1、南山中学2012级三诊模拟考试数学试题(文史类)第卷(主观题,共60分)注意事项:1.答第卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上.3.参考公式:如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式 如果事件A、相互独立,那么 其中R表示球的半径 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
2、1.设集合=( )A. B. C. D.2.直线的倾斜角为( )A. B. C. D.3.若等差数列an的前5项和S5=25,则a3=( )A.4 B.5 C.8D.104.若a、b为空间两条不同的直线,、为空间两个不同的平面,则直线a平面的一个充分不必要条件是( )A.a/且 B.a且 C.ab且b/ D.a且/5.为进一步推动“学雷锋”活动,弘扬中华民族传统美德,为共建“和谐社会”做出新的贡献.南山中学高三师生响应学校号召,准备在绵阳三诊后集中开展纪念学习雷锋四十七周年的活动.报名参加活动的学生和教师的人数之比为5:1,学校决定按分层抽样的方法从报名的师生中抽取60人组队进行活动.已知教师
3、甲被抽到的概率为,则报名的学生人数是( ) A.100 B.500 C.10 D.506.设第一象限内的点(x,y)满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最大值为 ( )A.0 B.3 C.4 D. 287.展开式的第四项为10,则y关于x的函数的反函数的图象大致形状为()8.定义在R上的函数f(x)与g(x),对任意x都有与成立.已知f(-2)=g(-2)=6,且,则g(0)=( )A.2 B.1 C.0 D.-19.有五名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲不排在乙的左边,又不与乙相邻,则不同的站法共有( )A.66种 B.60种 C.36种 D.24种10.点P在双曲线上,F1、F2是这条双
4、曲线的两个焦点,且F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率等于( )A.3 B.4 C.5 D.611.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱DD1、AB上的点.已知下列命题:AC1平面B1EF;三角形B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形;在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线; 平面B1EF与平面ABCD所成的二面角(锐角)的大小与点E的位置有关,与点F的位置无关.其中,正确命题的个数有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.已知函数的导函数为f(x),若a+b+c=0,f(0)f(1)0,设是方程f(x)=0的两个
5、根,则的取值范围为( )A. B. C. D.第卷(客观题,共90分)二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.函数的定义域是_.14.椭圆的中心在坐标原点,离心率等于,抛物线的准线l过它的一个焦点,则椭圆方程为_.15.将圆面绕直线y=1旋转一周所形成的几何体的体积与该几何体的内接正方体的体积的比值是_.16.若函数f(x)具有性质:,则称f(x)是满足“倒负”变换的函数.下列四个函数:(a0且a1); (a0且a1); .其中,满足“倒负”变换的所有函数的序号是_.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.(本小题满分12分)为备战2
6、012年伦敦奥运会,甲、乙两位射击选手进行了强化训练.现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次,记录如下:甲: 8.3 9.0 7.9 7.8 9.4 8.9 8.4 8.3 乙: 9.2 9.5 8.0 7.5 8.2 8.1 9.0 8.5.()现要从中选派一人参加奥运会封闭集训,从统计学角度,你认为派哪位选手参加合理? 简单说明理由;()若将频率视为概率,对两位选手在今后各自的二次比赛成绩进行预测,求这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率.18.(本小题满分12分)已知锐角ABC的三内角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c,两向量,满足.()求角B的大小;()求函数的
7、最大值以及此时角A的大小.19.(本小题满分12分)已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形,PA平面ABCD,ABC=60,E,F分别是BC,PC的中点.()求证:AEPD;()若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为,求二面角E-AF-C的余弦值. 20.(本小题满分12分)已知an是公差为d的等差数列,它的前n项和为Sn.等比数列bn的前n项和为Tn,且S4=2S2+4,.()求公差的值;()若对任意的N*,都有成立,求的取值范围;()若,判别方程是否有解？并说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数.()当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;()若方程f(x)
