1、章末总结体系构建题型整合题型1 指数与对数的运算例1 求下列各式的值.（1）(5116)0.5-2(21027)-23-2(2+)0(34)-2 ;（2）log535+2log0.52-log5150-log514+5log53 .答案：（1）原式=(94)20.5-2(43)3(-23)-21(34)2=94-2916-2916=0.（2）原式=log535+log550-log514+log2-1(2)2+3=log5(355014)-1+3=log553-1+3=5 .方法归纳1.指数与对数的运算应遵循的原则（1）指数的运算：注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算
2、另外,若出现分式,则要对分子、分母因式分解以达到约分的目的.（2）对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行.2.底数相同的对数式化简的两种基本方法（1）“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.（2）“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差).迁移应用1.计算：(278)-13+log2(log216)= .答案：83解析：原式=(23)-3(-13)+log24=23+2=83 .2.已知2x=3,log483=y ,则x+2y 的值为 .答案：3解析：由2x=3,log483=y 得x=log23,y=log483=12log283 所以x
3、+2y=log23+log283=log28=3 .题型2 指数函数、对数函数的图象问题例2（1）若函数y=logax(a0,且a1) 的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )A.B.C.D.（2）如图,函数f(x) 的图象为折线ACB ,则不等式f(x)log2(x+1) 的解集是( )A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2答案：（1）B （2）C解析：（1）由题意y=logax (a0, 且a1 )的图象过点(3,1),可解得a=3 .选项A中,y=3-x=(13)x ,显然图象错误;选项B中,y=x3 ,由幂函数图象可知正确;选项C中,y=(-x)3=-x3
4、 ,显然与所画图象不符;选项D中,y=log3(-x) 的图象与y=log3x 的图象关于y轴对称,显然不符.故选B.（2）令y=log2(x+1)(x-1) ,作出函数y=log2(x+1)(x-1) 的图象,如图.由x+y=2,y=log2(x+1), 解得x=1,y=1.结合图象知不等式f(x)log2(x+1) 的解集为x|-1x1 .方法归纳（1）识别函数的图象从以下几个方面入手：单调性：函数图象的变化趋势;奇偶性：函数图象的对称性;特殊点对应的函数值（2）已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决.（3）指数函数、对数函数、幂函数的图象既是直接考查的对象,又是
5、数形结合求交点、最值、解不等式的工具,所以要能熟练画出这三类函数的图象,并会进行平移、伸缩、对称、翻折等变换.迁移应用3.已知a1,b-1 ,则函数y=loga(x-b) 的图象不经过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D4.对a0 ,且a1 的所有正实数,函数y=ax+1-2 的图象一定经过一个定点,则该定点的坐标是 .答案：(-1,-1)解析：当x=-1 时,y=a0-2=-1 ,所以该定点的坐标是(-1,-1).题型3 指数函数、对数函数的性质例3 设f(x)=log121-axx-1 为奇函数,a 为常数.（1）求a 的值;（2）证明f(x) 在区间(1,+)
6、上单调递增.答案：（1）因为f(x) 为奇函数,所以f(-x)=-f(x) ,所以log121+ax-x-1=-log121-axx-1=log12x-11-ax .所以1+ax-x-1=x-11-ax ,即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1) ,所以a=-1 (a=1 舍去).（2）证明：由（1）可知f(x)=log12x+1x-1=log12(1+2x-1) ,令u(x)=1+2x-1,x1,x2(1,+), 且x1x2,则u(x1)-u(x2)=(1+2x1-1)-(1+2x2-1)=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1) .因为1x1x2,所以x1-10,x2-10,x2
7、-x10,所以2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)0, 即u(x1)-u(x2)0,所以函数u(x)=1+2x-1 在(1,+) 上是减函数.又因为函数y=log12u 在(0,+) 上是减函数,所以f(x)=log12x+1x-1 在(1,+) 上为增函数.方法归纳基本初等函数单调性的判断与应用（1）对于指数函数和对数函数,注意底数a 对函数单调性的影响;对于幂函数y=x ,注意指数 对函数单调性的影响.（2）根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集. 迁移应用5.设函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x) ,则f(x) 是( )A.奇函数,且在(0,2)上是增函数B.奇
