1、G单元 立体几何 目录G单元 立体几何1G1 空间几何体的结构1G2 空间几何体的三视图和直观图10G3 平面的基本性质、空间两条直线24G4 空间中的平行关系24G5 空间中的垂直关系39G6 三垂线定理59G7 棱柱与棱锥60G8 多面体与球68G9空间向量及运算69G10 空间向量解决线面位置关系72G11 空间角与距离的求法72G12 单元综合91G1 空间几何体的结构【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(9)如图的几何体是长方体 的一部分，其中 则该几何体的外接球的表面积为(A (B) (C) ( D)【知识点
2、】几何体的结构. G1【答案】【解析】B 解析：该几何体的外接球即长方体的外接球，而若长方体 的外接球半径为R ，则长方体的体对角线为2R，所以，所以该几何体的外接球的表面积，故选 B. 【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体的外接球的关系，进而得结论. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识
3、点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在
4、棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为
5、,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，设与棱的交点为，则；当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1
6、，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；当y=1时，以B1为顶点，S为底面的棱锥B1-APC1M如图所示，该四棱锥的体积为,所以正确综上可知答案为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】15正方体为棱长为1，动点分别在棱上，过点的平面截该正方体所得的截面记为，设其中，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）当时，为矩形，其面积最大为1；当时，为等腰梯形；当时，为六边形；当时，设
7、与棱的交点为，则。【知识点】正方体的特征G1【答案】【解析】 解析：当时，为矩形，其最大面积为1，所以错误；当时，截面如图所示，所以正确；当时，截面如图，所以错误；当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1QR=N，连接AN交A1D1于S，连接SR，可证ANPQ，由NRD1QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，正确；综上可知正确的序号应为.【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.G2 空间几何体的三视图和直观图【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】4.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰
8、直角三角形，则该几何体外接球的体积是( ) A. B. C. D. 【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R=，故该几何体外接球的体积V=R3=.【思路点拨】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案【数学文卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】4某几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C Da2aa正视图左视图俯视图【
9、知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C【解析】由三视图知几何体为圆锥的，则V=Sh=【思路点拨】根据三视图得到为圆锥的，再根据体积公式求出体积。【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】11多面体的三视图如图所示，则该多面体表面积为（单位）A B CD【知识点】三视图求表面积.G2【答案】【解析】A 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：,所以,所以,在三角形ABD中，,所以该几何体的表面积为这四个面的面积和，故选A。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后分别求出各个面的面积，再求和即可。
10、【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】
11、D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】7一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( ) A B C D【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该几何体为正方体截取一个角之后剩余的部分，如图，所以其体积为，则选D.【思路点拨】由三视图求几何体的体积，关键是判断原几何体形状，可在熟悉的几何体的三视图基础上进行解答.【名校精品解
12、析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】15.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位） 【知识点】三视图求几何体体积.G2【答案】【解析】 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如下图所示：由题意得：，且, ,故答案为。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后利用锥体的体积公式即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】15.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位） 【知识点】三视图求几何体体积.G2【答案】【解析】 解析：根据多面体的三视图可知该几何体如
13、下图所示：由题意得：，且, ,故答案为。【思路点拨】先根据多面体的三视图判断出该几何体形状，然后利用锥体的体积公式即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱，其底面积为，高为3，所以其体积为，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积时，应先分析几何体的特征在进行求值.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】3.某
14、几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【知识点】三视图G2【答案】【解析】A 解析：由三视图可知该几何体为一个倒放的三棱柱，其底面积为，高为3，所以其体积为，则选A.【思路点拨】由三视图求几何体的体积时，应先分析几何体的特征在进行求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】3一个几何体的三视图及其尺寸(单位：)如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）。A BC D 俯视图正(主)视图 8 5 5 8侧(左)视图 8 5 5（第3题图）【知识点】三视图 G2【答案】D【解析】解析：由三视图可
15、得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，所以侧面积为：，故选择D.【思路点拨】根据三视图可得该几何体是底面为8的正四棱锥，且正四棱锥的斜高为5，即可求得其侧面积.【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(20)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD中，ADDB，其中三棱锥P- BCD的三视图如图所示，且 (1)求证：AD PB(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为 ，求AD的长【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6.
