1、第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.真 题 感 悟(2016无锡高三期末)已知函数 f(x)ln xae2x(a0).(1)当 a2 时，求出函数 f(x)的单调区间；(2)若不等式 f(x)a 对于 x0 的一切值恒成立，求实数 a 的取值范围.解(1)由题意知函数 f(x)的定义域为(0，).当 a2
2、时，函数 f(x)ln xex，所以 f(x)1x ex2xex2，所以当 x(0，e)时，f(x)0，函数 f(x)在(0，e)上单调递减；当 x(e，)时，f(x)0，函数 f(x)在(e，)上单调递增.(2)由题意知 ln xae2xa 恒成立.等价于 xln xae2ax0 在(0，)上恒成立.令 g(x)xln xae2ax，则 g(x)ln x1a，令 g(x)0，得 xea1.列表如下：x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)极小值所以 g(x)的最小值为 g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1，令 t(x)xe2ex1(x0)，则 t(x)1ex1，令
3、 t(x)0，得 x1.列表如下：所以当 a(0，1)时，g(x)的最小值为 t(a)t(0)e21ee（e2）1e0，符合题意；当 a1，)时，g(x)的最小值为 t(a)ae2ea10t(2)，所以 a1，2.综上所述，a(0，2.x(0，1)1(1，)t(x)0t(x)极大值考 点 整 合 1.导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则yf(x)在该区间为增函数；如果f(x)0，则yf(x)在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；利用单调性证明不等式或比较
4、大小，常用构造函数法.2.极值的判别方法 当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值.也就是说x0是极值点的充分条件是点x0两侧导数异号，而不是f(x)0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点，而且极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小.3.闭区间上函数的最值 在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小
5、值中的最小者.热点一 利用导数研究函数的单调性微题型 1 求解含参函数的单调区间【例 11】(2016南通调研)设函数 f(x)aln xx1x1，其中 a 为常数.(1)若 a0，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论函数 f(x)的单调性.解(1)由题意知 a0 时，f(x)x1x1，x(0，).此时 f(x)2（x1）2.可得 f(1)12，又 f(1)0，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 x2y10.(2)函数 f(x)的定义域为(0，).f(x)ax2（x1）2ax2（2a2）xax（x1）2.当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)
6、上单调递增.当 a0 时，令 g(x)ax2(2a2)xa，由于(2a2)24a24(2a1)，当 a12时，0，f(x)12（x1）2x（x1）2 0，函数 f(x)在(0，)上单调递减.当 a12时，0，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减.当12a0 时，0.设 x1，x2(x1x2)是函数 g(x)的两个零点，则 x1（a1）2a1a，x2（a1）2a1a.由于 x1a1 2a1a a22a1 2a1a0，所以 x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递增，x(x2，)时，g(
7、x)0，f(x)0，函数 f(x)单调递减，综上可得：当 a0 时，函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递减；当12a0 时，f(x)在0，（a1）2a1a，（a1）2a1a，上单调递减，在（a1）2a1a，（a1）2a1a上单调递增.探究提高 讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，常需依据以下标准分类讨论：(1)二次项系数为0、为正、为负，目的是讨论开口方向；(2)判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解；(3)讨论两根差的正负，目的是比较根的大小；(4)讨论
8、两根与定义域的关系，目的是根是否在定义域内.另外，需优先判断能否利用因式分解法求出根.微题型2 已知函数的单调区间求参数范围【例12】已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR，e为自然对数的底数).(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围？若不是，请说明理由.(2)因为函数f(x)在(1，1)上单调递增，所以f(x)0对x(1，1)都成立.因为f(x)(2xa)ex(x2ax)exx2(a2)xaex，所以x2(a2)xaex0对x(1，1)都成立.解(1)当 a
9、2 时，f(x)(x22x)ex，所以 f(x)(2x2)ex(x22x)ex(x22)ex.令 f(x)0，即(x22)ex0，因为 ex0，所以x220，解得 2x 2.所以函数 f(x)的单调递增区间是 2，2.因为 ex0，所以x2(a2)xa0 对 x(1，1)都成立，即 ax22xx1（x1）21x1(x1)1x1对 x(1，1)都成立.令 g(x)(x1)1x1，则 g(x)11（x1）20.所以 g(x)(x1)1x1在(1，1)上单调递增.所以 g(x)g(1)(11)11132.所以 a 的取值范围是32，.(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f(x)0对xR都成立，即x
10、2(a2)xaex0对xR都成立.因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立.所以(a2)24a0，即a240，这是不可能的.故函数f(x)不可能在R上单调递减.若函数f(x)在R上单调递增，则f(x)0对xR都成立，即x2(a2)xaex0对xR都成立，因为ex0，所以x2(a2)xa0对xR都成立.而(a2)24aa240，故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上，可知函数f(x)不可能是R上的单调函数.探究提高(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x
11、)不恒等于0的参数的范围.(2)可导函数f(x)在某个区间D内单调递增(或递减)，转化为恒成立问题时，常忽视等号这一条件，导致与正确的解法擦肩而过，注意，这里“”一定不能省略.【训练 1】(2016苏北四市调研)已知函数 f(x)(ax2x)ln x12ax2x(aR).(1)当 a0 时，求曲线 yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程(e2.718)；(2)求函数 f(x)的单调区间.解(1)当a0时，f(x)xxln x，f(x)ln x，所以f(e)0，f(e)1.所以曲线yf(x)在点(e，f(e)处的切线方程为yxe，即xye0.(2)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)(a
