1、2.2 直线的方程2.2.1 直线的点斜式方程课标解读课标要求素养要求1.掌握直线方程的点斜式和斜截式，并会用它们求直线方程. 2.了解直线的斜截式方程与一次函数的关系. 3.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题. 1.数学抽象会从直线的斜截式方程中发现直线的斜截 式方程与一次函数的关系. 2.逻辑推理会推导直线的点斜式和斜截式方程. 3.直观想象会利用直线的点斜式和斜截式方程求直线 方程. 自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 点斜式1.定义：方程y-y0=k(x-x0) 由直线上一个定点(x0,y0) 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称 点斜式
2、 .2.特殊的直线方程：直线l 过定点P0(x0,y0) ，（1）当直线l 的倾斜角为0 时，tan0=0 ，即k=0 ，这时直线l 与x 轴平行或重合，直线l 的方程是y-y0=0 ，即 y=y0 .（2）当直线l 的倾斜角为90 时，由于tan90 无意义，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l 上每一点的横坐标都等于x0 ，所以它的方程是x-x0=0 ，即 x=x0 .要点二 斜截式1.定义：我们把直线l 与y 轴的交点(0,b) 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.这样，方程y=kx+b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确
3、定，我们把方程y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称 斜截式 .2.k,b 的几何意义：k 是直线的 斜率 ，b 是直线在y 轴上的 截距 .3.根据直线的斜截式方程判断两直线平行与垂直：对于直线l1 ：y=k1x+b1 ，l2 ：y=k2x+b2 .（1）l1l2k1=k2 ，且b1b2 ；（2）l1l2k1k2=-1 .自主思考1.直线y+2=-kx+k 过的定点是什么?提示 把方程y+2=-kx+k 转化为y+2=-k(x-1) ，根据点斜式方程可知定点是(1,-2).2.当直线l 与x 轴重合时，直线l 的斜率是多少?直线l 的方程是什么?提示 当直线l 与x 轴重合时，l 的斜率为
4、0.l 的方程是y=0 .3.截距一定是正数吗?提示 不一定，因为纵坐标b 可正、可负、可为0，所以截距可正、可负、可为0.4.直线l1 ：y=x+2 ，直线l2 ：y=k2x+k+1 ，若l1l2 ，则k 的值是多少?提示 若l1l2 ，则k2=1, k+12, 解得k=-1 .名师点睛1.经过点P0(x0,y0) 的直线可以分为两类（1）斜率存在的直线的方程为y-y0=k(x-x0) ；（2）斜率不存在的直线的方程为x-x0=0 ，即x=x0 .2.斜截式方程的诠释（1）b 为直线l 在y 轴上的截距，不是距离，截距可以取任意实数，即可以为正数、零、负数；（2）斜截式方程可由过点(0,b)
5、 的点斜式方程得到；（3）当k0 时，斜截式方程就是一次函数的表示形式；（4）斜截式是点斜式的特殊情况，斜截式的前提是直线的斜率存在，斜截式不能表示平行于y 轴的直线，即斜率不存在的直线.互动探究关键能力探究点一 利用点斜式求直线的方程精讲精练类型1 求点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程.（1）过点P(-3,-1) ，斜率k=2 ；（2）过点P(0,5) ，且与x 轴垂直；（3）过点P(2,1) ，倾斜角是120 .答案：（1） 直线过点P(-3,-1) ，斜率k=2 ， 直线的点斜式方程为y+1=2(x+3) .（2） 与x 轴垂直的直线，其斜率不存在， 直线的方程为x=0 .（
6、3） 直线的倾斜角是120 ，k=tan120=-3 ，又直线过点P(2,1) ， 直线的点斜式方程为y-1=-3(x-2) .解题感悟（1）求直线的点斜式方程，关键是求出直线的斜率，所以已知直线上一点的坐标及直线的斜率或已知直线上两点的坐标，均可直接利用点斜式求直线的方程.（2）斜率不存在时，可直接写出过点(x0,y0) 的直线的方程为x=x0 .类型2 直线过定点问题例2已知直线l ：y=kx+2k+1 .求证：直线l 恒过一个定点.答案：证明 由y=kx+2k+1 得y-1=k(x+2) .由直线l 的点斜式方程可知，直线l 恒过定点(-2,1).解题感悟判断或求直线过定点问题，常将直线
7、方程转化为点斜式的形式求定点.迁移应用1.直线y=kx-2k+3 必过定点，则该定点的坐标是 .答案：(2,3)解析：将直线的方程转化为点斜式得y-3=k(x-2) ，所以该直线过定点(2,3).2.（1）求过点P(-2,3) ，倾斜角为135 的直线的点斜式方程；（2）求过点P(-2,3) ，平行于x 轴的直线的点斜式方程.答案：（1）因为直线的倾斜角为135 ，所以直线的斜率k=tan135=-1 ，所以所求直线的点斜式方程为y-3=-(x+2) .（2）因为直线平行于x 轴，所以直线的斜率k=0 ，所以所求直线的方程为y-3=0 .探究点二 求直线的斜截式方程精讲精练例求下列直线的斜截式
