1、课堂探究探究一对基底概念的理解根据平面向量基底的定义知，此类问题可转化为判断两个向量是否共线的问题若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底【典型例题1】 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_(写出所有满足条件的序号)解析：中，设e1e2e1，则无解所以e1e2与e1不共线，故e1与e1e2可作为一组基底；同理，可得中的两个向量不共线，可作为一组基底；中的两个向量共线，不可作为一组基底答案：探究二 用基底表示平面向量1用基底表示平面
2、内任意向量的关键是，在进行运算时，一定要把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中，通过向量的加减或数乘运算将所求向量用基底表示出来2通过列关于向量的方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解【典型例题2】 已知在梯形ABCD中，ABDC，且AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设a，b，试以a，b为基底表示，.思路分析：把要表示的向量放在三角形或平行四边形中，运用向量的加、减法及数乘向量求解解：如图，连接FD，DCAB，AB2CD，E，F分别是DC，AB的中点，DCFB，四边形DCBF为平行四边形b，ab， bba.【典型例题3】 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e
3、12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a，b表示c.思路分析：运用平面向量基本定理，考虑用待定系数法求解解：由已知可得a，b不共线，所以可设c1a2b，则7e14e21(3e12e2)2(2e1e2)，7e14e2(3122)e1(221)e2，解得ca2b.探究三 向量的夹角两个向量夹角的实质及求解的关键1实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角2关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角【典型例题4】 (1)在RtABC中，ABC90，ACB60，则与的夹角_.(
4、2)已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是_，ab与a的夹角是_思路分析：作出几何图形，再根据向量夹角的定义求值解析：(1)如图所示，延长AC到D，使ACCD，则，BCD是与的夹角由于BCDACB180，ACB60，则BCD18060120，即120.(2)如图所示，作Oa，Ob，且AOB60.以OA，OB为邻边作OACB，则ab，ab.|a|b|2，OAB是等边三角形四边形OACB是菱形与的夹角为30，与的夹角为60，即ab与a的夹角为30，ab与a的夹角为60.答案：(1)120(2)3060点评 在用几何法求向量夹角时，一定要使两个向量共起点探究四 易错辨析易错点：忽略作为基底的两个向量是不共线的【典型例题5】 已知e10，R，ae1e2，b2e1，则a与b共线的条件为()A0 Be20 Ce1e2 De1e2或0错解：A错因分析：在应用平面向量基本定理时，忽视了等式a1e12e2中e1，e2不共线这个条件若没有指明，则对e1，e2共线的情况需加以考虑正解：D
