1、第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制5.1.1 任意角课标解读课标要求素养要求1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.了解象限角的概念.3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.1.数学抽象会根据任意角的概念判断角的位置.2.逻辑推理能用任意角的概念求解相关问题.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 正角、负角和零角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角 ，按顺时针方向旋转形成的角叫做 负角 .如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个 零角 .要点二 任意角任意角包括；正角，负角和零角.设， 是任意两个角.我们规定，把角 的终边旋转角 ，这时
2、终边所对应的角是 + .要点三 象限角为了方便，使角的顶点与原点重合.角的始边与x 轴的 非负半轴 重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.要点四 所有与角终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合S=+k360_,kZ ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和自主思考1.当钟表慢了（或快了） ，我们会将分针按某个方向转动，把时间调整准确.在调整的过程中，分针转动的角是正角还是负角?答案：提示当钟表慢了，将分针顺时针转动，此时分针转动的角为负角；当钟表快了，将分针逆时针转动，此时
3、分针转动的角为正角.2.“锐角”“第一象限角”“小于90 的角”三者有何不同?答案：提示锐角是第一象限角，也是小于90 的角；第一象限角可以是锐角，也可以是大于360 的角，还可以是负角；小于90 的角可以是锐角，也可以是零角或负角.3.若角 与 的终边相同，则角 与 有何关系?答案：提示三重合: 与 的顶点重合，始边重合.终边重合.大小关系:-=k360,kZ .以周角为周期:与角 终边相同的角只能表示为+k360,kZ ，尽管+k720,kZ 与角 终边也相同，但不能表示与角 终边相同的所有角.名师点睛1.任意角的概念（1）用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的
4、正角、负角和零角.（2）对任意角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字，要明确旋转的方向；要明确旋转角度的大小；要明确射线未作任何旋转时的位置.2.象限角的表示象限角角的集合表示第一象限角|k36090+k360,kZ第二象限角|90+k360180+k360,kZ第三象限角|180+k360270+k360,kZ第四象限角|270+k360360+k360,kZ互动探究关键能力探究点一 任意角与象限角的概念精讲精练例 （1）给出下列说法：锐角都是第一象限角；第一象限角一定不是负角；小于180 的角是钝角、直角或锐角；始边和终边重合的角是零角.其中正确的说法有 （把说法正确的序号都写上）.（2）经
5、过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 .答案：（1）（2）-60,-720解析：（1）锐角是大于0 且小于90 的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以中说法正确；-350 角是第一象限角，但它是负角，所以中说法错误；0 角是小于180 的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以中说法错误；360 角的始边与终边重合，但它不是零角，所以中说法错误（2）钟表的时针和分针都是顺时针旋转的，因此转过的角度都是负的，而212360=60,2360=720, 故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720 .解题感悟 1.解与角的概念有关的问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角
6、、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 2.象限角的判断方法（1）根据图形判定，在平面直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.（2）根据终边相同的角的概念，把角转化到0360 范围内，转化后的角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角.迁移应用1.已知角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上.请指出下列各角是第几象限角.（1）-75 ；（2）855 ；（3）-510.答案：（1）由图可知，-75 角是第四象限角（2）由图可知，855 角是第二象限
7、角（3）由图可知，-510 角是第三象限角探究点二 终边相同的角精讲精练 例 已知=-1845 ，在与 终边相同的角中，求满足下列条件的角.（1）最小的正角；（2）最大的负角；（3）-360720 之间的角.答案：（1）因为-1845=-45+(-5)360 ，所以-1845 角与-45 角的终边相同，所以与角 终边相同的角的集合是|=-45+k360,kZ .最小的正角为315 .（2）最大的负角为-45 .（3）-360720 之间的角分别是-45,315,675 .解题感悟（1）终边相同的角都可以表示成k360 （k Z ）的形式.（2）终边相同的角相差360 的整数倍.（3）终边在同一
8、直线上的角之间相差180 的整数倍.（4）终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90 的整数倍.迁移应用1.写出与角=-1910 终边相同的角的集合，并把集合中满足不等式-720360 的元素 写出来.答案： 与角=-1910 终边相同的角的集合为|=-1910+k360,kZ .因为-720360,所以-720-1910+k360360,kZ .所以31136k61136,kZ .故k=4,5,6 ，k=4 时，=-1910+4360=-470 .k=5 时，=-1910+5360=-110 .k=6 时，=-1910+6360=250 .探究点三 区域角的表示精讲精练 例1 （易错题）已知角
