1、微专题3 圆锥曲线中的探索性与开放性问题学习目标1.掌握圆锥曲线中的探索性问题的解题方法.2.掌握以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的开放性问题的解题方法.自主检测必备知识夯实基础，自我检测1.已知等边三角形ABF 的顶点F 是抛物线C1:y2=2px(p0) 的焦点，顶点B 在抛物线的准线l 上，且ABl ，则点A ( )A.在C1 开口内 B.在C1 上C.在C1 开口外 D.与p 的值有关答案：B2.如图所示，点F 是抛物线y2=8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y2=8x 及圆x2+y2-4x-12=0 的实线部分运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB 的周长的取值范围是 .答案：
2、(8,12)解析：设A(xA,yA),B(xB,yB) .易知抛物线y2=8x 的准线方程为x=-2 ，焦点F(2,0) ，由抛物线的定义可得|AF|=xA+2 .易知圆x2+y2-4x-12=0 的圆心为(2,0)，半径r=4 ，所以FAB 的周长L=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB ，由题意可知抛物线与圆的交点的横坐标均为2，所以xB(2,6) ，所以6+xB(8,12) .3.已知点F 是双曲线x24-y212=1 的左焦点，定点A(1,4) ，P 是双曲线右支上的动点，试问：|PF|+|PA| 是否存在最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.答
3、案： |PF|+|PA| 有最小值. 点F 是双曲线x24-y212=1 的左焦点，a=2 ，b=23 ，c=4 ，F(-4,0) ，设该双曲线的右焦点为M ，则M(4,0) ，由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4 ，则|PF|=|PM|+4 ，所以|PF|+|PA|=4+|PM|+|PA|4+|AM|=4+(4-1)2+(0-4)2=4+5=9 ，当且仅当A、P、M 三点共线时，等号成立，因此|PF|+|PA| 有最小值9.互动探究关键能力探究点一 结论存在型问题精讲精练例（2021河北石家庄二中高二期中）在平面直角坐标系中，动点M 与点A(-1,0) 和B(1,0) 的距离分别为d1
4、和d2,AMB=2 ，且d1d2cos2=1 .（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P,Q 两点，且以线段PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.答案： （1）当0 时，在ABM 中，由余弦定理得4=d12+d22-2d1d2cos2 ，代入d1d2cos2=1 ，整理得d1+d2=22 ，所以点M 的轨迹E 是以A(-1,0) 和B(1,0) 为焦点，长轴长为22 的椭圆（除去长轴的两个端点）.又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，=0 ，也满足d1d2cos2=1 ，所以动点M 的轨迹E 的方程是x22+y2=
5、1 .（2）假设存在直线l满足题意，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k(x-1) ，联立得y=k(x-1),x22+y2=1, 整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0 ，设P,Q 两点的坐标依次为(x1,y1),(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2 .由以线段PQ 为直径的圆过原点得，OPOQ=0 ，即x1x2+y1y2=0 .又y1y2=k(x1-1)k(x2-1)=k2x1x2-(x1+x2)+1 ，所以x1x2+k2x1x2-(x1+x2)+1=0 ，所以2k2-21+2k2+k2(2k2-21+2k2-
6、4k21+2k2+1)=0 ，即k=2 ；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1 ，此时P(1,22)、Q(1,-22) ，经验证OPOQ0 不满足题意.综上所述，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y=2(x-1) .解题感悟存在性问题的求解策略：（1）当给出条件要推导出存在的结论时，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.（2）当给出结论要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.迁移应用设抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线交于P1,P2 两点，已知|P1P2|=8 .（1）求抛物线C 的方程；（
7、2）已知定点M(m,0)(m0) ，过M 作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，试问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由.答案：（1）由已知条件得2p=8 ， 抛物线C 的方程为y2=8x .（2）设过M 的直线的方程为x=ty+m ，代入y2=8x ，得y2-8ty-8m=0 .设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=8t ，y1y2=-8m ，设线段AB 的中点为T(xT,yT) ，则yT=y1+y22=4t ，xT=tyT+m=4t2+m ，T(4t2+m,4t) ，故|AB|=1+t2|y1-y2|
8、=1+t264t2+32m .设存在直线x=x0 满足条件，则|4t2+m-x0|=121+t264t2+32m ，32(m-x0)t2+4(m-x0)2=(64+32m)t2+32m 对任意的t 恒成立，32(m-x0)=64+32m,4(m-x0)2=32m, 解得x0=-2,m=2, 故当m=2 时，存在直线x=-2 满足条件；当m2 且m0 时，直线不存在.探究点二 条件探索型问题精讲精练例（2021河北沧州七校联盟高二期中）在|PF|=x0+1 ；y0=2x0=2 ；PFx 轴时，|PF|=2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知抛物线C:y2=2px(p0)