16、 解析：由三视图可知又，又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD两两互相垂直，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设AD= ,结合sinBDC= 可得.所以设为平面PCD 的法向量，由题意得即，令y=3,则x=4,z=0，得平面PCD的一个法向量. 设PA与平面PCD 所成角为，可得，解之得，即AD=6.【思路点拨】（1）由三视图得此几何体的结构特点，从而得AD平面PBD，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是
17、（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由
18、三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积是（）A B C. D.【知识点】三视图G2【答案】【解析】D 解析：由三视图可知该四棱锥各侧面都是直角三角形，因为底面正方形的边长为，四个侧棱长依次为，所以其侧面积为，所以选D.【思路点拨】由三视图求面积或体积，关键是由三视图正确判断原几何体特征.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】5如图，若一个空间几何体的三视图中，直角三
19、角形的直角边长均为1，则该几何体的体积为( )A B C D【知识点】由三视图求面积、体积G2【答案】【解析】B 解析：由三视图知，此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是边长为1的正方形，其高也为1，故该几何体的体积为，故选B【思路点拨】由三视图还原出实物图的结构特征及数据，由三视图可以看出此物体是一个四棱锥，根据相关的体积公式求出其体积【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】13.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是_【知识点】三视图G2【答案】【解析】3 解析：由三视图可得出该几何体为四棱锥，体积为V=131
20、21+22x=3，解得x=3，故答案为3.【思路点拨】关键在于看出该几何体为四棱锥，再利用体积计算公式得到关于x的方程，即可解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】5已知某三棱锥的三视图均为腰长为 2的等腰直角三角形（如图），则该棱锥的表面积为（ ）A BC D【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】由三视图得，该几何体为底面和两个侧面为直角边边长为2的等腰直角三角形，另外一个侧面是一个边长为2的等边三角形，故该棱锥的表面积为S=322+(2)2=.【思路点拨】先由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用三棱锥的表面积公式求
21、出该几何体的表面积【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】11若某棱锥的三视图(单位：)如图所示，则该棱锥的体积等于。正视图左视图俯视图5343（第11题图）【知识点】三视图 G2【答案】【解析】解析：由三视图知几何体为三角形削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，几何体的体积故答案为.【思路点拨】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥，画出其直观图，根据棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案G3 平面的基本性质
22、、空间两条直线G4 空间中的平行关系【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】17（本小题满分12分）如图，为正三角形，平面，为的中点，（）求证：平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值【知识点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（）略（）（）证明：作的中点，连结 在中，又据题意知， ，四边形为平行四边形 ，又平面，平面 平面4分（），平面 在正中，三线两两垂直 分别以为轴，建系如图 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则 平面的一个法向量为 又平面的一个法向量为 平面与平面所成的锐二面角的余弦值8分【
23、思路点拨】（）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出；（）分别求平面与平面的法向量， ，即可求出余弦值【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】8已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】9如图，用一边长为的正方形硬
24、纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( ) A B C D【知识点】空间几何体的结构G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】9如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形
25、，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为( ) A B C D【知识点】空间几何体的结构G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆直径为1.鸡蛋的表面积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为.【思路点拨】先求出球心到截面的距离为，再求球心到底面的距离为。【数学文卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）】18（本题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为的中点。（1）若，求证：平面平面；（2）点在
26、线段上，试确定的值，使平面；【知识点】平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的性质及直线与直线平行的性质 G4 G5【答案】（1）证明详见解析;（2）.【解析】解析：(1)连四边形菱形,，正三角形, 为中点, 的中点, 又平面平面平面平面(2)当时,平面下面证明,若平面,连交于由可得,平面,平面,平面平面, 即:;【思路点拨】（1）由已知条件可证根据平面与平面垂直的判定定理即可求证平面平面（2）连结交于，由可证,即得,由直线与平面平行的性质，可证,即得，所以即.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19（本小题满分12分）如图所示，在
27、四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501
28、）】19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学
29、高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/
30、平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，
31、所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所