8、函数,且在(0,2)上是减函数C.偶函数,且在(0,2)上是增函数D.偶函数,且在(0,2)上是减函数答案：A6.若函数y=loga(2x-1)(0a1) 在区间3,6 上有最小值-2,则实数a 的值为 .答案：1111解析：因为0a1 ,且y=2x-1 在定义域内为增函数,所以函数y=loga(2x-1) 在区间3,6 上为减函数,所以当x=6 时,y 有最小值-2,即loga11=-2 ,所以a-2=1a2=11, 解得a=1111 .题型4 函数的应用例4 某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月污染度为60,整治后前四个月的污染度如表所示：月数1234污染度6031130污染度为0
9、后,该工厂停止整治,但污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)=20|x-4|(x1);g(x)=203(x-4)2(x1);h(x)=30|log2x-2|(x1) ,其中x 表示月数,f(x),g(x),h(x) 分别表示污染度.（1）试问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;（2）若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60？(注：log231.58 )答案：（1）用h(x) 模拟比较合理.理由：因为f(2)=40,g(2)26.7,h(2)=30 ;f(3)=20,g(3)6.7,h(3)12.6 .由此可得h(x) 更接近实
10、际值,所以用h(x) 模拟比较合理.（2）因为h(x)=30|log2x-2| 在x4 时是增函数,h(16)=60 ,所以整治后有16个月的污染度不超过60.方法归纳利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题,关键要分清函数类型,并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.迁移应用7.国庆期间,一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球,放在自己的房间内,由于气球密封不好,经过t 天后气球体积变为V=ae-kt .若经过25天后,气球体积变为原来的23 ,则至少经过 天后,气球体积小于原来的13(
11、lg30.477,lg20.301 ,结果保留整数).答案：68解析：由已知得,ae-25k=23ae-25k=23 ,则-25k=ln23 ,设t0 天后气球的体积变为原来的13, 则V=ae-kt0=13a, 即e-kt0=13, 则-kt0=ln13 ,两式相除可得-25k-kt0=ln23ln13 ,即25t0=ln23ln13=lg2-lg3-lg30.301-0.477-0.4770.369 ,所以t068 ,即至少经过68天后,气球体积小于原来的13 . 高考链接1.（2020新高考,6,5分）基本再生数R0 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染
12、的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I(t)=ert 描述累计感染病例数I(t) 随时间t （单位：天）的变化规律,指数增长率r 与R0,T 近似满足R0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6 .据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) ( )A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案：B解析：因为R0=3.28,T=6,R0=1+rT ,所以r=3.28-16=0.38 ,所以I(t)=ert=e0.38t ,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要
13、的时间为t1 天,则I(t1)=2I(0) ,所以e0.38t1=2, 所以0.38t1=ln2, 所以t1=ln20.380.690.3818 .故选B.2.（2020课标,12,5分）若2a+log2a=4b+2log4b ,则( )A.a2b B.a2bC.ab2 D.ab2答案：B解析：设f(x)=2x+log2x(x0) ,则f(x) 在(0,+) 上为增函数,因为2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,所以f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=log212=-10 ,所以f(a)f(2b)
14、,所以a2b .f(a)-f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b+log2b-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b,当b=1 时,f(a)-f(b2)=20, 此时f(a)f(b2), 则有ab2; 当b=2 时,f(a)-f(b2)=-10, 此时f(a)f(b2), 则有ab2, 所以C、D错误.故选B.3.（2020课标,9,5分）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1| ,则f(x) ( )A.是偶函数,且在(12,+) 单调递增B.是奇函数,且在(-12,12) 单调递减C.是偶函数,且在(-,-12) 单调递增D.是奇函数,且在(-
