1、加练课4 直线与圆的综合问题学习目标1.进一步掌握圆的方程及其应用.2.进一步掌握点的轨迹方程的求解方法.3.进一步掌握圆的弦长、对称以及与圆有关的最值问题.自主学习必备知识夯实基础，自我检测1.圆x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线x-y=2 距离的最大值是( )A.1+2 B.2C.1+22 D.2+22答案：A2.若直线过点P(-3,-32) ，且被圆x2+y2=25 截得的弦长是8，则该直线的方程为 .答案：x=-3 或3x+4y+15=03.在平面直角坐标系中，经过函数f(x)=x2-x-6 的图象与两坐标轴的交点的圆记为圆C .（1）求圆C 的方程；（2）求经过圆心C ，且
2、在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程.答案：（1）设圆C 的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0) .由题意得f(x) 的图象与两坐标轴的交点分别为(0,-6)，(-2,0)，(3,0)，将交点的坐标代入圆的方程得36-6E+F=0,4-2D+F=0,9+3D+F=0, 解得D=-1,E=5, F=-6,所以圆C 的方程为x2+y2-x+5y-6=0 .（2）由（1）知，圆心C 的坐标为(12,-52) ，若直线l 经过原点，则直线l 的方程为5x+y=0 ；若直线l 不过原点，设直线l 的方程为x+y=a ，则a=12-52=-2 ，即直线l 的方程为x+y+2=0 .
3、综上，直线l 的方程为5x+y=0 或x+y+2=0 .互动探究关键能力探究点一 最值问题精讲精练例（2021安徽宿州十三所中学高二期中联考）若P 是直线l ：3x+4y-9=0 上一动点，过P 作圆C ：x2+y2+4x=0 的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 面积的最小值为( )A.5 B.25 C.7 D.27答案：B解析：易知圆C ：(x+2)2+y2=4 ，所以其圆心C 为(-2,0)，半径r=2 ，画出图象，如图所示，因为过P 作圆C 的两条切线，所以PAC=PBC=90 ，且PACPBC ，所以四边形PACB 的面积S=2SPAC=212|AC|PA|=2|PA|
4、 ，又|PA|=|PC|2-|AC|2=|PC|2-4 ，所以当|PC| 最小时，|PA| 最小，四边形PACB 的面积最小，由图象可得，|PC| 的最小值即点C 到直线l 的距离，所以|PC|min=|3(-2)-9|32+42=3 ，所以|PA|min=9-4=5 ，所以四边形PACB 面积的最小值Smin=2|PA|min=25 .解题感悟求解与圆有关的最值问题的两大规律：（1）建立函数关系式求最值，先根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等.（2）借助几何性质求最值.迁移应用（2021安徽淮南一中高二期中）一束光线从点A(2,3)
5、射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆(x+3)2+(y-2)2=2 上一点B ，则|AC|+|BC| 的最小值为( )A.32 B.52C.42 D.62答案：C解析：易知圆(x+3)2+(y-2)2=2 的圆心为(-3,2)，半径为2 ，所以该圆关于x 轴对称的圆的圆心为P(-3,-2) ，故|AP|=52 ，由图得|AC|+|BC|AP|-r=52-2=42 .探究点二 直线与圆的相交、相切问题精讲精练例已知点P(2+1,2-2) ，点M(3,1) ，圆C ：(x-1)2+(y-2)2=4 .（1）求过点P 的圆C 的切线方程；（2）求过点M 的圆C 的切线方程，并求切线长.答案：（1）由
6、题意得圆心C为(1,2)，半径r=2 .(2+1-1)2+(2-2-2)2=4 ， 点P 在圆C 上.又kPC=2-2-22+1-1=-1 ， 所求切线的斜率k=-1kPC=1 ， 过点P 的圆C 的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1) ，即x-y+1-22=0 .（2）(3-1)2+(1-2)2=54 ， 点M 在圆C 的外部.当过点M 的切线的斜率不存在时，切线的方程为x=3 ，即x-3=0 ，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k(x-3) ，即kx-y+1-3k=0 ，则圆心C 到切线的距离d=|k-2+1-3k|k2+1=r=2 ，解得k=34 . 切线方程为y-1