32、成的锐二面角的余弦值。 （第20题图）【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 （4分） （1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。 （5分） （2）设平面的法向量为， ， 则有，取，得。 ， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. （5分）【思路点拨】过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系，求得点坐标，进而得到平面的法向量，利用线面角公式求得；求得平面的法向量
33、，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】4在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、为不同的两个平面),/ /,/,/ ,/,/,/,/其中正确的命题个数有（ ）。A1个 B2个 C3个 D4个【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：由线面垂直及线面平行的性质，可知,/，故正确；，故错误根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若，则，又，故正确由,可得平面都与直线确定的平面平行，则可得，故正确综上知，正
34、确的有，故选择C. 【思路点拨】根据线面垂直、线面平行的性质，可判断；由可判断；根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断；由已知可得平面都与直确定的平面平行，则可得，可判断.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错
35、误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系
36、列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】20已知在如图的多面体中，底面，,是
37、的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面 （3）求此多面体的体积.【知识点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；几何体的体积.G4 G5G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3） 解析：（1）， 又,是的中点， 四边形是平行四边形， 平面，平面，平面 （2）连结，四边形是矩形，底面，平面，平面， ，四边形为菱形， 又平面，平面，平面 （3） ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路点拨】（1）先结合已知条件证明出四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；（2）直接利用线面垂直的判定定理即可；（3）先对原几何体分解，再分别求出体积相加即可。【名校精品解析系列】数学文卷201
38、5届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】6设为两条不同的直线，为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）。 A若与所成的角相等，则B若，则 C若，则 D若，则【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确故选择C.【思路点
39、拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点。该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。（I）证明：平面；（II）证明：平面平面。【知识点】线面平行 面面垂直G4 G5【答案】【解析】（I）略；（II）略 解析：（I）证明：取PC中点Q，连结EQ，FQ由正（主）视图可得E为
40、PD的中点，所以EQCD,又因为AFCD,AF=CD, 所以AFEQ,AF=EQ,所以四边形AFEQ为平行四边形，所以AEFQ因为,所以 直线AE平面PFC;（II）证明：因为PA平面ABCD，所以PACD,因为面ABCD为正方形，所以ADCD,所以CD平面PAD，因为，所以CDAE,因为PA=AD，E为PD中点，所以AEPD,所以AE平面PCD因为AEFQ，所以FQ平面PCD因为， 所以平面PFC平面PCD.【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题，通常结合其判定定理进行证明.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6已知是平面，是直线，则下
41、列命题正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】 B 解析：选项A，直线n还可能在平面内，所以错误；选项B，因为n,所以在一定存在直线an，而m,所以ma,得mn，所以B正确，因为只有一个正确选项，则答案只能为B.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.G5 空间中的垂直关系【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】8已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【知识点】线线关系，
42、线面关系 G4 G5【答案】【解析】D解析：A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（） 因为PA平面ABCD，所以PABD2分又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分从而平面PBD平面
43、PAC 6分（）方法1 过O作OHPM交PM于H，连HD因为DO平面PAC，可以推出DHPM,所以OHD为O-PM-D的平面角8分又，且10分从而11分所以，即 12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, 8分从而9分因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为10分 设平面PMD的法向量为,由得取，即 11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即 12分【思路点拨】（）根据线面垂直的判定，证明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD平面PAC;（）过O作OHPM交PM于H，连HD，则OHD为APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值为，即可
44、求a：b的值【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成
45、的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin
46、 .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，
47、y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线
48、面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1
49、D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,
50、3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷20
51、15届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).
