1、高考资源网（） 您身边的高考专家疱工巧解牛知识巧学一、倍角公式1.公式的推导：倍角公式是和角公式的特例，只要在和角公式中令=，就可得出相应的倍角公式. sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos；cos(+)=coscos-sinsin cos2=cos2-sin2.由于sin2+cos2=1，显然，把sin2=1-cos2代入cos2=cos2 -sin2，得cos2=cos2-sin2=cos2-(1-cos2)=2cos2-1.同理，消去cos2，得cos2=1-2sin2.tan(+)=.综上，我们把公式叫做二倍角公式.2.二倍角公式中角的范围 由任意角的三角函数
2、的定义可知S2、C2中的角是任意的，但公式T2即tan2=中的角是有条件限制的. 要使tan2有意义，需满足1-tan20且tan有意义.当tan有意义时，+k(kZ)；当1-tan20，即tan1时，+k(kZ).综上,可知要使T2有意义，需+k且+k(kZ).特别地，当=+k(kZ)时，虽然tan的值不存在，但tan2的值是存在的，这时求tan2的值，可用诱导公式进行，即tan2(+k)=tan(+2k)=tan=0.学法一得 二倍角的切函数是用单角的切函数表示出来的，它的角除了使解析式有意义外，还应使函数自身也有意义.3.倍角公式中的倍角是相对的 二倍角公式不仅仅可用于将2作为的2倍的情
3、况，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8是4的二倍角，4是2的二倍角，3是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角等. 在运用倍角公式对半角的三角函数进行变换时，无论正用还是逆用，都可直接使用这一公式.例，-1=1-2sin2；sin3cos3= (2sin3cos3)=sin6；cos22-sin22=cos4；=tan70等.4.倍角公式的几种变形形式(sincos)2=1sin2；1+cos2=2cos2；1-cos2=2sin2；cos2=；sin2=.学法一得 我们常把1+cos=2cos2，1-cos=2sin2称为升幂换半角公式，利用该公式消去常数项，便于提取公因式化简三角函数式；把
4、cos2=，sin2=称为降幂换倍角公式，利用该公式能使之降次，便于合并同类项化简三角函数式.倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数之间的关系.对于该公式不仅要会正用，还应会逆用和变用.5.倍角公式与和角公式的内在联系只有理清公式的来龙去脉及公式的变形形式，才能及时捕捉到有价值的信息，完成问题的解答.典题热题知识点一 直接应用倍角公式求值例1 求下列各式的值：(1)2sin15sin105；(2)；(3)；(4).解：(1)原式=2sin15sin(90+15)=2sin15cos15=sin30=.(2)原式=(1-2sin215)=cos30=.(3)原式=.(4)原式=.方法归纳 倍角公
5、式中的角是相对的，对它应该有广义上的理解，即 (nN*)，(nN*)， (nN*).知识点二 利用倍角公式给值求值例2 已知x(，0)，cosx=，则tan2x等于( )A. B. C. D.思路分析：运用三角函数值在各个象限的符号及倍角公式求解.解法一：x(，0)，cosx=，sinx=.由倍角公式sin2x=2sinxcosx=，cos2x=2cos2x-1=2()2-1=.得tan2x=.解法二：x(，0)，cosx=，sinx=.tanx=.tan2x=.答案：D方法归纳 解好选择题的关键在于能否针对题目的特点，选择合理而适当的解法，最忌对任何题目都按部就班地演算求解，小题大做，应力求
6、做到“小题小做”“小题巧做”.像这种从题目的条件出发，通过正确地运算推理，得出结论，再与选择肢对照确定选项的方法叫做定量计算法；像这样通过对题干和选择肢的关系进行观察、分析，再运用所学知识，通过逻辑推理作出正确选择的方法叫做定性分析法.例3 已知sin(+)sin(-)=，(，)，求sin4的值.思路分析：要求sin4的值，根据倍角公式可知只需求出sin2、cos2的值或sin、cos的值即可.由于(+)+(-)=，可运用二倍角公式求出cos2的值.解：由题设条件得sin(+)sin(-)=sin(+)cos-(-)=sin(+)cos(+)=sin(+2)=cos2=，cos2=.(，)，2
7、(，2).又cos2=0，2(，2).sin2=.sin4=2sin2cos2=2.例4 已知cos(+x)=，求的值.思路分析：由于结论中同时含有切、弦函数，所以可先对结论切化弦，化简后不难发现，只需求出sin2x和tan(+x)的值即可，注意到2(+x)=+2x，这样通过诱导公式就容易找到sin2x同cos(+x)的关系了.解：，.又cos(+x)=0，+x2.sin(+x)=，.sin2x=-cos2(+x)=1-2cos2(+x)=，原式=.例5 在ABC中，已知AB=AC=2BC(如图3-1-10)，求角A的正弦值.图3-1-10思路分析：由于所给三角形是等腰三角形，所以可通过底角的
8、三角函数值或顶角一半的三角函数值来求解.解：作ADBC于点D，设BAD=，那么A=2.BD=BC=AB，sin=.02，0.于是cos=.故sinA=sin2=2sincos=.巧解提示:作ADBC于点D，BD=BC=AB,又AB=AC，B=C.cosB=cosC=.0B，sinB=.又A+B+C=，A=-(B+C)=-2B.sinA=sin(-2B)=sin2B=2sinBcosB=.方法归纳 在ABC中，由于A+B+C=，所以A=-(B+C)，.由诱导公式可知：sinA=sin(B+C)；cosA=-cos(B+C)；tanA=-tan(B+C)；.任意变换A、B、C的位置，以上关系式仍然
