1、1.2.2 空间中的平面与空间向量第1课时平面的法向量及线面位置关系课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述平面,理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.能用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直.1.数学抽象能理解平面的法向量的概念,会求平面的法向量.2.逻辑推理会用向量法证明直线与平面平行、垂直.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一平面的法向量1.法向量的概念如果是空间中的一个平面,n是空间中的一个非零向量,且表示n的有向线段所在的直线与平面 垂直 ,则称n为平面的一个法向量.此时,也称n与平面垂直,记作 n .2.法向量的性质根据定义可知,平面的法向量有如下性质
2、: （1）如果直线l垂直平面 ,则直线l的 任意一个方向向量都是平面的一个法向量;（2）如果n是平面的一个法向量,则对任意的实数0 ,空间向量n也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个 法向量都平行;（3）如果n为平面的一个法向量,A为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点B ,向量AB一定与向量n垂直,即 ABn=0 ,从而可知平面的位置可由n和A唯一确定.要点二直线、平面垂直、平行的判定如果v是直线l的一个方向向量,n是平面的一个法向量,则n/v l ;nv l/,或l .自主思考1.零向量为什么不能作为平面的法向量?答案：提示因为平面的法向量是用来描述空间中平面的位置的,而零向量的方向
3、是任意的,所以无法用零向量来描述空间中平面的位置,即零向量不能作为平面的法向量.2.如果a,b与平面共面且na,nb ,那么n就是平面的一个法向量吗?答案：提示当a,b共线时,n不一定是平面的一个法向量.3.若直线l的一个方向向量为v=(-2,3,0) ,平面的一个法向量为n=(1,-32,0) ,则直线l与平面的关系是什么?若n=(3,2,0)呢?答案：提示当n=(1,-32,0)时,vn ,所以l .当n=(3,2,0)时,因为vn=0 ,所以vn ,所以l/ ,或l .名师点睛1.平面法向量的确定通常有两种方法（1）直接寻找：当几何体中已经给出有向线段,只需证明线面垂直即可.（2）待定系
4、数法：当几何体中没有具体的直线可以作为法向量时,根据已知平面内的两条相交直线的方向向量,可以建立空间直角坐标系,运用待定系数法求解平面的法向量.2.求平面的法向量时,只需构建两个方程求解即可.这是因为根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意一条直线,所以法向量的坐标只要满足两个方程就可以了,从这个角度也可以说明一个平面的法向量有无数个,并且这些法向量都是平行的.互动探究关键能力探究点一求平面的法向量自测自评1.（多选)（2021山东青岛二中高二月考）已知直线l过点P(1,0,-1) ,且平行于向量a=(2,1,1) ,平面
5、过直线l与点M(1,2,3) ,则平面的法向量可能是( )A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1)答案：A ; B ; C解析：由题意可知,平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM ,PM=(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4) .选项A,(2,1,1)(1,-4,2)=0,(0,2,4)(1,-4,2)=0 ,满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)(14,-1,12)=0,(0,2,4)(14,-1,12)=0 ,满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)(-14,1,-12)=0,(0,2,4)(-14,1,-12)=
6、0 ,满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)(0,-1,1)=0 ,但(0,2,4)(0,-1,1)0 ,故错误.2.在三棱锥P-ABC中,CP、CA、CB两两垂直,AC=CB=1 ,PC=2 ,如图,建立空间直角坐标系,则下列向量中是平面PAB的一个法向量的是( )A.(1,1,12) B.(1,2,1)C.(1,1,1)D.(2,-2,1)答案：A 解析：A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2) ,PA=(1,0,-2),AB=(-1,1,0) ,设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),由nPA=0,nAB=0,得x-2=0,-x+y=0,解得x=2,y=2,n=(2,
7、2,1)又(1,1,12)=12n ,平面PAB的一个法向量为(1,1,12) .3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD ,PD=DC=1 ,E是PC的中点,求平面EDB的一个法向量.答案：建立如图所示的空间直角坐标系.依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1),E(0,12,12),B(1,1,0) ,则DE=(0,12,12),DB=(1,1,0) .设平面EDB的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nDE,nDB ,所以nDE=12y+12z=0,nDB=x+y=0,取x=1 ,则y=-1,z=1 ,故平面EDB的一个法向量为n=(1,-1,1)
8、.解题感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤（1）设向量:设平面的一个法向量为n=(x,y,z) .（2）选向量:在平面内选取两个不共线的向量AB,AC .（3）列方程组:由nAB,nAC列出方程组.（4）解方程组:nAB=0,nAC=0.（5）赋非零值:取其中一个为非零值（常取1）.（6）得结论:得到平面的一个法向量.探究点二利用空间向量证明线面平行精讲精练例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AB=4 ,AA1=2 ,点E,F,G分别是DD1,BD,AA1的中点,求证：D1G/平面EFC .答案：证明如图,以D为原点,DA,DC,DD1的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直