52、如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为
53、.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1
54、，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 （第20题图）【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析
55、】解析：过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 （4分） （1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。 （5分） （2）设平面的法向量为， ， 则有，取，得。 ， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. （5分）【思路点拨】过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系，求得点坐标，进而得到平面的法向量，利用线面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试
56、（201501）word版】4在空间给出下面四个命题(其中、为不同的两条直线,、为不同的两个平面),/ /,/,/ ,/,/,/,/其中正确的命题个数有（ ）。A1个 B2个 C3个 D4个【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：由线面垂直及线面平行的性质，可知,/，故正确；，故错误根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若，则，又，故正确由,可得平面都与直线确定的平面平行，则可得，故正确综上知，正确的有，故选择C. 【思路点拨】根据线面垂直、线面平行的性质，可判断；由可判断；根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面
57、及面面垂直的判定定理可判断；由已知可得平面都与直确定的平面平行，则可得，可判断.【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(20)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD中，ADDB，其中三棱锥P- BCD的三视图如图所示，且 (1)求证：AD PB(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为 ，求AD的长【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6. 解析：由三视图可知又，又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD两两互相垂直，以D为原点，建立
58、如图所示空间直角坐标系.设AD= ,结合sinBDC= 可得.所以设为平面PCD 的法向量，由题意得即，令y=3,则x=4,z=0，得平面PCD的一个法向量. 设PA与平面PCD 所成角为，可得，解之得，即AD=6.【思路点拨】（1）由三视图得此几何体的结构特点，从而得AD平面PBD，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】
59、 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是（）
60、A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】【解
61、析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确的是
62、（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】
63、【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】5已知是平面，是直线，则下列命题不正确
64、的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】D 解析：由线面垂直的性质得A选项正确；由两面平行的性质知B正确；若m,m,则平面必经过平面的一条垂线，所以C正确；因为n不一定在平面内，所以m与n不一定平行，则D错误，综上可知选D.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试（201501）】20已知在如图的多面体中，底面，,是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面 （3）求此多面体的体积.【知识点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理
65、；几何体的体积.G4 G5G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3） 解析：（1）， 又,是的中点， 四边形是平行四边形， 平面，平面，平面 （2）连结，四边形是矩形，底面，平面，平面， ，四边形为菱形， 又平面，平面，平面 （4） ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路点拨】（1）先结合已知条件证明出四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；（2）直接利用线面垂直的判定定理即可；（3）先对原几何体分解，再分别求出体积相加即可。【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】20（12分）如下图所示四棱锥E-ABCD中，四边形为正方形
66、，平面，且，（）求证：平面；（）求四棱锥E-ABCD的体积【知识点】垂直关系 四棱锥的体积G5 G7【答案】【解析】（）略；（）183 解析：()证明：平面，平面， 在正方形中，平面,AB/CD，平面 （）解法1：在中，过点作于点，平面，平面， ，平面，又正方形的面积， 故所求体积为解法2：在中， 连接，则四棱锥E-ABCD分割为三棱锥和三棱锥 由（1）知，又AB/CD平面，平面，AB/平面CDE点到平面的距离为的长度 平面，故所求体积为【思路点拨】本题由线面垂直的判定定理进行证明，求体积则可以通过直接求体积法和分割求体积法求得结果.【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高
67、三上学期第二次适应性测试（201501）word版】21（本小题满分15分） 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且. （1）试在棱上确定一点，使平面； （2）当点在棱中点时，求直线与平面所成角的大小的正弦值。【知识点】线面垂直 线面角 G5 G11 【答案】（1）；（2）.【解析】解析：（1) 取边中点为,底面是边长为的正三角形，连接，是边的中点，所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图所示的坐标系（4分）ABCMOxyz则有 ，设，则， 若，则有， 可得 即当时，. （4分）（2) 当点在棱中点时：，设平面的一个法向量 令，得 ， （4分）设直线与平面所成角为，则所以
