1、北京市海淀区2020-2021学年高二数学下学期期中试题2021.4本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知等差数列中，公差，则（ ）A.9 B.10 C.11 D.122.已知等比数列的公比为，前项和为若，则（ ）A.8 B.12 C.14 D.163.函数的导函数（ ）A. B. C. D.4.已知函数的图象如图所示，则的极小值点的集合为（ ）A. B.C. D.5.已知函数若对于任意都有，则实数的范围是
2、（ ）A. B. C. D.6.科学家经过长期监测，发现在某一段时间内，某物种的种群数量可以近似看作时间的函数，记作，其瞬时变化率和的关系为，其中为常数.在下列选项所给函数中，可能是（ ）A. B.C. D.7.若函数有唯一零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.或8.一个小球作简谐振动，其运动方程为，其中(单位：是小球相对于平衡点的位移，(单位：)为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，（ ）A.1 B. C. D.9.已知等比数列满足，记，则数列（ ）A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项10.已知等比数列满足若，则（
3、）A. B.C. D.二填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11.函数在处的切线方程为_.12.已知函数，则_.13.已知等比数列的前项和，则_，_.14.已知等比数列满足能说明“若，则为假命题的数列的通项公式_.(写出一个即可)15.物体的温度在恒定温度环境中的变化模型为：，其中表示物体所处环境的温度，是物体的初始温度，是经过小时后物体的温度，且现将与室温相同的食材放进冰箱的冷冻室，如果用以上模型来估算放入冰箱食材的温度变化情况，则食材的温度在单位时间下降的幅度_(填写正确选项的序号).越来越大越来越小恒定不变三解答题：共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明证明过程或演算步
4、骤.16.已知等差数列的前项和为，且（1）求的通项公式；（2）求数列的前20项和；（3）在数列中是否存在不同的两项，使得它们的等比中项中至少有一个仍是该数列中的项？若存在，请写出这两项的值(写出一组即可)；若不存在，请说明理由.17.已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.18.易拉罐用料最省问题的研究.小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个.这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深
5、入研究.以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分.（I）模型假设：易拉罐近似看成圆柱体；上盖下底侧壁的厚度处处均匀；上盖下底侧壁所用金属相同；易拉罐接口处的所用材料忽略不计.（II）建立模型记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖下底和侧壁的厚度分别为，金属用料总量为C.由几何知识得到如下数量关系：由得，代入整理得：.因为都是常数，不妨设，则用料总量的函数简化为.请写出表格中代入整理这一步的目的是：_.（III）求解模型：所以，在_(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.()检验模型：小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（II
6、I）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大.实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优.()模型评价与改进：模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：_.相应改进措施为：_.19.集合，集合，若集合中元素个数为，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合为“好集合”.（1）判断集合是否为“好集合”；（2）若集合是“好集合”，求的值；（3）“好集合”的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数学2021.4本试卷共4页，100分.考试时长90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试
7、卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项12345678910CCABBADDAA二填空题共5小题，每小题4分，共20分.11.12.13.(每空2分)14.(答案不唯一)15.三解答题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16.【解析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，所以.（2）由可得，由可得，所以，所以.（3）存在答案不唯一)17.【解析】（1）当时，定义域为，当时，；当时，所以的单调递增区间是；当时，所以的单调递减区间是；综上，的单调递增区间是
8、，单调递减区间是.（2）定义域为，所以恒成立，等价于恒成立，设，则，当时，；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递减区间是所以，的极大值，此时也是最大值，为.所以的取值范围是.18.【解析】（2）表格中代入整理这一步的目的是：消元，消去变量，使中的表达式只含有一个自变量.（3）解：由可得，当时，；当时，所以的单调递增区间是.当时，所以的单调递减区间是.所以，在时，取得最小值，即在此种情况下用料最省.（）说明：本小题的答案不唯一，下面两种是常见的两个考虑维度，答出任何一条即可，但是学生指出的原因和改进措施必须相匹配，只填出一空不给分.模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：模型假设过于简
9、单，把易拉罐近似看成圆柱体，但实际上易拉罐的上部为近似圆台体，尤其是底部有凹进去的部分相应改进措施：更精细描述易拉罐，例如将易拉罐体看作是圆台和圆柱的组合体.模型主要考虑了如何设计使得用料最省，但实际上还需要考虑生产与运输中的其它限制条件，还有消费者的喜好等其它因素.相应改进措施：了解在现实中，商家认为的最优内涵要素，重新界定问题.19.【解析】（1），相应的符合题意，所以是“好集合”；，因为，所以不符合题意，所以不是“好集合”；（2），相应的，又因为，所以元素由小到大排列后为：或因为这个序列是等差数列，所以公差.所以或，所以或经检验，当时，符合题意；时，不符合题意.所以（3）“好集合”的元素
10、个数存在最大值.由（2）可知即为“好集合”.以下证明都不是“好集合，共分为两步：先证明“好集合”的元素个数，再证明也不符合题意.不妨设，记，中的所有元素从小到大排列为，构成的等差数列公差为显然，所以.第一步，证明“好集合”的元素个数.(反证法)假设，以下分与两种情况进行讨论：（1）若，又因为且公差，可得，所以，所以，因为余下的两项之和中，最小，所以，所以，因为，在余下的项中，是和是较小的，因为，所以，所以，则所以这与“中元素个数为”矛盾!（2）若，则，在余下的项中，是和是较小的，若，那么，所以，而与“中元素个数为”矛盾!若，那么所以，因为余下的两项之和中，最小，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，与“中元素个数为”矛盾!综合（1）（2）可知，假设不成立，所以.第二步，证明也不符合题意当时，显然，所以，且，即公差为，因为所以，注意到，否则成等差数列，与“中元素个数为”矛盾!所以，又因为，所以，所以，所以，所以成等差数列，所以，与“中元素个数为”矛盾!所以，也不符合题意.