8、=0恰有三个不同的实根,求实数a的取值范围;()已知不等式对任意都成立,求实数x的取值范围.22.(本小题满分14分)一条直线经过抛物线y2=2x的焦点F,且交抛物线于A、B两点,点C为抛物线的准线上一点.()求证:ACB不可能是钝角;()是否存在这样的点C,使得ABC是正三角形?若存在,求出点C的坐标;否则,说明理由.南山中学2012级三诊模拟考试数学试题(文史类答案)一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.A.,故选择A.2.B.直线的斜率为,即倾斜角为,故选择B.3.B.由S5=25得,故选择B.4.D.显然,若a且/
9、,则有a,反之不成立,于是,“ a且/”是“a”成立的充分不必要条件,故选择D.5.B.令学生有5x人,则老师有x人,于是得老师要抽取10人,所以老师共有100人,学生有500人,故选择B.6.D.可行域是以(0,0)、(3,0)、(0,2)、(8,10)为顶点的四边形区域,当直线z=x+2y过点(8,10)时z取最大值28,故选择D.7.A.T4,所以-10xy10,y(x0),故选择A.8.A.由条件知f(x)是奇函数,g(x)是周期为4的函数.,于是原式变为,故选择A.9.C.除甲、乙之外的三人有种排法,按乙的不同位置分类,从左至右乙有三种插法,分别对应甲有3、2、1种插法,于是共有种,
10、故选择C.10.C.设|PF2|,|PF1|,|F1F2|成等差数列,且分别设为m-d,m,m+d,则由双曲线定义和勾股定理可知:m-(m-d)=2a,m+d=2c,(m-d)2+m2=(m+d)2,解得m=4d=8a,故选择C.11.B.显然正确,故选择B.12.B.由题意得:,是方程的两个根,.又a+b+c=0,代入上式,.又,两边同除以得:,所以,故选择B.二.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)13.由得,于是x3,即定义域是.14.抛物线的准线是x=1,于是椭圆的c=1,又,故其方程为.15.显然直线y=1经过圆心(-1,1),于是所得几何体是半径为的球体,其体积为.设球内
11、接正方体的的边长为a,则,正方体的体积为8,于是所求比值为.16.于,所以是“倒负”变换的函数.对于,所以不是“倒负”变换的函数.对于函数,所以是“倒负”变换的函数.对于,当0x1,f(x)x,;当x1时,01,f(x),;当x1时,1,f(x)0,是满足“倒负”变换的函数.综上:是符合要求的函数.三.解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明证明过程或推演步骤.)17.()可计算处3.故选择甲去.3()甲的成绩不低于8.5分的概率为,乙的成绩不低于8.5分的概率为.于是所求概率等于.所以,这四次成绩中恰有两次不低于8.5分的概率为.618.()由得,即,即.6().3因为所以当时,
12、即时,函数的最大值为2.319.()由四边形ABCD为菱形,ABC=60,可得ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AEBC.又BC/AD,因此AEAD.因为PA平面ABCD,AE平面ABCD,所以PAAE.而PA平面PAD,AD平面PAD,且PAAD=A,所以AE平面PAD,又PD平面PAD.所以 AEPD.4()由()知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=2,AP=a,则A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,a),E(,0,0),F().所以=(,-1,-a),且=(,0,0)为平面PAD的
13、法向量,设直线PB与平面PAD所成的角为,由sin=|cos,|=,解得a=2.4所以(,0,0),(,1).设平面AEF的一法向量为=(x1,y1,z1),则,因此,取z1=-1,则=(0,2,-1).因为BDAC,BDPA,PAAC=A,所以BD平面AFC,故为平面AFC的一法向量.又=(-,3,0),所以cos,=.因为二面角E-AF-C为锐角,故所求二面角的余弦值为.420.(),解得.3()由于等差数列an的公差,必须有,.求得,的取值范围是.4()由于等比数列bn满足, ,.,2则方程转化为:.令:,知单调递增,当时,当时,所以方程无解. 321.()a=1时,所以切线方程为,即.
14、3(),令得x=-a或x=2a.于是得x2a,得-ax2a.所以x=-a时,f(x)取得极大值;x=2a时,f(x)取得极小值.2要使方程f(x)=0恰有三个不同的实根,则函数y=f(x)的极大值大于零,极小值小于零,所以,解之得.2()要使对任意都成立,即.,于是对任意都成立,则x大于的最大值.,当,即时取等号.故.522.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(),直线AB的方程为.由得,则.于是.3()于是,所以ACB不可能是钝角.2()假设存在这样的点C,使得ABC是正三角形.()得AB的中点坐标M().若直线AB的斜率不存在,这时t=0,A(),B(),点C的坐标只可能是().由得,这是不可能的,于是AB的斜率必存在.3由知,即,得,从而C().,.由得,解之得.此时点C().故存在点C(),使得ABC是正三角形.6