68、直线与平面所成角的正弦值为 （3分）【思路点拨】(1) 取边中点为,建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴坐标系, 设要使平面则只需满足即可；求得平面的法向量，直线与平面所成角为，由线面所成角公式可求得.【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】6设为两条不同的直线，为两个不同的平面下列命题中，正确的是（ ）。 A若与所成的角相等，则B若，则 C若，则 D若，则【知识点】空间中直线与平面的位置关系 G4 G5【答案】C【解析】解析：当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，故A不正确，当两个平面垂直时，一条直
69、线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，故B不正确，当一条直线与一个平面垂直，与另一个平面平行，则这两个平面之间的关系是垂直，故C正确，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，故D不正确故选择C.【思路点拨】当两条直线与一个平面所成的角相等时，这两条直线的关系不能确定，当两个平面垂直时，一条直线与一个平面垂直，则这条直线与另一个平面的关系都有可能，当两条直线分别和两个平面平行，这两条直线之间没有关系，得到结论【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图1，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点。
70、该四棱锥的正（主）侧图和侧（左）视图如图2所示。（I）证明：平面；（II）证明：平面平面。【知识点】线面平行 面面垂直G4 G5【答案】【解析】（I）略；（II）略 解析：（I）证明：取PC中点Q，连结EQ，FQ由正（主）视图可得E为PD的中点，所以EQCD,又因为AFCD,AF=CD, 所以AFEQ,AF=EQ,所以四边形AFEQ为平行四边形，所以AEFQ因为,所以 直线AE平面PFC;（II）证明：因为PA平面ABCD，所以PACD,因为面ABCD为正方形，所以ADCD,所以CD平面PAD，因为，所以CDAE,因为PA=AD，E为PD中点，所以AEPD,所以AE平面PCD因为AEFQ，所以
71、FQ平面PCD因为， 所以平面PFC平面PCD.【思路点拨】证明线面平行及面面垂直问题，通常结合其判定定理进行证明.【名校精品解析系列】数学文卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】6已知是平面，是直线，则下列命题正确的是（）A若则 B若则C若则 D若，则【知识点】平行关系与垂直关系G4 G5【答案】【解析】 B 解析：选项A，直线n还可能在平面内，所以错误；选项B，因为n,所以在一定存在直线an，而m,所以ma,得mn，所以B正确，因为只有一个正确选项，则答案只能为B.【思路点拨】判断空间线面位置关系时，可考虑反例法和直接推导相结合的方法进行解答.G6 三垂线定理G
72、7 棱柱与棱锥【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结
73、合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面,分别为上的动点，且 （）若，求证： （）求三棱锥体积最大值【知识点】线面平行的判定定理；三棱锥的体积.G4 G7【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（）分别取和中点、，连接、，则,所以,四边形为平行四边形,又4分（）在平面内作,因为侧棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分（或平面中，所以）因为,所以,10分12分的最大值为【思路点拨】（）分别取和中点、，连接、
74、，然后利用线面平行的判定定理即可；（）结合已知条件把体积转化成含的解析式，进而求出最大值即可。【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以B
75、MAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学（文）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.（本小题满分12分）正方形与梯形所在平面互相垂直，点M是EC中点。（1）求证：BM/平面ADEF；（2）求三棱锥的体积.【知识点】平行关系 棱锥的体积G4 G7【答案】【解析】（1）略；（
76、2） 解析：(1)证明：取DE中点N，连接MN，AN，在EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MNCD，且MN=CD由已知ABCD，AB=CD，所以MNAB，且MN=AB所以四边形ABMN为平行四边形，所以BMAN，又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM平面ADEF；（2）因为EC的中点，所以，因为,且DE与CD相交于D所以 因为,所以AB/平面CDE ，到面的距离,即为 .【思路点拨】证明线面平行通常结合线面平行的判定定理进行证明，求三棱锥体积时，若以所给底面求体积不方便时，可考虑换底面求体积.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应
77、性测试（201501）word版】13已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为。【知识点】三棱锥的内切球 G7【答案】【解析】解析：将棱长均为2的三棱锥放入棱长为的正方体，如图球与三棱锥各条棱都相切， 该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点，由此可得该球的直径为，半径，该球的表面积为故答案为.【思路点拨】将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面积【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟
78、考试（201501）】20已知在如图的多面体中，底面，,是的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面 （3）求此多面体的体积.【知识点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；几何体的体积.G4 G5G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3） 解析：（1）， 又,是的中点， 四边形是平行四边形， 平面，平面，平面 （2）连结，四边形是矩形，底面，平面，平面， ，四边形为菱形， 又平面，平面，平面 （5） ,作于，平面平面，平面，,平面,【思路点拨】（1）先结合已知条件证明出四边形是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可；（2）直接利用线面垂直的判定定理即可；（3）先对原几何体分解，
79、再分别求出体积相加即可。【名校精品解析系列】数学文卷2015届重庆一中高三12月月考（201412）word版】20（12分）如下图所示四棱锥E-ABCD中，四边形为正方形，平面，且，（）求证：平面；（）求四棱锥E-ABCD的体积【知识点】垂直关系 四棱锥的体积G5 G7【答案】【解析】（）略；（）183 解析：()证明：平面，平面， 在正方形中，平面,AB/CD，平面 （）解法1：在中，过点作于点，平面，平面， ，平面，又正方形的面积， 故所求体积为解法2：在中， 连接，则四棱锥E-ABCD分割为三棱锥和三棱锥 由（1）知，又AB/CD平面，平面，AB/平面CDE点到平面的距离为的长度 平面