8、方程.（1）斜率为-4，在y 轴上的截距为7；（2）在y 轴上的截距为2，且与x 轴平行；（3）倾斜角为150 ，与y 轴的交点到原点的距离为3.思路分析 找出斜率和截距，直接代入斜截式方程，即可求解.答案：（1）由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的斜截式方程为y=-4x+7 .（2）由题意及直线的斜截式方程知，所求直线的方程为y=2 .（3）因为直线的倾斜角为150 ，所以斜率为-33 ，因为直线与y 轴的交点到原点的距离为3，所以在y 轴上的截距b=3 或b=-3 ，故所求直线的斜截式方程为y=-33x+3 或y=-33x-3 .解题感悟（1）直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适
9、用前提是直线的斜率存在.（2）直线的斜截式方程y=kx+b 中只有两个参数，因此要确定直线的斜截式方程，只需知道参数k ，b 的值即可.迁移应用倾斜角为135 ，在y 轴上的截距为-1的直线的方程是( )A.y=x+1 B.y=x-1C.y=-x+1 D.y=-x-1答案：D解析： 倾斜角为135 ，k=tan135=-1 ， 直线的斜截式方程为y=-x-1 .探究点三 斜截式的平行、垂直问题精讲精练例（1）当a 为何值时，直线l1 ：y=-x+2a 与直线l2 ：y=(a2-2)x+2 平行？（2）当a 为何值时，直线l1 ：y=(2a-1)x+3 与直线l2 ：y=4x-3 垂直？答案：（
10、1）由题意可知，k1=-1,k2=a2-2 ，l1l2,a2-2=-1,2a2, 解得a=-1 .故当a=-1 时，直线l1 ：y=-x+2a 与直线l2 ：y=(a2-2)x+2 平行.（2）由题意可知，k1=2a-1,k2=4 ，l1l2 ，4(2a-1)=-1 ，解得a=38 .故当a=38 时，直线l1 ：y=(2a-1)x+3 与直线l2 ：y=4x-3 垂直.解题感悟已知含参数的两条直线平行或垂直求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系也要注意考虑b1b2 .迁移应用1.若直线l 过点(3,4)，且平行于过点M(1,2) 和N(-1,-5) 的直线，则直线l 的斜截式方程
11、为 .答案：y=72x-132解析：由于直线lMN ，且直线MN 的斜率为2-(-5)1-(-1)=72 ，所以直线l 的斜率为72 .又直线l 过点(3,4)，所以直线l 的方程为y-4=72(x-3) ，即y=72x-132 .2.（2020江西南昌高二月考）已知直线l2 ：x=ay+3 ，若l2 与l3 ：y=-12x+12 垂直，则a= .答案：12解析：l2 的方程为x=ay+3 ， 它的斜率为1a ，l2 与l3 ：y=-12x+12 垂直，1a(-12)=-1 ，解得a=12 .评价检测素养提升课堂检测1.方程y=k(x-2) 表示( )A.过点(-2,0)的所有直线B.过点(2
12、,0)的所有直线C.过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D.过点(2,0)且除去x 轴的所有直线答案：C2.过点(-3,2)，倾斜角为120 的直线的点斜式方程为( )A.y+2=3(x-3) B.y-2=33(x+3)C.y-2=-3(x+3) D.y+2=-33(x+3)答案：C3.已知直线l1 过点P(2,1) 且与直线l2 ：y=12x+1 垂直，则l1 的点斜式方程为 .答案：y-1=-2(x-2)4.（2021北京昌平新学道临川学校高二期中）求倾斜角为直线y=-x+1 的倾斜角的13 ，且分别满足下列条件的直线的方程.（1）经过点(-4,1)；（2）在y 轴上的截距为-10.答
13、案：由于直线y=-x+1 的斜率为-1，且倾斜角0,) ，所以其倾斜角为34 .由题意知所求直线的倾斜角为4 ，故所求直线的斜率k=tan4=1 .（1）由于直线经过点(-4,1)，所以由直线的点斜式方程得y-1=x+4 .（2）因为直线在y 轴上的截距为-10，所以由直线的斜截式方程得y=x-10 .素养演练直观想象、逻辑推理、数学运算平面图形中的有关直线方程的问题（2021四川眉山彭山一中高二月考）如图，在平行四边形OABC 中，点A(3,0) ，点C(1,3) .（1）求AB 所在直线的方程；（2）过点C 作CDAB ，交AB 于点D ，求CD 所在直线的方程.答案：（1） 四边形OAB
14、C 是平行四边形，ABOC ，AB 所在直线的斜率kAB=kOC=3-01-0=3 ，AB 所在直线的方程为y-0=3(x-3) .（2）由（1）知kAB=3 ，CDAB ，CD 所在直线的斜率kCD=-13 ，CD 所在直线的方程为y-3=-13(x-1) .素养探究：（1）由已知及题图得kAB=kOC ，求出kAB ，渗透了直观想象的素养；利用点斜式即可求出AB 所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.（2）根据当两直线垂直时，斜率之间的关系，求出kCD ，渗透了逻辑推理的素养；利用点斜式即可求出CD 所在直线的方程，渗透了数学运算的素养.迁移应用（2020四川雅安中学高二月考）如图，在ABC 中，点A 的坐标为(-1,1)，点B 的坐标为(4,6)，点C 在x 轴上，线段AB 与y 轴相交于点D ，且ABCD .（1）求直线AB 的方程（写成斜截式）；（2）求点C 的坐标.答案：（1） 在ABC 中，点A 的坐标为(-1,1)，点B 的坐标为(4,6)， 直线AB 的斜率kAB=6-14+1=1 ， 直线AB 的方程为y-1=x+1 ，即y=x+2 .（2）由（1）知D(0,2) ，ABCD ，kABkCD=-1 ，kCD=-1 ， 直线CD 的方程为y=-x+2 ，令y=0 ，得x=2 ， 点C 的坐标为(2,0).
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