1、20212022学年第一学期高三期中调研试卷 数 学 202111注 意 事 项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本卷共6页，包含单项选择题(第1题第8题)、多项选择题(第9题第12题)、填空题(第13题第16题)、解答题(第17题第22题)本卷满分150分，答题时间为120分钟答题结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、
2、修正液、可擦洗的圆珠笔一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1已知集合Mx|2x3，Nx|log2x1，则MNA2，3 B2，2 C(0，2 D(0，3【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意可知，Nx|0x2，则MN(0，2，故答案选C2若a0，b0，则“ab1”是“ab1”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】B【考点】逻辑条件的判断【解析】法一：由题意可知，因为a0，b0，且ab1，则a，所以abb，又因为b22，则不能得到ab1；因为ab1，所以
3、a1b，则ab(1b)b1，当且仅当1bb，即b时取等号，则可得到ab1，故“ab1”是“ab1”的必要不充分条件，故答案选B法二：(特殊值法)可取a2，b，满足ab1，而ab1，则不能得到ab1；可取a，b，满足ab1，则ab1，所以“ab1”是“ab1”的必要不充分条件，故答案选B3若，则A B7 C D7【答案】D【考点】三角恒等变换【解析】由题意可知，7，故答案选D4函数f(x)(3xx3)sinx的部分图象大致为【答案】A【考点】函数图像的识别与判断【解析】由题意可知，f(x)3(x)(x)3sin(x)(3xx3)sinxf(x)，即函数f(x)为偶函数，则排除选项C，又因为f(0
4、)0，则排除选项B，当x(0，)时，有f(x)0，则排除选项D，故答案选A5已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE2EF，的值为A B C1 D8【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】法一：由题意可知，()1cos，故答案选B法二：由题意可建系，如图所示，则E(0，0)，A(0，)，B(，0)，C(，0)，D(，)，因为DE2EF，所以F(，)，则(，)，(1，0)，所以1，故答案选B6定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“躺平点”若函数g(x)lnx，h(x)x31的“躺平点”分别为，则，的大小关系为A B
5、 C D【答案】D【考点】新定义函数的性质应用【解析】由题意可知，g(x)，h(x)3x2，则可得lnx，x313x2，可设m(x)lnx，n(x)x313x2，则m(x)0，n(x)3x26x，所以m(x)在(0，)上单调递增，n(x)在(，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，且m(1)10，m(2)ln20，所以m(1)m(2)0，则(1，2)，n(x)极大值n(0)10，所以n(x)有唯一的零点，且2，所以，故答案选D7已知函数0)，直线y1与f(x)的图象在y轴右侧交点的横坐标依次为a1，a2，ak，ak1，(其中kN*)，若2，则AA B2 C D【答案】B
6、【考点】三角函数的图象与性质、【解析】由题意可知，根据三角函数图象得到，a3a1T，且a3a22(a2a1)，则解得a2a1，则a1()，则，解得A2，故答案选B8设数列am(mN*)，若存在公比为q的等比数列bm1(mN*)，使得bkakbk1，其中k1，2，m，则称数列bm1为数列am的“等比分割数列”，则下列说法错误的是A数列b5：2，4，8，16，32是数列a4：3，7，12，24的一个“等比分割数列”B若数列an存在“等比分割数列”bn1，则有a1ak1akan和b1bk1bkbnbn1成立，其中2kn，kN*C数列a3：3，1，2存在“等比分割数列”b4D数列a10的通项公式为，若
7、数列a10的“等比分割数列” b11的首项为1，则公比【答案】C【考点】新定义数列的应用【解析】由题意可知，对于选项A，因为234，478，81216，162432，即满足bkakbk1，则数列b5：2，4，8，16，32是数列a4：3，7，12，24的一个“等比分割数列”，故选项A正确；对于选项B，若数列an存在“等比分割数列”bn1，则b1a1b2a2b3a3b4，所以a1ak1akan，b1bk1bkbnbn1成立，故选项B正确；对于选项C，若数列a3：3，1，2存在“等比分割数列”b4，则b13b21b32b4，即得到b13b1q1b1q22b1q3，又因为3b1q1，且b1q32，可