80、，故所求体积为【思路点拨】本题由线面垂直的判定定理进行证明，求体积则可以通过直接求体积法和分割求体积法求得结果.G8 多面体与球G9空间向量及运算【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】18、(本题满分12分) 如图, 的外接圆的半径为, 所在的平面, , , 且,.（1）求证: 平面ADC平面BCDE.（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在,确定点M的位置, 若不存在, 请说明.【知识点】空间向量及运算G9【答案】（1）略（2）点M的坐标为【解析】（1）CD 平面ABC，BE/CD BE平面ABC，BEAB BE
81、=1, ， 从而 的半径为，AB是直径，ACBC 又CD 平面ABC，CDBC，故BC平面ACD平面BCDE，平面ADC平面BCDE （2）方法1：假设点M存在，过点M作MNCD于N，连结AN，作MFCB于F，连结AF平面ADC平面BCDE，MN平面ACD，MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x，计算易得，DN=，MF= 故 解得：（舍去） ，故，从而满足条件的点存在，且 方法2：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则， 再设，即，从而10分设直线
82、BM与平面ABD所成的角为，则： 解得， 其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为【思路点拨】根据线面垂直证明面面垂直，建立空间坐标系利用法向量求出M的坐标。【数学理卷2015届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考（201501）】18、(本题满分12分) 如图, 的外接圆的半径为, 所在的平面, , , 且,.（1）求证: 平面ADC平面BCDE.（2）试问线段DE上是否存在点M, 使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在,确定点M的位置, 若不存在, 请说明.【知识点】空间向量及运算G9【答案】（1）略（2）点M的坐标为【解析】（1）CD 平面ABC，BE/CD BE平面
83、ABC，BEAB BE=1, ， 从而 的半径为，AB是直径，ACBC 又CD 平面ABC，CDBC，故BC平面ACD平面BCDE，平面ADC平面BCDE （2）方法1：假设点M存在，过点M作MNCD于N，连结AN，作MFCB于F，连结AF平面ADC平面BCDE，MN平面ACD，MAN为MA与平面ACD所成的角 设MN=x，计算易得，DN=，MF= 故 解得：（舍去） ，故，从而满足条件的点存在，且 方法2：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz，则：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），则 易知平面ABC的法向量为，假设M点存在，设，则， 再设
84、，即，从而10分设直线BM与平面ABD所成的角为，则： 解得， 其中应舍去，而故满足条件的点M存在，且点M的坐标为【思路点拨】根据线面垂直证明面面垂直，建立空间坐标系利用法向量求出M的坐标。G10 空间向量解决线面位置关系G11 空间角与距离的求法【数学（理）卷2015届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测（201412）word版】10如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长.则当点运动时， 最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）【知识点】点、线、面间的距离计算 G11【答案】【解析】B解析：点到平面距离就是点到直线
85、的距离，所以点到点的距离等于点到直线的距离，因此点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在面中作于，连接，在中，而，要想最小，只要最小即可，由题意易求得，所以最小值为22，故选B.【思路点拨】注意到点到点的距离等于点到直线的距离，即点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，在中，而，要想最小，只要最小即可.【数学理卷2015届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）word版】17(本小题满分12分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求
86、甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲队得分为的分布列和数学期望。【知识点】对立事件 离散型随机变量以及分布列 K5 K6【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设用队获第一且丙队获第二为事件A，则（6分） （2）可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：甲两场只胜一场：甲两场皆胜：，的分布列为：036P（12分）【思路点拨】根据题意可得甲队获第一名且丙队获第二名的概率为可能的取值为0，3，6；即为甲两场皆输，甲两场只胜一场，甲两场皆胜三种情况分别求的概率即可.18（本题满分12分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点（1）求证：；（2）求
87、直线到平面的距离；（3）求二面角的正切值【知识点】点到面的距离 二面角 G11【答案】（1）略；（2）；（3）.【解析】 (1)证明:连结,则，又,平面,而,. (2)取中点为,连结则,. 过作直线于点,则平面,就是直线到平面的距离. 在矩形中,在中,直线到平面的距离. (3)过作于点,则平面, 过作于点,连结,则即为所求二面角的平面角, 在中,为中点, 在中,.所以二面角的正切值为.【思路点拨】(1)连结,证明平面,而,；（2）取中点为,连结则,. 过作直线于点,则平面,就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面, 过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得.【数学理卷2015届
88、四川省绵阳中学高三上学期第五次月考（201412）word版】17(本小题满分12分)在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； （2）设在该次比赛中，甲队得分为的分布列和数学期望。【知识点】对立事件 离散型随机变量以及分布列 K5 K6【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设用队获第一且丙队获第二为事件A，则（6分） （2）可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：甲两场只胜一场：甲两场皆胜：，的分布列为：036P
