在本例（2）中，若直线l过点M(-2,1)，且点A(-1,2)到l的距离是点B(3,0)到l的距离的12，求直线l的方程答案：当斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x+2)，即kx-y+2k+1=0 .由题意得|-k-2+2k+1|k2+1=12|3k+2k+1|k2+1，解得k=17或k=-1，所以直线l的方程为x-7y+9=0或x+y+1=0 .当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线综上，直线l的方程为x-7y+9=0或x+y+1=0 .解题感悟（1）利用点到直线的距离公式解决相关问题时，不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式.（2）求直线的方程一般用待
5、定系数法，此时要考虑直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在.（3）综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用. 迁移应用1.已知直线l:ax+y+2=0，若点A(-1,-2),B(3,6)到直线l的距离相等，则实数a的值为( )A.-4B.4C.-4或-2D.2或4答案：C解析：两点A(-1,-2),B(3,6)到直线l:ax+y+2=0的距离相等，|-a-2+2|a2+1=|3a+6+2|a2+1，即|-a|=|3a+8|，解得a=-4或a=-2 .2.过点(2,1)的直线l到A(1,1),B(3,5)两点的距离相等，则l的方程为( )
6、A.2x-y-3=0 B.x=2C.2x-y-3=0或x=2 D.y=1答案： C 解析：当直线l的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y+1-2k=0，由题意得|-k|k2+1=|k-4|k2+1，化简得-k=k-4或k=k-4（舍去），解得k=2，直线l的方程为2x-y-3=0，综上，直线l的方程为2x-y-3=0或x=2探究点二两平行直线间的距离精讲精练例（1）（2021山东聊城高二期末）两直线3x+4y-12=0与6x+my+6=0平行，则它们之间的距离为( )A.95 B.185 C.3D.6（
7、2）与两直线3x+2y-4=0和3x+2y+8=0的距离相等的直线的方程是( )A.3x+2y+2=0 B.3x+2y-2=0C.3x+2y2=0 D.以上都不对答案：（1）C（2）A解析：（1）由于两直线3x+4y-12=0与6x+my+6=0平行，则63=m46-12，解得m=8，则直线6x+my+6=0的方程为3x+4y+3=0，因此，这两条直线间的距离d=|3+12|32+42=3 .（2）直线3x+2y-4=0平行于直线3x+2y+8=0，到两平行直线的距离相等的直线与两直线平行，可设所求的直线方程为3x+2y+n=0(n-4,n8)，由题意可得，|n+4|13=|n-8|13，解得
8、n=2，直线的方程为3x+2y+2=0，故选A.解题感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式. 当直线l1:y=kx+b1,l2:y=kx+b2，且b1b2时，d=|b1-b2|k2+1；当直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0，A,B不全为0且C1C2时，d=|C1-C2|A2+B2 .但必须注意两直线方程中x,y的系数对应相等.迁移应用1.若直线l1:x+by+6=0与l2:(b-2)x+3y+2b=0平行，则l1与l2之间的距离为( )A.2 B.823C.3 D.833答案：B解析：因为直线l1:x+by+6=0与l2:(b-2)x+3y+2b=0
9、平行，所以b(b-2)=3，解得b=-1或b=3，当b=3时，l1:x+3y+6=0,l2:x+3y+6=0，此时l1与l2重合，不符合题意；当b=-1时，l1:x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0，即x-y+23=0，此时l1与l2之间的距离d=|6-23|1+1=823，故选B.2.到直线2x+y+1=0的距离等于55的直线方程为( )A.2x+y=0B.2x+y-2=0C.2x+y=0或2x+y-2=0D.2x+y=0或2x+y+2=0答案：D解析：由题意可得所求直线与已知直线平行，故设所求直线的方程为2x+y+c=0(c1)，=|c-1|22+12=55，解得c=0或c=2，故所
10、求直线的方程为2x+y=0或2x+y+2=0 .探究点三与距离公式有关的最值问题精讲精练例两条互相平行的直线分别过点A(6,2),B(-3,-1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d .（1）求d的取值范围；（2）求d取最大值时，两条直线的方程.答案：（1）设经过点A和点B的直线分别为l1，l2，显然当l1AB,l2AB时，l1和l2的距离最大，且最大值为|AB|=(-3-6)2+(-1-2)2=310，d的取值范围为(0,310 .（2）由（1）知，dmax=310，此时k=-1kAB=-3，利用点斜式可求得两直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0 .解题
11、感悟（1）解决距离问题时要注意“数”与“形”之间的相互转化.（2）两平行线间的距离可转化为两点间的距离或转化为点到直线的距离. 迁移应用1.已知P,Q分别是直线3x+4y-5=0与6x+8y+5=0上的动点，则|PQ的最小值为( )A.3B.3 C.32 D.32答案：D解析：易知两平行线间的距离就是|PQ的最小值，3x+4y-5=0可化为6x+8y-10=0，则|PQ|min=|5-(-10)|62+82=32 .2.求过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程.答案：易知过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，kOP=2，所求直线的方程为y-2=-12(x-1)，即x+2y-5=0
12、.评价检测素养提升见学用59页课堂检测1.点(1,-1)（1，-1）到直线x-y+1=0的距离是( )A.322 B.322 C.32 D.12答案：A2.直线x-2y-1=0与直线x-2y-C=0的距离为25，则C的值为( )A.9B.11或-9C.-11D.9或-11答案：B3.点(0,1)到直线y=kx-1的距离的最大值是( )A.1B.2 C.3 D.2答案：D4.分别过点A(-2,1)和点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是 .答案： 5素养演练直观想象点到直线的距离的最值问题1.若实数a,b满足a+b+1=0，求a2+b2-2a-2b+2的最小值解析：审：本
13、题主要考查点到直线的距离公式及用构造法求函数最值问题，易知点(a,b)在直线x+y+1=0上，要求的最小值的代数式中含有两个变量，所以可转化为点到直线的距离问题.联：原式可化为(a-1)2+(b-1)2，可看成点(a,b)与点(1,1)间的距离，则问题转化为点(1,1)到直线x+y+1=0的距离的最小值问题答案：解：a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2，设M(1,1)，P(a,b)，上式看作点M(1,1)与P(a,b)间的距离，即点M与直线x+y+1=0上任意一点间的距离，|PM|的最小值应为点M到直线x+y+1=0的距离|PM|min= |1+1+1|2=322 .即a2+b2-2a-2b+2的最小值为322 .解析：思：解决此类问题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的几何特征加以解决
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