1、1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用教学建议1.教材分析本节通过举例引导学生解决一些在几何中用初等数学方法难以解决的平面图形的面积问题.本节的重点是利用定积分解决平面图形的面积,难点是将实际问题转化为定积分的问题.2.主要问题及教学建议用定积分求平面图形的面积.建议教师在教学中应特别注意定积分的几何意义,借助图形直观地把平面图形进行适当的分割,从而把求平面图形面积的问题转化为求曲边梯形的面积问题.要结合例题归纳总结解题步骤.备选习题1.如图,在一个长为,宽为2的矩形OABC内,曲线y=sin x(0x)与x轴围成如图所示的阴影部分,向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OAB
2、C内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是.解析:因为S阴影= 0sin xdx=-cos x|0=-cos +cos 0=2,又S矩形=2,所以所投的点落在阴影部分的概率是P=22=1.答案:12.过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a0)所围成的图形面积为92a3,求直线l的方程.解:易知直线l的斜率存在,设l的方程为y=kx,则与y=x2-2ax联立可得x=0或x=2a+k.(1)若2a+k0,则S=02a+k (kx-x2+2ax)dx=2a+k2x2-x33|02a+k=(k+2a)36=92a3,k=a.l的方程为y=ax.(2)若2a+k0,则S=2a+k0 (k+2a)x-x2dx=-(k+2a)36=92a3.k=-5a.l的方程为y=-5ax.综上,知直线l的方程为y=ax或y=-5ax.3.求由两条曲线y=-x2,4y=-x2及直线y=-1所围成的图形的面积.解:由题中图形的对称性知,所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍.由y=-x2,y=-1,得C(1,-1).同理得D(2,-1).故所求图形的面积S=201-x24-(-x2)dx+12-x24-(-1)dx=2013x24dx-12x24dx+121dx=2x34|01-x312|12+x|12=43.2
