1、1.2.3 直线与平面的夹角课标解读课标要求素养要求1.了解直线与平面的夹角的三种情况，理解斜线和平面所成角的概念.能用向量语言表述直线与平面的夹角.3.能用向量法求线面角.1.数学抽象能够在具体的几何图形中识别和作出直线与平面的夹角.数学运算能用向量法求直线与平面的夹角.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一直线与平面的夹角的概念1.直线与平面的夹角的定义如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为 90；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为 0 .平面的斜线与它在平面内的 射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角.直线与平面所成的角
2、也称为它们的夹角.2.直线与平面的夹角的性质如图所示，设AO是平面的一条斜线段，O为斜足，A为A在平面内的射影，而OM是平面内的一条射线，AMOM . 记AOA=1,AOM=2,AOM=，则cos= cos1cos2 .平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角.要点二用空间向量求直线与平面的夹角如图（1）（2）所示，可以看出=2-v,n或= v,n-2 .特别地，cos=sinv,n,sin=|cosv,n| .自主思考1.一条直线和一个平面所成的角的余弦值可以是负值吗?答案：提示不可以.因为直线和平面所成的角的范围是0,2，所以直线和一个平面所成的角的余弦值不能是
3、负值.2.直线与平面所成的角的性质中的“最小”说明了什么?答案：提示说明了一条直线与一个平面所成的角是唯一确定的. 3.向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm,n=-12，则l与所成的角是多少?答案：提示设l与所成的角为(090)，则sin=|cosm,n|=12 .=30 .名师点睛1.直线与平面所成角的作法已知斜线AC和平面（如图），过A作AB，交平面于点B，连接BC，令ACB=，则锐角就是直线AC与平面所成的角.2.对直线与平面所成角的几点认识（1）设AB在平面内的射影为AB，且直线AB与平面的夹角为，则|AB|=|AB|cos（2）平面的法向量n与AB所成的锐角1的
4、余角就是直线AB与平面所成的角.互动探究关键能力探究点一利用定义求直线与平面的夹角精讲精练例如图，平面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=a，AB=2a，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且PEED=BFFA=12，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值.答案：过点E作EM/PA交AD于点M .连接FM，如图.PA平面ABCD，EM平面ABCD .则EFM为直线EF与平面ABCD所成的角.EM/PA，EED=12，EM=23PA=203，AM=a3 . AB=2a，BFAF=12，AF=22a3，FM=AM2+AF2=(a3)2+(22a3)2=a .在RtFEM中，tanEF
5、M=EMFM=23，sinEFM=21313 .解题感悟利用定义法求线面角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：过斜线上的点向平面作垂线，连接垂足与斜足得射影，但要注意垂足的位置；利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影.迁移应用1.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成角的大小是 .答案：6解析：如图所示.取AC的中点O,连接BO，C1O，易得BOAC，BOAA1，ACAA1=A，AC，AA1平面ACC1A1，BO平面ACC1A1，故BC1O为BC1与平面ACC1A1所成的角.易知在RtBOC1中，BO=32，BC
6、1=3，sinBC1O=12，BC1O=6 .探究点二公式cos=cos1cos2的应用精讲精练例若APB=BPC=APC=60，则PA与平面PBC所成角的余弦值为( )A.12 B.2626C.63 D.33答案：D解析：如图，设A在平面PBC内的射影为O，连接OP，APB=APC，点O在BPC的平分线上，OPC=30，APO为PA与平面PBC所成的角.cosAPC=cosAPOcosOPC，即cos60=cosAPOcos30，cosAPO=33 .解题感悟公式cos=cos1cos2在解题时经常用到，可用来求线面角1 .在应用公式时，一定要分清,1,2分别对应图形中的哪个角.迁移应用1.