9、角坐标系.则A(4,0,0),B(4,4,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),G(4,0,1),E(0,0,1),F(2,2,0),D1G=(4,0,-1),FE=(-2,-2,1),FC=(-2,2,0) ,设平面EFC的一个法向量为n(x,y,z) ,则nFE,nFC,-2x-2y+z=0,-2x+2y=0.令x=1 ,解得y=1,z=4.n=(1,1,4) .又D1Gn=41+01+(-1)4=0 ,nD1G .又D1G平面EFC,D1G/平面EFC .解题感悟利用向量证明线面平行问题的方法（1）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.（2）证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方
10、向向量共线.（3）证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示,即用平面向量基本定理证明线面平行.迁移应用1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,且A1M=AN=2a3 ,证明：MN平面BB1C1C .答案：证明以C1为原点,C1B1,C1D1,C1C的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,由于A1M=AN=2a3 ,故M(a,2a3,a3),N(2a3,2a3,a),D1(0,a,0),则MN=(-a3,0,2a3) .又C1D1平面BB1C1C,所以C1D1=(0,a,0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为
11、MNC1D1=0 ,所以MNC1D1 ,又MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.探究点三利用空间向量证明线面垂直精讲精练例如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证：EF平面B1AC .答案：证明设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2) .EF=(-1,-1,1),AB1=(0,2,2),AC=(-2,2,0) .设平面B1AC的一个法向量为n=(x,y,z) ,则nAB1=0,nAC=0,2y+2z=0,-2x+2y=0,令x=1 ,得
12、y=1,z=-1 ,平面B1AC的一个法向量为n=(1,1,-1) ,显然EF=-n,EF/n ,EF平面B1AC .解题感悟利用向量证明线面垂直的方法1.证明直线的方向向量与平面的法向量平行.2.证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量分别垂直.步骤：（1）求直线的方向向量;（2）求出平面内两相交直线的方向向量;（3）分别计算两组向量的数量积,得数量积为0.迁移应用1.若直线l的一个方向向量为a=(1,0,2) ,平面的一个法向量为n=(-2,0,-4) ,则( )A.l B.lC.l D.l与斜交答案：B解析：a=(1,0,2),n=(-2,0,-4),n=-2a ,即na,l .2
13、.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD底面ABCD ,AD=PD=1 ,E,F分别为CD,PB的中点.求证：EF平面PAB .答案：证明以D为坐标原点,DC,DA,DP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设E(a,0,0) ,其中a0 ,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F(a,12,12) .则EF=(0,12,12),PB=(2a,1,-1),AB=(2a,0,0) .因为EFAB=0,EFPB=0 ,所以EFAB,EFPB .又PB平面PAB ,AB平面PAB ,PBAB=B ,所以EF平面PAB
14、 .评价检测素养提升课堂检测1.（2021北京大兴第一中学高二期中）若向量AB=(1,2,3) ,AC=(3,2,1) ,则平面ABC的一个法向量为( )A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)答案：A2.如图,在正方体ABCD-ABCD中,下列直线与平面ADC平行的是( )A.BC B.AB C.AB D.BB答案：B3.如果直线l的一个方向向量是a=(-2,0,1) ,且直线l上有一点P不在平面内,平面的一个法向量是b=(2,0,4) ,则( )A.直线l与平面垂直B.直线l与平面平行C.直线l在平面内D.直线l与平面相交但不垂直答案：B4.（202
15、0山东烟台一中高二检测）已知直线l的一个方向向量为d=(2,3,5) ,平面的一个法向量为u=(-4,m,n) ,若l ,则m+n=答案：-16素养演练逻辑推理利用空间向量解决线面关系的探索性问题1.在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD ,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.（1）求证：EFCD ;（2）在平面PAD内是否存在一点G ,使GF平面PCB？若存在,请求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.答案：（1）证明：由题意知,DA,DC,DP两两垂直.所以以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.设AD=a ,则D
16、(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,a2,0),P(0,0,a),F(a2,a2,a2) ,所以EF=(-a2,0,a2) ,DC=(0,a,0) ,因为EFDC=0 ,所以EFDC ,从而得EFCD .（2）存在.假设存在满足条件的点G ,设G(x,0,z) ,则FG=(x-a2,-a2,z-a2),CB=(a,0,0),CP=(0,-a,a) ,若使GF平面PCB ,则FGCB=(x-a2,-a2,z-a2)(a,0,0)=a(x-a2)=0 ,解得x=a2 ,FGCP=(x-a2,-a2,z-a2)(0,-a,a)=a22+a(z-a2)=0 ,解得z=0 ,所以点G的坐标为(a2,0,0) ,故存在满足条件的点G ,且点G为AD的中点.素养探究：本题考查应用空间向量解决线面的垂直问题,考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养（1）可建立空间直角坐标系,求EF、DC的坐标,根据数量积等于0可证得结论;（2）要首先假设存在满足条件的点G ,用向量法证明线面垂直可得答案.