7、=34(x-3) ，即3x-4y-5=0 .综上，过点M 的圆C 的切线方程为x-3=0 或3x-4y-5=0 .|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5 ， 切线长为|MC|2-r2=5-4=1 .解题感悟1.当直线与圆相交时，求直线被圆截得的弦长是高考中的常见题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：（1）垂直于弦的直径平分这条弦；（2）圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；（3）d2+(l2)2=r2 .2.求过圆外一点P 的切线长，利用点P 与圆心的距离和半径构成的直角三角形求解.迁移应用已知圆C 过点P(1,4),Q(3,2) ，且圆心C 在直线x+y-3=0 上.（1）求圆C 的
8、标准方程；（2）若过点(2,3)的直线m 被圆C 截得的弦MN 的长是23 ，求直线m 的方程.答案：（1）设圆C 的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0) ，依题意可得， a+b-3=0, (1-a)2+(4-b)2=(3-a)2+(2-b)2,解得a=1,b=2,r=CP=(1-1)2+(4-2)2=2 ， 圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4 .（2）|MN|=23 ， 圆心到直线m 的距离d=r2-(3)2=4-3=1 .直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为x=2 ，满足题意；直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y-3=k(x-2) ，即kx-y-2k+
9、3=0 ，d=|k-2-2k+3|k2+1=1 ，解得k=0 ， 直线m 的方程为y=3 .综上，直线m 的方程为x=2 或y=3 .评价检测素养提升数学运算、直观想象在轨迹问题中的应用如图，已知圆C1 ：(x-1)2+(y+1)2=2 ，圆C2 ：(x+2)2+(y+1)2=5 ，过原点O 的直线l 与圆C1,C2 的交点依次是P,O,Q .（1）若|OQ|=2|OP| ，求直线l 的方程；（2）若线段PQ 的中点为M ，求点M 的轨迹方程.答案：（1）由已知得圆C1 的圆心坐标为(1,-1)，半径为2 ，圆C2 的圆心坐标为(-2,-1)，半径为5 .设直线l 的方程为y=kx ，C1,C
10、2 到直线l 的距离分别为d1,d2 .由已知得25-d22=42-d12 ，即4d12-d22=3 ，所以4(|k+1|k2+1)2-(|1-2k|k2+1)2=3 ，整理得k2-4k=0 ，解得k=0 或k=4 ，所以直线l 的方程为y=0 或y=4x .（2）设直线l 的方程为y=kx ，则由y=kx, (x+2)2+(y+1)2=5, 消去y 得(1+k2)x2+(2k+4)x=0 ，解得x1=0 ，x2=-2k+41+k2 ，其中k-2 ，所以Q(-2k+41+k2,-k(2k+4)1+k2) ，同理可得P(2-2k1+k2,k(2-2k)1+k2) ，其中k1 ，设M(x,y) ，
11、则x=-2k+11+k2, y=-k(2k+1)1+k2, 将k=yx 代入式消去k 得x2+y2+x+2y=0 ，又k1 且k-2 ，所以代入求得(-32,-32) 和(35,-65) ，故点M 的轨迹方程为x2+y2+x+2y=0 （挖去点(-32,-32) 和(35,-65) ）.素养探究：（1）设直线l 的方程为y=kx ，先结合圆的几何关系和勾股定理，分别求出12|OQ| ，12|OP| ，渗透了直观想象的素养；再结合|OQ|=2|OP| 代值求解即可，渗透了数学运算的素养.（2）联立直线与圆的方程分别求出点P,Q 的坐标，结合中点坐标公式求出点M 的坐标，消参即可求得点M 的轨迹方
12、程，渗透了数学运算的素养.迁移应用已知过原点的动直线l 与圆C1 ：x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点A ，B .（1）求圆C1 的圆心的坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹方程.答案：（1）由x2+y2-6x+5=0 得(x-3)2+y2=4 ，所以圆C1 的圆心的坐标为(3,0).（2）设M(x,y) ，因为点M 为线段AB 的中点，所以C1MAB ，所以kC1MkAB=-1 ，当x3 时，可得yx-3yx=-1 ，整理得(x-32)2+y2=94 ，又当直线l 与x 轴重合时，点M 的坐标为(3,0)，代入上式成立.设直线l 的方程为y=kx ，与x2+y2-6x+5=0 联立，消去y 得(1+k2)x2-6x+5=0 ，令=(-6)2-4(1+k2)5=0 ，得k2=45 ，此时方程为95x2-3x=0 ，解得x=53 或x=0 （舍去），因此53x3 ，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为(x-32)2+y2=94(53x3) .
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