1、真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华第2讲 不等式问题 高考定位 1.利用不等式性质比较大小，不等式的求解，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.但在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华真 题 感 悟 1.(2016全国卷)若ab1，0c1，则()A.acbcB.abcbac C.alogbcblogacD.logaclogbc 解析 取 a4，b2，c12，逐一验证 C 正确.答案 C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华2
2、.(2016北京卷)若 x，y 满足2xy0，xy3，x0，则 2xy 的最大值为()A.0B.3C.4D.5 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令 z2xy，则 y2xz，作直线 2xy0 并平移，当直线过点 A时，截距最大，即 z 取得最大值，由2xy0，xy3，得x1，y2，真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华所以A点坐标为(1，2)，可得2xy的最大值为2124.答案 C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.(2015陕西卷)设 f(x)ln x，0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrp
3、B.qrp C.prqD.prq 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华答案 C 解析 0ab，ab2 ab，又f(x)ln x 在(0，)上为增函数，故 fab2f(ab)，即 qp.又 r12(f(a)f(b)12(ln aln b)ln(ab)12f(ab)p.故 prq.选 C.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华4.(2016江苏卷)已知实数 x，y 满足x2y40，2xy20，3xy30，则 x2y2 的取值范围是_.解析 已知不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，则(x，y)为阴影部分内的动点,x2y2表示原点到可行域内的点的距离的平方.真题感悟考点整
4、合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解方程组3xy30，x2y40，得 A(2，3).由图可知(x2y2)min|2|2212 245，(x2y2)max|OA|2223213.答案 45，13真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华考 点 整 合 1.简单分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)；(2)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.2.(1)解含有参数的一元二次不等式，要注意对参数的取值进行讨论：对二次项系数与0的大小进行讨论；在转化为标准形式的一元二次不等式后，对判别式与0的大小进行讨论；当判别式大于0，但两根的大小不确
5、定时，对两根的大小进行讨论；讨论根与定义域的关系.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)四个常用结论ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0.af(x)恒成立af(x)max.af(x)恒成立af(x)min.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.利用基本不等式求最值 已知 x，yR，则(1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最大值S24 xyxy22S24；(2)若 xyP(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最小值 2 P(xy2 xy2 P).4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
6、(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：画出可行域；根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；求出目标函数的最大值或者最小值.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华5.不等式的证明 不等式的证明要注意和不等式的性质结合起来，常用的方法有：比较法、作差法、作商法(要注意讨论分母)、分析法、综合法、数学归纳法、反证法，还要结合放缩和换元的技巧.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点一 利用基本不等式求最值 微题型1 基本不等式的简单应用【例 11】(1)(2016山东师大附中模拟)设正实
7、数 x，y，z 满足 x23xy4y2z0，则当xyz 取得最大值时，2x1y2z的最大值为()A.0 B.1 C.94D.3真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)已知正项等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项 am，an使得 aman4a1，则1m4n的最小值为_.解析(1)由已知得 zx23xy4y2，(*)则xyz xyx23xy4y21xy4yx 31，当且仅当 x2y 时取等号，把 x2y 代入(*)式，得 z2y2，所以2x1y2z1y1y1y21y1 211.所以当 y1 时，2x1y2z的最大值为 1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)
8、设等比数列an的公比为 q，a7a62a5，a5q2a5q2a5，q2q20，解得 q2 或 q1(舍去).aman a12m1a12n14a1，平方得 2mn21624，mn6，1m4n 161m4n(mn)165nm4mn 16(54)32，当且仅当nm4mn，即 n2m，亦即 m2，n4 时取等号.答案(1)B(2)32真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 带有约束条件的基本不等式问
9、题【例12】(1)已知两个正数x，y满足x4y5xy，则xy取最小值时，x，y的值分别为()A.5，5 B.10，52C.10，5 D.10，10(2)(2016临沂模拟)设x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)x0，y0，x4y5xy2 4xy5，即 xy4 xy50，可求 xy25.当且仅当 x4y 时取等号，即 x10，y52.(2)4x2y2xy1，(2xy)23xy1，即(2xy)2322xy1，(2xy)2322xy221，解之得(2xy)285，即 2xy2 105.等号当且仅当 2xy0，即 x 101
10、0，y 105 时成立.答案(1)B(2)2 105真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，或对约束条件中的一部分利用基本不等式，构造不等式进行求解.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 1】(1)已知向量 a(3，2)，b(x，y1)，且 ab，若 x，y 均为正数，则3x2y的最小值是()A.53B.83C.8 D.24(2)若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，则1a1b的最小值是_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)ab，3(
11、y1)2x0，即 2x3y3.x0，y0，3x2y3x2y 13(2x3y)13669yx 4xy 13(1226)8.当且仅当 3y2x 时取等号.(2)易知圆 x2y22x4y10 的半径为 2，圆心为(1，2)，因为直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y22x4y10 截得的弦长为 4，所以直线 2axby20(a0，b0)过圆心，把圆心坐标代入得 ab1，所以1a1b1a1b(ab)2baab4，当且仅当baab，ab1，即 ab12时等号成立.答案(1)C(2)4 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点二 含参不等式恒成立问题 微题型1 分离参数法解决恒成立问题
12、【例 21】(1)关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围为_.(2)已知x0，y0，xy3xy，且不等式(xy)2a(xy)10恒成立，则实数a的取值范围是_.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析(1)设 f(x)x4x，因为 x0，所以 f(x)x4x2x4x4.又关于 x 的不等式 x4x1a22a0 对 x(0，)恒成立，所以 a22a14，解得1a3，所以实数 a 的取值范围为(1，3).(2)要使(xy)2a(xy)10 恒成立，则有(xy)21a(xy)，即 a(xy)1xy恒成立.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总
13、结思维升华由 xy3xy，得 xy3xyxy22，即(xy)24(xy)120，解得 xy6 或 xy2(舍去).设 txy，则 t6，(xy)1xyt1t.设 f(t)t1t，则在 t6时，f(t)单调递增，所以 f(t)t1t的最小值为 616376，所以a376，即实数 a 的取值范围是，376.答案(1)(1，3)(2)，376真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围化归为求函数的最值问题，af(x)恒成立af(x)max；af(x)恒成立af(x)min.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题
14、型2 函数法解决恒成立问题【例22】(1)已知f(x)x22ax2，当x1，)时，f(x)a恒成立，则a的取值范围为_.(2)已知二次函数f(x)ax2x1对x0，2恒有f(x)0.则实数a的取值范围为_.解析(1)法一 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa，当a(，1)时，结合图象知，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得3a1；真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华当 a1，)时，f(x)minf(a)2a2，由 2a2a，解得2a1.1a1.综上所述，所求 a 的取值范围为3，1.