9、 的终边落在如图所示的阴影范围内（包括边界），求角 的集合.答案： 当终边落在x 轴上方的阴影区域内（包括边界）时，角 的集合为A=|90+2k180135+2k180,kZ,当终边落在x 轴下方的阴影区域内（包括边界）时，角 的集合为B=|270+2k180315+2k180,kZ=|90+(2k+1)180135+(2k+1)180,kZ,所以终边落在阴影区域内（包括边界）的角 的集合为AB=|90+n180135+n180,nZ.易错警示 常因忽视角的终边是射线而忘记对角的位置进行讨论出错，另外，求并集没有化简也容易造成失分.例2 写出y=x(x0) 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的
10、集合.答案： 当 的终边落在直线y=x(x0) 上时，角的集合为|=45+k360,kZ ；当 的终边落在直线y=-x(x0) 上时，角的集合为|=-45+k360,kZ ，所以y=x(x0) 的图象所夹区域内（不包括边界）的角的集合为|-45+k36045+k360,kZ .解题感悟表示区域角的三个步骤第一步:先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.第二步:按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360 范围内的角 和 ，所以x|x, 其中-360. 第三步:起始、终止边界对应有, 再加上360 的整数倍，即得区域角的集合.迁移应用 1.写出终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角
11、 的集合.（1）（2） 答案：（1）先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则|30+k360150+k360,kZ （2）|-210+k36030+k360,kZ 评价检测素养提升课堂检测1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.第四象限角一定是负角C.60 角与600 角是终边相同的角D.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60答案： D解析：A错误，90 角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B错误，280 角是第四象限角，但它不是负角；C错误，600-60=540, 不是360 的整数倍，故60 角与360 角不是终边相同的角；D正确，分针转一周为60分
12、钟，转过的角度为-360 ，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为36016=60 .故选D.2.下列与-85012 角终边相同的角是( )A.23012 角B.22948 角C.12948 角D.13012 角答案： B解析：与-85012 角终边相同的角可表示为=-85012+k360(kZ),当k=3 时，=-85012+1080=22948 .故选B.3.给出下列四个命题：-75 是第四象限角；225 是第三象限角；475 是第二象限角；-315 是第一象限角.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解析：-90-750,180225270,360+904
13、75360+180,-360-315-270,所以四个命题都是正确的.故选D.4.若手表时针走过4小时，则分针转过的角度为 .答案： -1440解析： 由于分针是顺时针旋转的，故分针转过的角为负角，即-4360=-1440 .5.已知角 的终边在图中阴影表示的范围内（不包含边界），那么角 的集合是 .答案： |k360+45k360+150,kZ解析： 观察题图可知，角 的集合是|k360+45k360+150,kZ.素养演练 逻辑推理分类讨论思想解决象限角问题1.（2020山东枣庄高一期末）如果 是第二象限角，那么2 和90- 都不是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象
14、限角答案：B解析：审：由 是第二象限角，确定 的取值范围，再确定2 和90- 的取值范围.联：根据终边相同的角的表示方法，对k 进行奇偶数讨论，结合角的终边的对称性确定角的终边的位置.解：因为 是第二象限角，所以k360+90k360+180,kZ ，所以k180+452k180+90,kZ .当k=2n(nZ) 时，2 是第一象限角；当k=2n+1(nZ) 时，2 是第三象限角，所以2 是第一或第三象限角.因为 是第二象限角，所以- 是第三象限角，所以90- 是第四象限角， 所以2 和90- 都不是第二象限角.故选B.思：1.本题由第二象限角确定角的取值范围，经过运算求得半角的取值范围，通过
15、分类讨论和严密推理，考查逻辑推理的核心素养.2.n 所在象限的判断方法：确定n 终边所在的象限，先求出n 的取值范围，再直接转化为终边相同的角即可.3.n(n0) 所在象限的判断方法：已知角 所在的象限，要确定角n(n0) 所在的象限，有两种方法：（1）由 的范围求出n 的范围，再通过分类讨论把n 的范围写成+k360(kZ,0360) 的形式，然后判断n 的终边所在象限.（2）作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域.从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1，2，3，4，标号与角 终边所在的象限一致的区域即为n(n0) 的终边所在的区域
16、.因此，n(n0) 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出.迁移应用1.已知角 为第一象限角.（1）求角2 是第几象限角；（2）求角2 是第几象限角；（3）求角3 是第几象限角.答案：（1） 是第一象限角，k360k360+90(kZ).(*)k7202k720+180(kZ) .故2 是第一或第二象限角或终边在y 轴的非负半轴上的角.（2）由(*) 得k1802k180+45(kZ) .当k 为偶数时，令k=2n(nZ) ，得n3602n360+45(nZ) ，则2 是第一象限角.当k 为奇数时，令k=2n+1(nZ) ，得n360+1802n360+225(nZ) ，则2 是第三象限角.综合知，2 是第一或第三象限角.（3）如图，将各象限分成3等份，再从x 轴正方向的上方起，按逆时针方向依次在各区域内标上，标有的区域（阴影部分）即3 的终边所在的区域，故3 是第一或第二或第三象限角.
