1、加练课2 实系数二次方程实根分布问题中的参数问题学习目标1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的情况，了解函数的零点与方程根的联系.2.根据一元二次方程的实根分布，确定参数的值或取值范围.自主检测必备知识 一、概念辨析，判断正误1.方程x2-mx+n=0 可能存在三个不相等的实数根.( )2.方程f(x)=0 的根就是函数f(x) 的零点.( )3.方程f(x)=0 有几个不相等的实数根，则函数f(x) 的图象就与x 轴有几个交点.( )二、夯实基础，自我检测4.关于x 的方程ax2+x+a-1=0 有两个异号的实根，则a 的取值范围是 .答案：(0,1)5.若方程8x2+(m+1)x+m
2、-7=0 有两个负根，则实数m 的取值范围是 .答案：(7,+)6.若关于x 的方程x2-ax+a2-4=0 有两个不等的正根，则实数a 的取值范围是 .答案：(2,433)互动探究关键能力 探究点一 一元二次方程的根的基本分布零分布例已知二次方程(2m+1)x2-2mx+m-1=0 有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.答案：设f(x)=(2m+1)x2-2mx+m-1, 二次方程有一正根和一负根，(2m+1)f(0)0 ，即(2m+1)(m-1)0 ，解得-12m1 ，m 的取值范围为(-12,1) .解题感悟一元二次方程根的零分布指的是方程的根相对于零的关系比如二次方程有一正根，有一负
3、根，即指这个二次方程的一个根比零大，一个根比零小，或者说这两个根分布在零的两侧.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两个实根为x1 ，x2 ，且x1x2 .【结论1】x10,x20 （两个正根）=b2-4ac0,x1+x2=-ba0,x1x2=ca0.推论：x20,x20=b2-4ac0,a0,f(0)=c0,b0 或=b2-4ac0,a0,f(0)=c0.上述推论结合二次函数图象不难得到.【结论2】x10,x20 （两个负根）=b2-4ac0,x1+x2=-ba0,推论：x20,x20,f(0)=c0,b0 或=b2-4ac0,a0,f(0)=c0,b0.由二次函数图象（图略）易知
4、以上结论正确. 【结论3】x10x2 （一正根一负根）ca0 .迁移应用1.已知关于x 的方程ax2-2(a+1)x+a-1=0 ，探究a 为何值时，（1）方程有一正一负两根；（2）方程的两根都大于1；（3）方程的一根大于1，一根小于1.答案：（1）由x1x2=a-1a0 ，解得0a1 ，故当0a1 时，该方程有一正一负两根.（2）由题意可得二次函数y=ax2-2(a+1)x+a-1 图象的对称轴方程为x=a+1a1,a0 ，故二次函数的图象开口向上，则=(-2a-2)2-4a(a-1)0,a+1a1,f(1)=a-2(a+1)+a-10,解得a ， 不存在实数a 使方程的两根都大于1.（3）
5、令二次函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1 ，由f(1)=a-2(a+1)+a-10 ，且a0 ，解得a0 ；由f(1)=a-2(a+1)+a-10 ，且a0 ，求得a 无解.综上，当a0 时，方程的一根大于1，一根小于1.探究点二 一元二次方程的根的非零分布k分布精讲精练例已知关于x 的二次方程x2+2mx+2m+1=0.（1）若方程有两个根，其中一个根在区间(-1,0)内，另一个根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；（2）若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围.答案：（1）由题意得，二次函数y=x2+2mx+2m+1 的图象与x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2
6、)内，则f(0)=2m+10,f(1)=4m+20,m-12,mR,m-56, 故-56m-12 ，即实数m 的取值范围是(-56,-12) .（2）由题意得，二次函数y=x2+2mx+2m+1 的图象与x 轴的交点在区间(0,1)内，则f(0)0,f(1)0,0,0-m-12,m-12,m1+2或m1-2,-1m0,-12m1-2 ，即实数m 的取值范围是(-12,1-2 .解题感悟1.解决一元二次方程根的分布问题的一般思路：（1）读题，确定一元二次方程根的范围；（2）画图，注意开口方向与零点的位置；（3）根据图象，写出解题的关键式：判别式（要特别注意有没有等号）；对称轴与区间端点的位置关系
7、；区间端点的函数值的符号.2.设一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两实根为x1,x2 ，且x1x2 ，k 为常数，则一元二次方程根的k 分布（即x1,x2 相对于k 的位置）有以下结论：【结论1】x1kx2 （即一个根小于k ，一个根大于k ）af(k)0 .【结论2】k0,-b2ak.【结论3】x1x20,-b2ak.【结论4】有且仅有k1x1k2 （或k1x2k2 ）（即在(k1,k2) 内有且仅有一个根）f(k1)f(k2)0 .【结论5】k1x1x20,f(k1)0,f(k2)0,k1-b2b0,f(k1)0,f(k2)0,k1-b2b0,af(k2)0,k1-b2b0,4(
8、a-1)2-4(2a+6)0,1-a0,a-54,a-1或a5,a1,-540,4(a-1)2-4(2a+6)0,1-a0,即2a+60,a2-4a-50,a0,a0, 解得a0 或a-4 ，故实数a的取值范围是(-,-4)(0,+) .3.若x1、x2(x1x2) 是方程(x-A)(x-B)=1(AB) 的两个根，则实数x1、x2、A、B 的大小关系是 .答案：x1ABx24.若关于x 的不等式x2-ax-ba0 只有一个整数解2，则实数a 的取值范围是 .答案：(3,5)解析： 关于x 的不等式x2-ax-ba0 只有一个整数解2， 关于x 的方程x2-ax-ba=0 的一个根在(1,2)
9、内，另一个根在(2,3)内.令f(x)=x2-ax-ba ，则f(1)=1-a-ab0,f(1)=4-2a-ab0, 解得3a5 . 实数a 的取值范围是(3,5).5.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1 .（1）如果函数f(x) 的一个零点为0，求m 的值；（2）当函数f(x) 有两个不相等的零点时，求m 的取值范围；（3）当函数f(x) 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求m 的取值范围.答案：（1）因为函数f(x) 的一个零点为0，所以f(0)=2m-1=0 ，解得m=12 .（2）当函数f(x) 有两个不相等的零点时，2(m+1)0 ，且=(4m)2-8(m+1)(2m-1)0 ，解得m1 ，且m-1 ，故m的取值范围为m|m1且m-1 .（3）当函数f(x) 有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，有两种情况：若2(m+1)0 ，则有f(1)=8m+10 ，解得-1m-18 ；若2(m+1)0 ，则有f(1)=8m+10 ，解得m .综上可得，-1m-18 .