7、如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为a的菱形，O为菱形ABCD的中心，BAD=BAA1=DAA1=60，AA1=32a，求证：A1O平面ABCD .答案：由题意可知，AC为BAD的平分线，BAC=30，且AO=32a .A1AB=A1AD=60，直线A1A在平面ABCD上的射影为直线AC，记A1AC=，则cos=cos60cos30=1232=33 .A1Acos=32a33=32a=AO，即点A1在平面ABCD上的射影为点O，A1O平面ABCD .探究点三利用空间向量求直线与平面的夹角精讲精练例如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，ADBC，BAD=90，
8、PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M，N分别为PC，PB的中点.（1）求BD与平面ADMN所成的角；（2）在线段BD上是否存在一点Q，使直线PQ与平面PAD的夹角为30？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.答案：（1）如图所示，以A为原点，AB,AD,AP的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，设BC=1，则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),N(1,0,1)，BD=(-2,2,0),AD=(0,2,0),AN=(1,0,1)，设平面ADMN的一个法向量为n=(x,y,z)，由nAD=0nAN=0得y=0,x+z
9、=0,取x1，则z-1，n(1,0,-1)，cosBD,n=BDn|BD|n|=-282=-12，sin=|cos|=12 . 又090，=30 .（2）存在.设在线段BD上存在一点Q(x,y,0)，使直线PQ与平面PAD的夹角为30，不妨设BQ=BD，01，则(x-2,y,0)=(-2,2,0)，所以x-2=-2,y=2,解得x=2-2,y=2,即点Q的坐标为(2-2,2,0)，所以PQ=(2-2,2,-2)，又AB=(2,0,0)是平面PAD的一个法向量，所以|cosPQ,AB|=|4-4|2(2-2)2+42+4=12，化简可得2-3+1=0，解得=3-52（=3-52不符合题意，舍去）
10、，即点Q的坐标为(-1+5,3-5,0)，故在线段BD上存在一点Q(-1+5,3-5,0)，使直线PQ与平面PAD的夹角为30 .解题感悟用空间向量求直线与平面所成的角的步骤：迁移应用1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B与平面A1B1CD所成角的大小为 .答案：30解析：如图所示，连接BC1，交B1C于O点，连接A1O .设正方体的棱长为a .易证BC1平面A1B1CD，A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影.BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中，A1B=2a，OB=22a，sinBA1O=OBA1B=12，BA1O=30，即A1B与平面A1B1CD所成角
11、的大小为30 .评价检测素养提升课堂检测1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm,n=-32，则l与所成的角为( )A.30 B.60 C.120 D.150答案：B2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成的角的正弦值为( )A.24 B.23 C.63 D.32答案：C3.正四面体ABCD中，棱AB与平面BCD所成角的余弦值为 .答案：33素养演练数学运算直线与平面夹角的最值或范围问题1.（2020湖南师大附中高二月考）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，ABC=60，AB=PA=2，PA平面ABCD，E,M分别是BC，P
12、D的中点，点F在棱PC上移动.（1）证明：无论点F在PC上如何移动，都有平面AEF平面PAD；（2）当直线AF与平面PCD所成的角最大时，确定点F的位置.解析：审：本题中的几何体为底面是菱形的四棱锥，以此为载体证明面面垂直，以及求直线与平面夹角的最值.联：（1）连接AC，得出AEAD和PAAE，即可证明AE平面PAD，从而得出平面AEF平面PAD；（2）以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解.答案：解：（1）证明：连接AC，底面ABCD为菱形，ABC=60，ABC为正三角形，E是BC的中点，AEBC，又ADBC，AEAD，PA平面ABCD，AE
13、平面ABCD，PAAE，PAAD=A，PA、AD平面PAD， AE平面PAD，AE平面AEF，平面AEF平面PAD .（2）由（1）知，AE,AD,AP两两垂直，故以A为原点，AE,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(3,-1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),E(3,0,0) .PC=(3,1,-2),PD=(0,2,-2),AP=(0,0,2) .设PF=PC(01)，则PF=(3,-2)，则AF=AP+PF= (3,2-2) .设平面PCD的一个法向量为m=(x1,y1,z1)，则mPC=3x1+y1-2z1=0,mPD=2y1-2z1=0,令z1=3，则x1=1,y1=3，m=(1,3,3) .设直线AF与平面PCD所成的角为，则sin=|cosAF,m|=|AFm|AF|m|=|3+3+23-23(3)2+2+(2-2)27|=23722(-12)2+12，当= 12时，sin最大，此时F为PC的中点.思：解答本题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立线面角的关系，从而通过数量关系进行说明，解题的难点是求直线和平面夹角的最值，常用的方法是利用函数的单调性或基本不等式求解.
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