8、得到无解，所以假设不成立，即不存在“等比分割数列”b4，故选项C错误(或解析：由b13b21b32b4，可得b1b20，则q0，所以b3b40，与b42矛盾)；对于选项D，可得到12q22q223q324q9210q10，可解得，故选项D正确；综上，答案选C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上9已知实数a满足为虚数单位)，复数z(a1)(a1)i，则Az为纯虚数 Bz2为虚数 Cz0 Dz4【答案】ACD【考点】复数的运算【解析】由题意可
9、知，因为，所以3ai(1i)(2i)3i，则a1，所以z(a1)(a1)i2i，则z2(2i)24，z2i2i0，z2i2i4，故选项A、C、D正确，选项B错误；综上，答案选ACD10已知不等式的解集是x|xd，则b的值可能是A1 B3 C2 D0【答案】BC【考点】一元二次不等式的应用【解析】由题意可知，方程x22axb10的根为d，则D4a24(b1)0，则b1a20，所以b1，则选项B、C正确；选项A、D错误；综上，答案选BC11关于函数f(x)sin|x|cosx|有下述四个结论，则Af(x)是偶函数 Bf(x)的最小值为1Cf(x)在2，2上有4个零点 Df(x)在区间单调递增【答案
10、】ABC【考点】函数的性质综合应用【解析】法一：由题意可知，对于选项A，因为f(x)sin|x|cos(x)|sin|x|cosx|f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故选项A正确；对于选项B，因为|cosx|0，sin|x|1，所以|cosx|sin|x|1，则当x时，|cosx|sin|x|1，所以f(x)的最小值为1，故选项B正确；对于选项C，当x0，2时，可得到f(x)，则当0x时，f(x)无零点，当x时，f(x)有一个零点，当x2时，f(x)有一个零点，所以f(x)在0，2上有2个零点，则f(x)在2，2上有4个零点，故选项C正确；对于选项D，当x时，f(x)sinxcosxsin(
11、x)，则f(x)在(，)上单调递增，故选项D错误；综上，答案选ABC法二：由题意可知，对于选项A，因为f(x)sin|x|cos(x)|sin|x|cosx|f(x)，所以函数f(x)是偶函数，故选项A正确；对于选项B，因为|cosx|0，sin|x|1，所以|cosx|sin|x|sin|x|1，当x时，|cosx|sin|x|1，所以f(x)的最小值为1，故选项B正确；对于选项C，当x0，2时，因为sin2xcos2x2sin2x1，解得x或x，即f(x)在0，2上有2个零点，则f(x)在2，2上有4个零点，故选项C正确；对于选项D，当x时，f(x)sinxcosxsin(x)，则f(x)
12、在(，)上单调递增，故选项D错误；综上，答案选ABC12如图，正方形ABCD与正方形DEFC边长均为1，平面ABCD与平面DEFC互相垂直，P是AE上的一个动点，则ACP的最小值B当P在直线AE上运动时，三棱锥DBPF的体积不变CPDPF的最小值为D三棱锥ADCE的外接球表面积为3【答案】BD【考点】立体几何中的综合应用【解析】由题意可知，可得到平面ADE平面DEFC，可过点P作PQDE，连结CQ，可设QExDE，则PQx，DQ1x，所以CP，故选项A错误；由题意可得点D到平面PBF的距离不变，又PBF的面积不变，则三棱锥DBPF的体积不变，故选项B正确；由题意可将ADE和平面ABFE展开，可
13、得DPPFDF，而DEF135，所以DF，故选项C错误(另解：可将ADE翻折到与平面ABFE共面，可知当D，P，F三点共线时，DPPF取得最小值，为)；由题意，三棱锥ADCE的外接球是以DC，DA，DE为棱构成的正方体的外接球，则其外接球的半径R，则其外接球表面积为4R23，故选项D正确；综上，答案选BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13已知曲线ymexxlnx在x1处的切线方程为y3xn，则n 【答案】1【考点】函数的切线方程、导数的几何意义【解析】由题意可知，f(x)mexlnx1，则f(1)me13k
14、，解得m，所以f(x)exxlnx，则f(1)e02，231n，解得n114已知数列an是等差数列，a10，a33a70，则使Sn0的最大整数n的值为 【答案】10【考点】等差数列的前n项和应用【解析】法一：由题意可知，因为a33a70，所以a12d3(a16d)4a120d4(a15d)0，则a15d0，因为a10，所以5d0，则d0，所以Snna1dn(5d) d0，所以50，解得n11，则最大整数n的值为10法二：由题意可知，因为a33a70，所以a3a72a72a52a74a60，则a60，所以a6na6n0(n1，2，3，4，5)，所以当n10时，Sn0，当n11时，Sn0，所以最大