89、（12分）【思路点拨】根据题意可得甲队获第一名且丙队获第二名的概率为可能的取值为0，3，6；即为甲两场皆输，甲两场只胜一场，甲两场皆胜三种情况分别求的概率即可.18（本题满分12分）如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点（1）求证：；（2）求直线到平面的距离；（3）求二面角的正切值【知识点】点到面的距离 二面角 G11【答案】（1）略；（2）；（3）.【解析】 (1)证明:连结,则，又,平面,而,. (2)取中点为,连结则,. 过作直线于点,则平面,就是直线到平面的距离. 在矩形中,在中,直线到平面的距离. (3)过作于点,则平面, 过作于点,连结,则即为所
90、求二面角的平面角, 在中,为中点, 在中,.所以二面角的正切值为.【思路点拨】(1)连结,证明平面,而,；（2）取中点为,连结则,. 过作直线于点,则平面,就是直线到平面的距离；（3）过作于点,则平面, 过作于点,连结,则则即为所求二面角的平面角,即可求得.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联考（201501）】19已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，（）求证：平面平面；（）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：（） 因为PA平
91、面ABCD，所以PABD2分又ABCD为菱形，所以ACBD,所以BD平面PAC4分从而平面PBD平面PAC 6分（）方法1 过O作OHPM交PM于H，连HD因为DO平面PAC，可以推出DHPM,所以OHD为O-PM-D的平面角8分又，且10分从而11分所以，即 12分法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，则, 8分从而9分因为BD平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为10分 设平面PMD的法向量为,由得取，即 11分设与的夹角为，则二面角大小与相等从而，得从而，即 12分【思路点拨】（）根据线面垂直的判定，证明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD平面PAC;
92、（）过O作OHPM交PM于H，连HD，则OHD为APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值为，即可求a：b的值【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，
93、而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BB
94、BD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300
95、， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADA
96、A13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是
97、正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(
98、0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用
99、三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学（理）卷2015届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试（201501）】19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.（）证明：ACB1D；（）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.【知识点】垂直关系 线面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一(1)证明如图，因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D，而B1D平面BB1D，所以ACB1D. (2)解
100、因为B1C1AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图，连接A1D，因为棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90，所以A1B1平面ADD1A1，从而A1B1AD1.又ADAA13，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1，故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1.故ADB190，在直角梯形ABCD中，因为ACBD，所以BACADB.从而RtABCRtDAB，故，即AB.连接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB
101、1D中，cosADB1，即cos(90).从而sin .即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.方法二(1)证明易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0).因为ACBD，所以t2300，解得t或t(舍去).于是(，3，3)，(，1,0)，因为3300， 所以，即ACB1D.(2)解由(1)知，(0
102、,3,3)，(，1,0)，(0,1,0).设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即令x1，则n(1，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.【思路点拨】证明线线垂直，通常转化为线面垂直进行证明，求线面所成角通常利用定义作出所成角，再利用三角形求值，本题也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量进行解答.【名校精品解析系列】数学理卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】20（本小题满分15分）如图，在几何体中， 平面，平面，又，。 （1）求与平面所成角的正弦值； （2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。 （第20
103、题图）【知识点】空间平行、垂直，以及线面成角等知识 G4 G5 G11【答案】（1）；（2）.【解析】解析：过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系,又,则点到轴的距离为1,到轴的距离 为。则有,。 （4分） （1）设平面的法向量为， 则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为。 （5分） （2）设平面的法向量为， ， 则有，取，得。 ， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是. （5分）【思路点拨】过点作的垂线交于,以为原点,分别以为轴建立空间上角坐标系，求得点坐标，进而得到平面的法向量，利用线面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用