9、的焦点为F ，点P(x0,y0) 在抛物线C 上，且 .（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线l:x-y-2=0 与抛物线C 交于A ，B 两点，求ABF 的面积.答案：（1）选：由抛物线的性质可得|PF|=x0+p2 ，因为|PF|=x0+1 ，所以x0+p2=x0+1 ，解得p=2 ，故抛物线C的标准方程为y2=4x .选：因为y0=2x0=2 ，所以y0=2 ，x0=1 ，因为点P(x0,y0) 在抛物线C 上，所以y02=2px0 ，即2p=4 ，解得p=2 ，故抛物线C的标准方程为y2=4x .选：因为PFx 轴，所以|PF|=p2+p2=p ，又|PF|=2 ，所以p=2 ，故
10、抛物线C的标准方程为y2=4x .（2）设A(x1,y1),B(x2,y2), 由（1）可知F(1,0) .联立得x-y-2=0,y2=4x, 整理得y2-4y-8=0 ，则y1+y2=4 ，y1y2=-8 ，所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+32=43 ，故|AB|=1+1k2|y1-y2|=243=46 .又点F 到直线l 的距离d=|1-2|1+1=22 ，所以ABF 的面积为12|AB|d=124622=23 .解题感悟这类问题并没有确定的条件，只是给出了一些相关命题，需要对这些条件猜想、尝试、探求，选一个合适的条件把题干补充完整再作答，具有极强的探索性.迁移应用
11、（2021福建泉州高二质量检测）已知抛物线E:y2=2px(p0) 的焦点为F ，直线x=3 被E 截得的线段的长为62 .（1）求E 的方程；（2）若不过点F 的直线l 与E 交于A ，B两点，请从下列三个条件中任选两个作为补充条件，并尝试依据补充条件，求l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）.线段AB 的中点的纵坐标为3；ABF 的重心在直线y=2 上；|AF|+|BF|=13 .答案：（1）因为直线x=3 被E:y2=2px(p0) 截得的线段的长为62 ，所以抛物线E:y2=2px(p0) 过点(3,32) ，则18=6p ，所以p=3 ，则E 的方程为y2=6x .（
12、2）当直线l 的斜率不存在时，l 与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点的纵坐标为0，不管选，均不符合，故直线l的斜率存在.设l:y=kx+b(k0) ，A(x1,y1),B(x2,y2) ，由（1）知F(32,0) ，由y=kx+b,y2=6x, 消去x 后整理得ky2-6y+6b=0 ，所以y1+y2=6k .若选：因为线段AB 的中点的纵坐标为3，所以y1+y2=6k=6 ，则k=1.因为|AF|+|BF|=13 ，所以x1+x2+p=13 ，则x1+x2=10 ，即y1+y2-2b=10 ，所以b=-2 ，因此直线l 的方程为y=x-2 .若选：因为ABF 的重心在直线y=2 上，
13、所以y1+y2+yF3=2 ，则y1+y2=6=6k ，所以k=1 ，因为|AF|+|BF|=13 ，所以x1+x2+p=13 ，则x1+x2=10 ，即y1+y2-2b=10 ，所以b=-2 ，因此直线l 的方程为y=x-2 .若选：因为线段AB 的中点的纵坐标为3，所以y1+y2=6k=6 ，则k=1 .因为ABF 的重心在直线y=2 上，所以y1+y2+yF3=2 ，则y1+y2=6=6k ，所以k=1 .因为两个条件都只能得出斜率k=1 ，无法计算出b 的值，所以不能得到直线l 的方程.评价检测素养提升1.已知抛物线C ：y2=2px(p0) 的准线方程为x=-1 ，F 是C 的焦点.
14、（1）求抛物线C 的标准方程；（2）是否存在正数m ，对于过点M(m,0) ，且与抛物线C 交于A ，B 两点的任一直线，都有FAFB0 ？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案： （1）由已知得p2=1 ，所以p=2 ，所以抛物线C 的标准方程为y2=4x .（2）设直线方程为x=ty+m ，过点M(m,0)(m0) 的直线与抛物线C 的交点为A(x1,y1),B(x2,y2) ，联立得x=ty+m,y2=4x, 消去x 得y2-4ty-4m=0 ，=16(t2+m)0 ，且y1+y2=4t, y1y2=-4m, 由（1）知F(1,0) ，FA=(x1-1,y1) ，FB=(
15、x2-1,y2) ，由FAFB0 可得(x1-1)(x2-1)+y1y20 ，即x1x2-(x1+x2)+1+y1y20 ，x1=y124 ，x2=y224 ，代入可得y124y224+y1y2-(y124)+10 ，化简得(y1y2)216+y1y2-14(y1+y2)2-2y1y2+10 ，根据式，化简得m2-6m+14t2 ，且对任意的实数t ，4t20 恒成立，m2-6m+10 ，解得3-22m3+22 ， 存在正数m ，对于过点M(m,0) ，且与抛物线C 交于A ，B 两点的任一直线，都有FAFB0 ，且m 的取值范围是(3-22,3+22) .2.（2021黑龙江高二学业水平考试
16、）已知F 是抛物线C:y2=2px(p0) 的焦点，M(3,t) 是抛物线上一点，且|MF|=4 .（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若OAOB=-4 （O 为坐标原点），则直线l 是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.答案： （1）由题意可知抛物线C的准线方程为x=-p2 ，因为|MF|=4 ，所以根据抛物线的定义可知3-(-p2)=4 ，所以p=2 ，所以抛物线C 的方程为y2=4x .（2）设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线l:x=ny+m ，联立得x=ny+m,y2=4x, 消去x 得y2-4ny-4m=0 ，所以y1+y2=4n ，y1y2=-4m ，所以x1x2=(ny1+m)(ny2+m)=n2y1y2+mn(y1+y2)+m2 ，由OAOB=-4 得x1x2+y1y2=-4 ，所以n2y1y2+mn(y1+y2)+m2+y1y2=-4 ，所以(n2+1)y1y2+mn(y1+y2)+m2+4=0 ，所以-4m(n2+1)+4mn2+m2+4=0 ，所以m2-4m+4=0 ，所以m=2 ，所以直线l 的方程为x=ny+2 ，故直线l恒过点(2,0).
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