15、整数n的值为1015某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1000元(不考虑宽度厚度等因素)，则水池面积最大值为 平方米【答案】400【考点】基本不等式的实际应用【解析】由题意可设水池长a，宽b，则面积ab，水池造价为400ab，步道的周长为2a2b，所以步道造价为1000(2a2b)2000(ab)，所以可得2000(ab)400ab240000，化简得240020(ab)4ab，则6005(ab)ab10ab，因式分解得，(30)(20)0，解得20，即ab400，所以水池面积最大值为400平方米16已
16、知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1x)f(x)，则f(x)的最小正周期为 ；若对任意的x1，x20，当x1x2时，都有，则关于x的不等式f(x)sinx在区间上的解集为 【答案】2；1，01， 【考点】双空题：函数的性质综合应用【解析】由题意可知，因为f(1x)f(x)，且f(x)f(x)，所以f(1x)f(x)，即f(1x)f(x)，则f(2x)f(1x)f(x)f(x)，故f(x)的最小正周期为2；因为对任意的x1，x20，当x1x2时，都有0，所以f(x)在0，上单调递增，又f(x)为奇函数，所以f(x)在，上单调递增，可设x1x2，所以f(x1)f(x2)x1x2，即f(x1)x
17、1f(x2)x2，可设g(x)f(x)x，因为g(x1)g(x2)，所以函数g(x)在0，上单调递增，则g(x)g(0)0，又g(x)为奇函数，所以当x0，时，f(x)x0，则sinxx0，又因为f(1x)f(x)，所以函数f(x)关于直线x对称，则可作出函数f(x)与ysinx的图象，由图象可得f(x)sinx在区间上的解集为1，01，四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知向量a，向量b，记f(x)ab(xR)(1)求f(x)表达式；(2)解关于x的不等式f(x)1【考点】平面向量的数量积运算、三角
18、恒等变换的应用【解析】(1)a，b，f(x)ab2sinxcosx2sin2分5分(2)不等式f(x)1即为1，令，则原不等式可化为，于是有，即，7分也就是，9分故所求不等式解集为10分18(本小题满分12分)在下列条件：数列an的任意相邻两项均不相等，且数列an2an为常数列，(nN*)，a32，(n2，nN*)中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题已知数列an的前n项和为Sn，a12， (1)求数列an的通项公式an和前n项和Sn；(2)设(kN*)，数列bn的前n项和记为Tn，证明Tn(nN*)【考点】结构不良题：数列的通项与求和【解析】(1)若选数列an2an为常数列，则有an2a
19、n，所以有，因数列an的任意相邻两项均不相等，于是有，(nN*)，所以有，(n2，nN*)，两式相减得(n2，nN*)，即有a1a3，a2a3，a3a5， 2分又a12，在，(n2，nN*)中令n1得a21，即数列：2，1，2，1，所以4分也可以写成由得(nN*)数列：2，1，2，1，(nN*)，Sn，(n2k，nN*)，Sn(n2k1，nN*)，又也适合，即：6分(2)数列：2，1，2，1，(nN*)，于是(nN*)，8分(1)()，即Tn(nN*)成立12分若选由(nN*)得，两式相减得(nN*)，所以有(n2，nN*)，两式相减得(n2，nN*)，又，所以，即数列：2，1，2，1，下同上
20、述解法若选由(n2，nN*)得(n3，nN*)两式相减得，得(n3，nN*)，即有，又由(n2，nN*)得(n2，nN*)，当n2时，又，得，又，即数列：2，1，2，1，下同上述解法19(本小题满分12分)在等腰直角三角形ABC中，已知ACB90，点D，E分别在边AB，BC上，CD4(1)若D为AB的中点，三角形CDE的面积为4，求证：E为CB的中点；(2)若BD2AD，求ABC的面积【考点】解三角形的综合应用【解析】解：(1)在等腰直角三角形ABC中，ACB90，D为AB中点，CD4，CDDB4，CDB90，2分三角形CDE的面积为4，EsinDCE4，DCE45，即：，解得E为CB中点4分