104、二面角公式求得.【名校精品解析系列】数学理卷2015届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试（三）（201412）word版】(20)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD中，ADDB，其中三棱锥P- BCD的三视图如图所示，且 (1)求证：AD PB(2)若PA与平面PCD所成角的正弦值为 ，求AD的长【知识点】几何体的三视图；垂直关系的判定；线面角的意义. G2 G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）6. 解析：由三视图可知又，又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD两两互相垂直，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系.设AD= ,结合sinBDC= 可得.所
105、以设为平面PCD 的法向量，由题意得即，令y=3,则x=4,z=0，得平面PCD的一个法向量. 设PA与平面PCD 所成角为，可得，解之得，即AD=6.【思路点拨】（1）由三视图得此几何体的结构特点，从而得AD平面PBD，进而得结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD
106、，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）word版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识
107、点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学理卷2015届四川省石室中学高三一诊模拟（201412）wo
108、rd版】19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【知识点】垂直关系 二面角的求法G5 G11【答案】【解析】 （I）略；（II） 解析：（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.【思路点拨】证明线面垂直，通常利用其判定定理进行证明，求二面角时可先找出其
109、平面角，再利用其所在的三角形求值.【名校精品解析系列】数学文卷2015届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性测试（201501）word版】21（本小题满分15分） 在直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且. （1）试在棱上确定一点，使平面； （2）当点在棱中点时，求直线与平面所成角的大小的正弦值。【知识点】线面垂直 线面角 G5 G11 【答案】（1）；（2）.【解析】解析：（1) 取边中点为,底面是边长为的正三角形，连接，是边的中点，所以可以建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图所示的坐标系（4分）ABCMOxyz则有 ，设，则， 若，则有， 可得 即当时，. （4分）
110、（2) 当点在棱中点时：，设平面的一个法向量 令，得 ， （4分）设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为 （3分）【思路点拨】(1) 取边中点为,建立以为坐标原点，为轴，为轴，为轴坐标系, 设要使平面则只需满足即可；求得平面的法向量，直线与平面所成角为，由线面所成角公式可求得.G12 单元综合【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD= （1）求证：平面PQB平面PAD
111、； （2）若二面角M-BQ-C为30，设=t，试确定t的值.【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（2）【解析】（1）（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 另证：AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 PA=PD， PQAD PQBQ=Q， AD平面PBQ PABCDQMNxyz AD平面PAD，平面PQB平面P
112、AD （）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；，设，则， ， 在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30， ， 【思路点拨】利用面面垂直的判定证出，根据空间向量求出法向量，根据余弦值求出t.【数学理卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】8如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的个数是 ( )(1) ACBE；(2) 若P为AA1上的一点,则P到平面BEF
113、的距离为；(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值；(4) 在空间与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条；(5) 过CC1的中点与直线AC1所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.A.0 B.1 C.2 D.3【知识点】单元综合G12【答案】A【解析】对于（1），AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE故（1）正确对于（2），AA1BB1，AA1平面BB1DD1，BB1平面BB1DD1，AA1平面BB1DD1，即AA1平面BEF，又正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，A1到平面BEF的距离为A1到B1D1的距离，若P为AA1上的一点，则P到平面BEF的距离
114、为，故（2）正确；对于（3）SBEF= 1=，设AC，BD交于点O，AO平面BB1D1D，AO=，VA-BEF=，故（3）正确；对于（4）在正方体中，AA1DD1，ADB1C1，则AC，AA1，AD相交于A点，故空间中与DD1，AC，B1C1都相交的直线有无数条故（4）正确；对于（5）由于过CC1的中点与直线AC1所成角为40的直线有2条并且这两条直线与平面BEF所成角为50，故（5）正确；【思路点拨】根据题意，依次分析：如图可知BE平面BB1D1D，ACBE，进而判断出（1）正确；根据AA1BB1，判断出AA1平面BB1DD1，即AA1平面BEF，计算出A1到平面BEF的距离，即可判断出（2
115、）项；设AC，BD交于点O，AO平面BB1D1D，可分别求得SBEF和AO，则三棱锥A-BEF的体积可得判断（3）项正确；再利用正方体中线线，线面的位置关系，即可判定（4）和（5）项正确【名校精品解析系列】数学文卷2015届湖北省部分高中高三元月调考（201501）】20（13分）如图，已知在三棱柱中,点在线段上，,四边形为正方形.（1）求证：； （2）请判断 是否平行于平面（不用证明）；（3）求三棱锥的体积.【知识点】单元综合G12【答案】（1）略（2）略（3）【解析】（1）中，即 中，而平面 （2）与平面不平行 （3）由已知易知平面， 【思路点拨】根据线面垂直证明线线垂直，再利用体积公式求出体积。