12、x2x)1x(2ax1)ln xax1(2ax1)ln x.当 a0 时，2ax10，若 x(0，1)，则 f(x)0，若 x(1，)，则 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减.当 0a12时，若 x(0，1)或 x12a，则 f(x)0，若 x1，12a，则 f(x)0，所以函数 f(x)在(0，1)，12a，上单调递增，在1，12a 上单调递减.当 a12时，f(x)0 且仅 f(1)0，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增.当 a12时，若 x0，12a 或 x(1，)，则 f(x)0，若 x12a，1，则 f(x)0，所以函数 f(x)在0，12
13、a，(1，)上单调递增，在12a，1 上单调递减.综上，当 a0 时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当 0a12时，函数 f(x)的增区间为(0，1)，12a，减区间为1，12a.当 a12时，函数 f(x)的增区间为(0，)；当 a12时，函数 f(x)的增区间为0，12a，(1，)，减区间为12a，1.热点二 利用导数研究函数的极值【例2】(2016苏、锡、常、镇调研)设函数f(x)x2exk(x2ln x)(k为实常数，e2.718 28是自然对数的底数).(1)当k1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在(0，4)内存在三个极值点，求k的取值范围.解
14、(1)当 k1 时，函数 f(x)exx2(x2ln x)(x0)，则 f(x)（x2）（exx2）x3(x0).当 x0 时，exx2，理由如下：要使当 x0 时，exx2，只需使 x2ln x，设(x)x2ln x，则(x)12xx2x，所以当 0 x2 时，(x)0；当 x2 时，(x)0，所以(x)x2ln x 在 x2 处取得最小值(2)22ln 20，所以当 x0 时，x2ln x，所以 exx20，所以当 0 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0，即函数 f(x)在(0，2)上为减函数，在(2，)上为增函数，所以 f(x)在 x2 处取得最小值 f(2)e2422ln
15、2.(2)因为 f(x)（x2）（exkx2）x3（x2）exx2kx，当 k0 时，exx2k0，所以 f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，4)单调递增，不存在三个极值点，所以 k0.令 g(x)exx2，得 g(x)ex（x2）x3，则 g(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，在 x2 处取得最小值为 g(2)e24，且 g(4)e416，于是可得 yk 与 g(x)exx2在(0，4)内有两个不同的交点的条件是 ke24，e416.设 yk 与 g(x)exx2在(0，4)内的两个不同交点的横坐标分别为 x1，x2，且 0 x12x24，导函数 f(x)及原函数 f(x
16、)的变化情况如下：x(0，x1)x1(x1，2)2(2，x2)x2(x2，4)4x202exx2k0e24k0e416kf(x)000f(x)极小值极大值极小值所以 f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，2)上单调递增，在(2，x2)上单调递减，在(x2，4)上单调递增，所以 f(x)在(0，4)上存在三个极值点.即函数 f(x)在(0，4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是e24，e416.探究提高 极值点的个数，一般是使f(x)0方程根的个数，一般情况下导函数若可以化成二次函数，我们可以利用判别式研究，若不是，我们可以借助导函数的性质及图象研究.【训练2】设函数f(x)ax32x2
17、xc.(1)当a1，且函数图象过(0，1)时，求函数的极小值；(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围.解 由题得 f(x)3ax24x1.(1)函数图象过(0，1)，有 f(0)c1.当 a1 时，f(x)3x24x1.令 f(x)0，解得 x13或x1；令 f(x)0，解得13x1.所以函数在，13 和1，)上单调递增，在13，1上单调递减，极小值是 f(1)13212111.(2)若f(x)在R上无极值点，则f(x)在R上是单调函数，即f(x)0或 f(x)0 恒成立.当 a0 时，f(x)4x1，显然不满足条件；当 a 0 时，f(x)0 或 f(x)0 恒成立的充要条件是(4)
18、243a10，即 1612a0，解得 a43.综上，a 的取值范围为43，.热点三 利用导数研究函数的最值【例3】(2015南京、盐城模拟)设函数f(x)x3kx2x(kR).(1)当k1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时，求函数f(x)在k，k上的最小值m和最大值M.解 f(x)3x22kx1.(1)当k1时，f(x)3x22x1，41280，所以f(x)0恒成立，故f(x)在R上单调递增.故函数f(x)的单调增区间为(，)，无单调减区间.(2)当k0时，对xk，k，都有 f(x)f(k)x3kx2xk3k3k(x21)(xk)0，故f(x)f(k)；f(x)f(k)x3kx2xk
19、3k3k(xk)(x22kx2k21)(xk)(xk)2k210，故f(x)f(k).而f(k)k0，f(k)2k3k0，所以f(x)maxf(k)2k3k，f(x)minf(k)k.探究提高 含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论；(3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.【训练 3】已知函数 f(x)xln x.(1)求函数 f(x)的单调区间和最小值；(2)若函数 F(x)f（x）ax在1，e上
20、的最小值为32，求 a 的值.解(1)因为 f(x)ln x1(x0)，令 f(x)0，即 ln x1ln e1，所以 xe11e，所以 x1e，.同理令 f(x)0，可得 x0，1e.所以 f(x)的单调递增区间为1e，单调递减区间为0，1e.由此可知 f(x)minf1e 1e.(2)F(x)xax2，当 a0 时，F(x)0，F(x)在1，e上单调递增，F(x)minF(1)32，所以 a320，)，舍去.当 a0 时，F(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增.当 a(1，0)，F(x)在1，e上单调递增，F(x)minF(1)a32，所以 a32(1，0)，舍去.若 ae，
21、1，F(x)在1，a上单调递减，在a，e上单调递增，所以 F(x)minF(a)ln(a)132，a ee，1；若 a(，e)，F(x)在1，e上单调递减，F(x)minF(e)1ae32，所以 ae2(，e)，舍去.综上所述 a e.1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.2.可导函数在闭区间a，b上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.3.可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在xx0处的导数f(x0)0”是“f(x)在xx0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维直接求函数的极值或最值；也有逆向思维已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.