21、(2)在等腰直角三角形ABC中，ACB90，BD2AD，8分CD4，将上式两边平方得，解得，故ABC的面积为 12分20(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AC2，BCCD1，CAD30，ACB60，M是PB上一点，且PB3MB，N是PC中点(1)求证：PCBD；(2)若二面角PBCA大小为45，求棱锥CAMN的体积【考点】立体几何中几何体的位置关系证明、利用二面角求体积【解析】解：(1)在ABC中，AC2，BC1，ACB60，由余弦定理得，所以有ABC90，BAC30，在ACD中，AC2，CD1，CAD30由正弦定理得，ADC90，所以有，于是有BAD60连结BD
22、，则三角形ABD为正三角形，所以ABD60，又BAC30，所以ACBD，2分又因PA底面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD，又AC，PA是平面PAC内两相交直线，所以有BD面PAC，又PC平面PAC，所以BDAC4分(2)由(1)知ABC90，又PA底面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，又PA，AB是平面PAB内两相交直线，所以BC平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB，所以PBA即为二面角PBCA的平面角，6分因二面角PBCA大小为45，所以PBA45，由，又PA底面ABCD，AB平面ABCD，所以PAAB知P，所以，PMANDBC图2因PB3MB，所以，又因N为PC中点，所
23、以，8分由，设A到平面PBC的距离为h，则，解得，也就是A到平面CMN的距离为，10分又，所以三棱锥CAMN的体积12分 21(本小题满分12分)已知函数f(x)axalnx(a0)(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，且不等式恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数与导数：含参函数的单调区间、恒成立中极值点偏移的应用【解析】解：函数f(x)axalnx(a0)定义域为(0，)，(1)因为函数f(x)axalnx，所以f(x)，因为a0，令f(x)0，即，若0，即0a4时，0，所以f(x)0恒成立，f(x)在(0，)单调递增，2分若0，即a4时，设两根为
24、，由0， 知有两不等正根，不妨设0，则，列表如下：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的增区间为(0，)和(，)，减区间为)综上可知：当0a4时，f(x)的增区间为(0，)；当x4时，f(x)的增区间为(0，)和(，)，减区间为)4分(2)因为f(x)有两个极值点，所以f(x)0，有两不等正根，因为a0，令f(x)0，即若有两不等正根，则有，解得a46分另一方面当a4时，令f(x)0，即，此时0，0，所以方程有两个不等正根，记，列表如下；x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值由上表可知，此时f(x)有两个
25、极值点，符合题意，故实数a4，7分由得：a(x1x2)aln(x1x2)alna，f()a2aln2，故可化为malnaln2，9分令g(a)alnaln2(a4)，g(a)0(a4)，g(a)alnaln2在(4，)上单调递增，所以g(a)g(4)0，故m0，所以实数m的取值范围(，012分22(本小题满分12分)已知函数f(x)lnxx2sinx，f(x)为f(x)的导函数，求证：(1)f(x)在(0，)上存在唯一零点；(2)f(x)有且仅有两个不同的零点【考点】函数与导数：证明导函数零点的唯一、证明函数零点的个数【解析】(1)f(x)lnxx2sinx，定义域(0，)，f(x)，f(x)
26、2sinx，当x(0，)时，sinx0，所以f(x)2sinx0，f(x)在x(0，)上单调递减，2分又由f()30，f(1)2cos10，由零点存在定理知f(x)在(0，)上存在唯一零点4分(2)先证lnxx1(x0)，记g(x)lnxx1，g(x)，所以当x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减；所以g(x)maxg(1)0，所以g(x)0成立，即lnxx1(x0)结论成立6分由(1)知f(x)在(0，)上存在唯一零点，记为，则，由f(x)在x(0，)上单调递减知时f(x)0，f(x)单调递增，时f(x)0， f(x)单调递减，因0(因为lnxx1)，f()ln0，0，所以f(x)在和(1，)上各有一个零点故f(x)在(0，)上有两个不同的零点8分当x，2时，sinx0，因为lnxx1，所以f(x)lnxx2sinx10；10分当x(2，)时，sinx1，lnxx1，f(x)lnxx2sinxlnxx1，令t(x)lnxx1，x(2，)，t(x)，所以t(x)lnxx1在(2，)上单调递减，f(x)lnxx2sinxlnxx1ln2210，综上可知f(x)有且仅有两个不同的零点12分