1、江苏省苏州中学2020-2021学年第二学期期初质量评估高二数学一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）A B C D2设，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）A120 B60 C160 D804“恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A B C D5阿基米德（公元前287年一公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础他利用“逼近法”得到植圆的
2、面和除以圆周率等于粗圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的方程为（ ）A B C D6我国古代数学名著九章算术中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半，如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（ ）A3天 B4天 C5天 D6天7人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的，已知抛物线的焦点为F，从点F出发的光线经第一象限
3、内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为（ ）A B C D8函数、分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且，若存在，使不等式成立，则实数m的最小值为（ ）A4 B C8 D二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知正数a、b满足，则下列说法正确的是（ ）A的最小值是 B的最小值是C的最小值是 D的最小值是10已知双曲线的实轴长是2，右焦点与抛物线的焦点F重合，双曲线与拋物线交于A、B两点，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的离心半为 B抛物线的准线
4、方程是C双曲线的渐近线方程为 D11定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（ ）A数列为等差数列 B数列为等比数列C D成等差数列12取整函数：不超过x的最大整数，如以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（ ）A B，则C D三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知命题则为：_14已知，则的最小值是_15如图，正方形的边长为a，函数与交于点Q，函数与交于点P，当最小时，a的值为_16经过原点的直线交椭圆于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且，直线与椭圆交于点B，且满足，则直线和的斜率之积为_，椭圆的离心率为_四、解答题（本大题共6
5、小题，共70分）17（10分）已知，集合（1）当时，求；（2）设；，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18（12分）设矩形的周长为20，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P设（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）求面积的最大值19（12分）在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，侧面为等边三角形，M、N分别为、的中点，平面，（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值20（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为（1）求双曲线E的方程；（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线
6、E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围21（12分）已知数列满足（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式（2）若，记数列的前n项和为，求证：22（12分）如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8（1）求椭圆E的方程（2）设动直线与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由江苏省苏州中学2020-2021学年第二学期期初质量评估高二数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目
7、要求的）1【答案】B 2【答案】A 3【答案】A 4【答案】C 5【答案】A 6【答案】B 7【答案】D8【答案】B二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9【答案】AC 10【答案】BC 11【答案】AC 12【答案】ABD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13【答案】 14【答案】1 15【答案】 16【答案】；四、解答题：（本大题共6小题，共70分）17（1）由可得又，所以（2）由（1）知，因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集：因此，所以，又，所以，即
8、实数a的取值范围是18（1）由题意得：，则，因为在和中，所以，即所以在中，所以，化简可得，因为，所以，解得所以（2）由（1）可得，所以面积因为，所以，所以当且仅当，即时等号成立此时面积，即面积最大值为19（1）在中，M、N分别为、的中点，又因为平面，平面，所以平面，（2）过M作的平行线交于点E，以为x，y，z建立空间直角坐标系，如图：由侧面为等边三角形，则，则设平面的一个法向量，则，即，令，则，所以设与平面所成角为，则20（1）因为双曲线为等轴双曲线，所以，设双曲线的焦距为，故，即因为过右焦点F，且垂直于x轴，将代入，可得，故的面积为，所以，即所以，故双曲线E的方程为（2）依题意，直线与双曲线
9、E的左，有两支分别交于M，N两点，联立方程组消去y可得，所以，解得，且所以联立方程组得，同理，所以所以，其中，所以21（1）当时，因为，所以，所以数列为首项为，公差为1的等差数列又是，所以，解得（2）因为，所以所以即，显然，另一方面，故数列是递增数列，所以，因此，22（1）因为，即，即，所以又因为，即，所以，所以故椭圆E的方程是（2）解法一：由得因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得（*）此时所以，由得假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设，则对满足（*）式的m，k恒成立因为，由得整理得（*）由于（*）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以，解得故存在定点，使得以为直径的圆恒过点M解法三：由得因为动直线l与桶圆E有且只有一个公共点，所以且，即，化简得（*）此时所以，由得假设半面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上取，此时，以为直径的圆为交x轴于点；取，此时，以为直径的圆为交x轴于点所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为因为M的坐标为，所以从而，故恒有，即仔在定点，使得以为直径的圆恒过点M
