1、第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：()，2()()()()，()等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如yasinxbcosx的函数转化为形如yAsin(x)的函数，本节主要研究函数yasinxbcosx的周期、最值等性质三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段三角变换是运算、化简
2、、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能推进新课三角函数ysinx，ycosx的周期，最大值和最小值是多少？函数yasinxbcosx的变形与应用是怎样的？三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k(kZ且k0)，最小正周期都是2.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数ysinx的周期是2k(kZ且k0)，且最小正周期是2，函数ysin2x的周期是k
3、(kZ且k0)，且最小正周期是.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是1，所以这两个函数的值域都是1,1函数yasinxbcosx(sinxcosx)，()2()21，从而可令cos，sin，则有asinxbcosx(sinxcoscosxsin)sin(x)因此，我们有如下结论：asinxbcosxsin(x)，其中tan.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法讨论结果：y
4、sinx，ycosx的周期是2k(kZ且k0)，最小正周期都是2；最大值都是1，最小值都是1.(略)见活动思路1例1如图1，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形记COP，求当角取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积活动：要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，先找出S与之间的函数关系，再求函数的最值找S与之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：SABBC(cossin)sinsincossin2.求这种yasin2xbsinxcosxccos2x函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x)型的三角函数求最值教师引导学生思考：
5、要求当角取何值时，矩形ABCD的面积S最大，可分两步进行：(1)找出S与之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S的最大值解：在RtOBC中，OBcos，BCsin，图1在RtOAD中，tan60，所以OADABCsin.所以ABOBOAcossin.设矩形ABCD的面积为S，则SABBC(cossin)sinsincossin2sin2cos2(sin2cos2)sin(2).由于00)(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数yf(x)的图象与直线y1的两个相邻交点间的距离为，求函数yf(x)的单调增区间解：(1)f(x)sinxcosxsinxcosx(cosx1)2(sinxcosx)
6、12sin(x)1.由1sin(x)1，得32sin(x)11，可知函数f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质，可知yf(x)的周期为，又由0，得，即得2.于是有f(x)2sin(2x)1，再由2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以yf(x)的单调增区间为k，k(kZ)点评：本题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.例2求函数ysin4x2sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在0，上的单调递增区间活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识先用二倍
7、角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题解：ysin4x2sinxcosxcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)sin2xsin2xcos2x2sin(2x)故该函数的最小正周期是；最小值是2；在0，上单调增区间是0，点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x，(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x0，求f(x)的最大、最小值解：f(x)cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2xcos(2x)，所以，f
8、(x)的最小正周期T.(2)因为x0，所以2x，当2x时，cos(2x)取得最大值，当2x时，cos(2x)取得最小值1.所以，在0，上的最大值为1，最小值为.思路2例1已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点M(，0)对称，且在区间0，上是单调函数，求和的值活动：学生在解此题时，对f(x)是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f(x)的图象关于M(，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题一般地，定义在R上的函数yf(x)对定义域内任意x满足条件：f(xa)2bf(ax)，则yf(x)的图象关于点(a，b)对称，反之亦然教师在这类问题的教学时要给予充分
9、的提示与总结，多做些这种类型的变式训练解：由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即sin(x)sin(x)，所以cossinxcossinx对任意x都成立又0，所以，得cos0.依题设0，所以，解得.由f(x)的图象关于点M对称，得f(x)f(x)取x0，得f()f()，所以f()0.f()sin()cos，cos0.又0，得k，k0,1,2，.(2k1)，k0,1,2，.当k0时，f(x)sin(x)在0，上是减函数；当k1时，2，f(x)sin(2x)在0，上是减函数；当k2时，f(x)sin(x)在0，上不是单调函数所以，综合得或2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象
10、与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的RtABC中，A90，a为斜边，B、C的内角平分线BD、CE的长分别为m、n，且a22mn.问：是否能在区间(，2中找到角，恰使等式cossin4(coscos)成立？若能，找出这样的角；若不能，请说明理由图2解：在RtBAD中，cos，在RtBAC中，sinC，mcosasinC.同理，ncosasinB.mncoscosa2sinBsinC.而a22mn，coscos2sinBsinC8sincoscossin.sinsin.积化和差，得4(coscos)1，若存在使等式cossin4(coscos)成立，则cos()1，cos(
11、).而2，.这样的不存在点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立这个探索结论的过程可概括为假设推证定论.例2已知tan()，tan，且，(0，)，求2的值解：22()，tan()，tan2().从而tan(2)tan2()1.又tantan()1.且0，0.02.又tan0，且(0，)，.20.2.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角另外，求角一般都通过
12、三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若(0，)，则求cos；若(，)，则求sin等课本本节练习4.解答：4.(1)ysin4x.最小正周期为，递增区间为，(kZ)，最大值为；(2)ycosx2.最小正周期为2，递增区间为2k，22k(kZ)，最大值为3；(3)y2sin(4x)最小正周期为，递增区间为，(kZ)，最大值为2.本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如yasinxbcosx的函数转化为形如yAsin(x)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学课本复习参考题A组11、12.1本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等
13、变形，把形如yasinxbcosx的函数转化为形如yAsin(x)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内
14、分析其性质2在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握3今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点对三角函数综合应用的考查，估
15、计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题应熟知三
16、角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化二、备用习题1.的值是( )Atan10tan20 B.Ctan5 D2答案：D2若，则sinsin的最大值是( )A. B.C. D1答案：B3若cossinx，则函数ysincosx的值域是( )A， B，C， D1,1答案：B4log2(1tan19)log2(1tan26)_.答案：15已知函数f(x)cos2xcos(2x)，求f(x)的单调递减区间、最小正周期及最大值答案：解：f(x)coscos(4x)cos(4x)，由2k4x2k(kZ)，得原函数的单调递减区间是，(kZ)，T，最大值是.6已知sinA，cosB，A(，2)，B(，)，求sin(2A)的值，并判定2A所在的象限答案：解：cosA，sin2A，cos2A12sin2A，B(，)，(，)sin，cos.sin(2A)sin2Acoscos2Asin.又cos(2A)cos2Acossin2Asin0，2A是第二象限角7已知f(0)a，f()b，解函数方程：f(xy)f(xy)2f(x)cosy.答案：解：分别取代入方程，得，得2f(t)2f(0)cost2f()sint.f(0)a，f()b，f(x)acosxbsinx.
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