15、,-12) 单调递减答案：D解析：由题意得f(x) 的定义域为xx12,xR ,关于坐标原点对称,又f(-x)=ln|1-2x|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x) ,f(x) 为定义域上的奇函数,可排除A、C选项;当x(-12,12) 时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x) ,易知y=ln(2x+1) 在(-12,12) 上单调递增,y=ln(1-2x) 在(-12,12) 上单调递减,f(x) 在(-12,12) 上单调递增,排除B选项;当x(-,-12) 时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x)=ln2x+12x-1=ln(1+22x-
16、1) ,=1+22x-1 在(-,-12) 上单调递减,f()=ln 在定义域内单调递增,f(x) 在(-,-12) 上单调递减,D正确.故选D.4.（2020课标,12,5分）若2x-2y3-x-3-y, 则( )A.ln(y-x+1)0 B.ln(y-x+1)0C.ln|x-y|0 D.ln|x-y|0答案：A解析：令f(x)=2x-3-x ,y=2x 为R 上的增函数,y=3-x 为R 上的减函数,f(x) 为R 上的增函数,由2x-2y3-x-3-y 得2x-3-x2y-3-y,xy ,y-x0,y-x+11 ,ln(y-x+1)0 ,则A正确,B错误;|x-y| 与1的大小不确定,C
17、、D 无法确定.故选A.5.（2020课标,4,5分）Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t) （t 的单位：天）的Logistic 模型：I(t)=K1+e-0.23(t-53) ,其中K 为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K 时,标志着已初步遏制疫情,则t* 约为(ln193) ( )A.60B.63C.66D.69答案：C解析：因为I(t)=K1+e-0.23(t-53) ,所以I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=0.95K ,整理可得e0.23(t*-53)=19, 所以0.23(t*-
18、53)=ln193, 解得t*30.23+5366. 故选C.6.（2020课标,12,5分）已知5584,13485 .设a=log53,b=log85,c=log138, 则( )A.abc B.bacC.bca D.cab答案：A解析：由题意可知a,b,c(0,1) ,ab=log53log85=log53log58(log53+log582)2=(log524)24(log525)24=1,ab ;由b=log85 得8b=5, 由5584 得85b84,5b4 ,解得b45 ;由c=log138 得13c=8, 由13485 得134135c,5c4 ,解得c45 .综上所述,abc
19、 .故选A.7.（2020天津,9,5分）已知函数f(x)=x3,x0,-x,x0. 若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR) 恰有4个零点,则k 的取值范围是( )A.(-,-12)(22,+)B.(-,-12)(0,22)C.(-,0)(0,22)D.(-,0)(22,+)答案：D解析：令h(x)=|kx2-2x| ,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(kR) 恰有4个零点,即y=f(x) 与y=h(x) 的图象恰有4个不同的交点.当k=-12 时,h(x)=|-12x2-2x|=|12x2+2x| ,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x) 的图象,如图.由图
20、可知y=f(x) 与y=h(x) 的图象恰有4个不同的交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x| 恰有4个零点,排除A ,B ;当k=1 时,h(x)=|x2-2x| ,作出y=h(x) 与y=f(x) 的图象,如图.此时,函数y=f(x) 与y=h(x) 的图象仅有2个交点,不符合题意,排除C,故选D.8.（2020天津,6,5分）设a=30.7,b=(13)-0.8,c=log0.70.8, 则a,b,c 的大小关系为( )A.abc B.bacC.bca D.cab答案：D解析：因为a=30.71,b=(13)-0.8=30.830.7=a,c=log0.70.8log0.70.7
21、=1, 所以c1ab .故选D.9.（2020北京,6,4分）已知函数f(x)=2x-x-1 ,则不等式f(x)0 的解集是( )A.(-1,1)B.(-,-1)(1,+)C.(0,1)D.(-,0)(1,+)答案：D解析：因为f(x)=2x-x-1 ,所以f(x)0 等价于2xx+1 ,在同一平面直角坐标系中作出y=2x 和y=x+1 的图象,如图所示.易知两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2),观察图象可知,不等式2xx+1 的解集为(-,0)(1,+) ,即不等式f(x)0 的解集为(-,0)(1,+) .故选D.10.（2020北京,11,5分）函数f(x)=1x+1+lnx 的定义域是 .答案：(0,+)解析：由题意得x0,x+10, 解得x0 ,故函数的定义域是(0,+) .
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