9、成立.例6 已知sin22+sin2cos-cos2=1，(0，)，求sin、tan的值.思路分析：已知是二倍角，所求的结论是单角；已知复杂，结论简单，因此可从化简已知入手，推出求证的结论.解：把倍角公式sin2=2sincos，cos2=2cos2-1代入已知得4sin2cos2+2sincos2-2cos2=0，即2cos2(2sin2+sin-1)=0，即2cos2(2sin-1)(sin+1)=0.(0，)，sin+10，cos20.2sin-1=0，即sin=.又(0,),=.tan=.知识点三 利用倍角公式化简三角函数式例7 利用三角公式化简sin50(1+tan10).思路分析：
10、本题给我们的感觉是无从下手，很难看出有什么公式可直接利用.从角的角度去分析，10、50除了它们的和60是特殊角外，别无特点；从函数名称的角度去分析，由于该式子有弦，有切，我们可从化切为弦入手去尝试解决，转化成弦函数.通分后出现asin+bcos的形式，由于3是一特殊角的三角函数值，可把它拼凑成两角和(差)的正、余弦展开式的形式逆用公式求值.若把50转化成(60-10)从同一角入手，也可以求值.解：原式=sin(60-10)(1+tan10)=(cos10-sin10)(1+tan10)=cos10+cos10tan10-sin10-sin10tan10=cos10+sin10-sin10tan
11、10=(cos10-)+sin10=.巧解提示:原式=.方法归纳 对于三角整式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对二次根式，要设法使被开方数升次，通过开方进行化简.另外，还可用切割化弦、变量代换、角度归一等方法. 对于形如1sin、1cos的形式，我们可采取升幂换半角的形式，消去常数项1，通过提取公因式化简有理式或通过开方化简无理式.例8 求cos20cos40cos60cos80的值.解：由于cos60=，所以原式=cos20cos40cos80.方法归纳 对于可化为coscos2cos4cos2n-1(nN且n1)的三角函数式，由于它们的角是
12、以2为公比的等比数列，可将分子、分母同乘以最小角的正弦，运用二倍角公式进行化简.巧解提示:此外，本题也可构造一对偶式求解.设M=cos20cos40cos60cos80，N=sin20sin40sin60sin80，则MN= sin40sin80sin120sin160=sin20sin40sin60sin80=N，M=,即cos20cos40cos60cos80=.知识点四 利用倍角公式证明三角恒等式例9 求证：.证明：原式等价于1+sin4-cos4=(1+sin4+cos4)，即1+sin4-cos4=tan2(1+sin4+cos4). 而式右边=tan2(1+cos4+sin4)=
13、(2cos22+2sin2cos2)=2sin2cos2+2sin22 =sin4+1-cos4=左边.所以式成立，原式得证.例10 求证：.思路分析：由于分母是三角函数值平方的形式，通分后转化成3cos240-sin240，按平方差公式展开得(cos40+sin40)(cos40-sin40)，恰好是两个辅助角公式的形式，可运用三角函数的和差公式求值；此外，也可对它的分母降幂换倍角进行化简.证明：左边=右边，所以原式成立.方法归纳 对于三角函数式的化简、求值和证明，可从角的角度、运算的角度或函数名称的角度去考虑，其中通过通分，提取公因式、约分、合并同类项等运算的手法去化简是非常必要的.例11
14、 已知3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，求证：cos(+2)=0.思路分析：从求证的结论看，cos(+2)的展开式中含有cos、cos2、sin、sin2这样的函数值.由已知条件结合倍角公式的特点，恰好能转化出cos2、sin2这样的函数值.证明：由3sin2+2sin2=1，得1-2sin2=3sin2，cos2=3sin2.又sin2=sin2，cos(+2)=coscos2-sinsin2=cos3sin2-sinsin2=sinsin2-sinsin2=0.方法归纳 首先观察条件与结论的差异，从解决某一差异入手.确定从结论开始，通过变换将已知条件代入得出结论；或通
15、过变换已知条件得出结论；或同时将条件与结论变形，直到找到它们间的联系.如果上述方法都难奏效的话，可采用分析法；如果已知条件含有参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法，等等.问题探究材料信息探究问题 倍角和半角公式：sin=，cos=，tan=，这组公式称为“万能公式”，那么“万能公式”是怎样来的？它真的是“万能”的吗？探究过程:万能公式是一组用tan来表示sin、cos和tan的关系式. 这组公式可以利用二倍角公式推导，其中正切tan=，可以由倍角公式直接获得；正弦、余弦只要在倍角公式中添加分母，再分子、分母同除以cos2可得：，. 这组“万能公式”为一类三角函数的求值
16、提供了一座方便可行的桥梁，如要计算cos或sin(+)的值，可以先设法求得tan或的值.由于公式中涉及角的正切，所以使用时要注意限制条件，即要保证式子有意义.探究结论:所谓的“万能”，是说不论角的哪一种三角函数，都可以表示成tan的有理式，这样就可以把问题转化为以tan为变量的“一元有理函数”，即如果令tan=t，则sin、cos和tan均可表达为关于t的分式函数，这就实现了三角问题向代数问题的转化，为三角问题用代数方法求解提供了一条途径.如tan15+cot15=tan15+，就较方便的解决了问题.再如求函数的值域.令，则tR，利用万能公式有sinx=,cosx=，所以 ，由此可以建立关于t的一次或二次函数(2y+1)t2+2yt+2y-1=0，进一步分类讨论可得函数的值域.高考资源网版权所有，侵权必究！
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