15、法二 设 g(x)f(x)a，则 g(x)x22ax2a0在1，)上恒成立，即 4a24(2a)0 或0，a1，g（1）0，解得3，1.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)法一 函数法.若 a0，则对称轴 x 12a0，故 f(x)在0，2上为增函数，且 f(0)1，因此在 x0，2上恒有 f(x)0 成立.若 a0，则应有 f(2)0，即 4a30，a34.34a0.综上所述，a 的取值范围是34，0(0，).法二 分离参数法.当 x0 时，f(x)10 成立.当 x0 时，ax2x10 变为 a1x21x，令 g(x)1x21x1x12.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归
16、纳总结思维升华当1x12时，g(x)，34.a1x21x，a34.又a0，a 的取值范围是34，0(0，).答案(1)3，1(2)34，0(0，)真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 参数不易分离的恒成立问题，特别是与二次函数有关的恒成立问题的求解，常用的方法是借助函数图象根的分布，转化为求函数在区间上的最值或值域问题.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练2】(1)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.(2)已知不等式 2x115|a2a|对于 x2，6恒成立，则 a 的取值范围是_.解析(1)因为 a2，2，可把原式看作关于 a
17、 的一次函数，即 g(a)xax210，由题意可知g（2）x22x10，g（2）x22x10，解之得 xR.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)设 y 2x1，y2（x1）2，故 y 2x1在 x2，6上单调递减，即 ymin 26125，故不等式 2x115|a2a|对于 x2，6恒成立等价于 15|a2a|25恒成立，化简得a2a20，a2a20，解得1a2，故 a 的取值范围是1，2.答案(1)R(2)1，2 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华热点三 简单的线性规划问题 微题型1 已知线性约束条件，求目标函数最值【例31】(2016全国卷)某高科技企业生产
18、产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华解析 设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，x0，xN*，y0
19、，yN*目标函数 z2 100 x900y.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华作出可行域为图中阴影部分(包括边界)内的整数点，顶点为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax2 10060900100216 000(元).答案 216 000 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点
20、或边界上取得.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华微题型2 线性规划中的含参问题【例 32】(1)(2016陕西八校二模)已知 a0，x，y 满足约束条件x1，xy3，ya（x3），若 z2xy 的最小值为 1，则 a()A.14B.12C.1 D.2真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华A.3B.2 C.2D.3(2)(2016济南十校二模)已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0，若 zaxy 的最大值为 4，则 a()解析(1)由约束条件画出可行域(如图所示的ABC 及其内部)，由x1，ya（x3），得 A(1，2a)，当直线 2xyz0 过点 A 时，z2x
21、y 取得最小值，所以 1212a，解得 a12.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知 A(2，0)，由xy0，xy2，得 B(1，1).由 zaxy，得 yaxz.当 a2 或3 时，zaxy 在 O(0，0)处取得最大值，最大值为 zmax0，不满足题意，排除 C，D；当 a2 或 3 时，zaxy 在 A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选 B.答案(1)B(2)B 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华探究提高 对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，
22、解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华【训练 3】(1)(2016浙江卷)在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域x20，xy0，x3y40中的点在直线 xy20 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|()A.2 2B.4C.3 2D.6真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)已知 x，y 满足yx，yx
23、2，xa，且目标函数 z2xy 的最小值为1，则实数 a 的值是()A.34B.12C.13D.14解析(1)已知不等式组表示的平面区域如图中PMQ所示.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华因为直线 xy20 与直线 xy0 平行.所以区域内的点在直线 xy2 上的投影构成线段 AB，则|AB|PQ|.由x3y40，xy0，解得 P(1，1)，由x2，xy0 解得 Q(2，2).|AB|PQ|（12）2（12）23 2.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华(2)依题意，不等式组所表示的可行域如图所示(阴影部分)，观察图象可知，当目标函数 z2xy 过点 B(a，a)时，
24、zmin2aa3a；因为目标函数 z2xy 的最小值为 1，所以 3a1，解得 a13，故选 C.答案(1)C(2)C 真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华1.多次使用基本不等式的注意事项 当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.真题感悟考点整合热点聚焦题型突破归纳总结思维升华3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.
