1、三角函数的图象与性质近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.知识点1、两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos cos sin sin (C()sin()sin cos cos sin (S()sin()sin cos cos sin (S()tan()(T()tan()(T()知识点2、二倍角
2、公式sin 22sin cos ；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2.知识点3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如T可变形为tan tan tan()(1tan tan )，tan tan 11.知识点4、函数f(x)asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()(其中tan )或f() cos()(其中tan ).知识点3、 正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxR，且x值域1,11,1R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2k，2k(kZ)上是递增
3、函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在2k，2k(kZ)上是递增函数，在2k，2k(kZ)上是递减函数在k，k(kZ)上是递增函数周期性周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是2k(kZ且k0)，最小正周期是2周期是k(kZ且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kZ)，对称中心是(k，0)(kZ)对称轴是xk(kZ)，对称中心是k，0(kZ)对称中心是(kZ)知识点4函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x2xyAsin(x)0A0A0知识点5由函数ysin x
4、的图象通过变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有：化为特殊角的三角函数值；化为正、负相消的项，消去求值；化分子、分母出现公约数进行约分求值.（3）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好.判定三角形形状的2种常用途径（4）判定三角形形状的3个注意点(1)“角化边
5、”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；(2)“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；（5）与三角形面积有关问题的解题模型1、设函数在，的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为A BCD【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得.所以函数最小正周期为故选C2、下图是函数y= sin(x+)的部分图像，则sin(x+)= A B C D【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC3、设函数=sin（）(0)，已知在有且仅有5个
6、零点，下述四个结论：在（）有且仅有3个极大值点在（）有且仅有2个极小值点在（）单调递增的取值范围是)其中所有正确结论的编号是ABCD【答案】D【解析】若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故正确；由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故错误；当=sin（）=0时，=k（kZ），所以，因为在上有5个零点，所以当k=5时，当k=6时，解得，故正确.函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，综上可得，在单调递增.故正确.所以结论正确的有.故本题正确答案为D.4、函数f(x)=在的图像大致为ABCD【答案】D【解析】由
7、，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A又，排除B，C，故选D5、下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A图1图2图36、已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为若的最小正周期为，且，则ABCD【答案】C
8、【解析】为奇函数，；又，又，故选C.7、【2020年高考全国III卷理数】关于函数f（x）=有如下四个命题：f（x）的图像关于y轴对称f（x）的图像关于原点对称f（x）的图像关于直线x=对称f（x）的最小值为2其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】对于命题，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题错误；对于命题，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以，函数的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题正确；对于命题，当时，则，命题错误.故答案为：.8、关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（，）单调递增f(x)在有4个零点f(x)的最大值为2其
9、中所有正确结论的编号是A BCD【答案】C【解析】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述，正确，故选C9、2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是A B C D 【答案】A【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆
10、周角为，每条边长为，所以，单位圆的内接正边形的周长为，单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，则.故选：A10、已知，且，则ABCD【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A11、若为第四象限角，则Acos20Bcos20Dsin20【答案】D【解析】方法一：由为第四象限角，可得，所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以，故选：D方法二：当时，选项B错误；当时，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选：D12、已知2tantan(+)=7，则tan=A2B1C1D2【答案】D【解析】，令，则，整理得，解得，即.故选：D13、已知(0，)，2s
11、in2=cos2+1，则sin=A B C D【答案】B【解析】，又，又，故选B14、若，则ABCD【答案】B【解析】.故选B.15、已知=，则的值是 【答案】【解析】故答案为：16、若函数的最大值为2，则常数的一个取值为_【答案】（均可）【解析】因为，所以，解得，故可取.故答案为：（均可）.17、已知，则_，_【答案】；【解析】，故答案为：18、将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是 【答案】【解析】当时.故答案为：19、已知，则的值是 .【答案】【解析】由，得，解得，或.，当时，上式当时，上式=综上，20、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面
12、如图所示O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BCDG，垂足为C，tanODC=，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2【答案】【解析】设，由题意，所以，因为,所以，因为，所以，因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；在直角中，因为，所以，解得；等腰直角的面积为；扇形的面积，所以阴影部分的面积为.故答案为：.一、 单选题1、 （ ）ABCD【答案】B【解析】因为.故选：B.2、（ ）ABCD【答案】C【解析】故选：C3、已知，
13、则（ ）ABCD【答案】A【解析】， ， .故选：A4、已知，与是方程的两个根，则（ ）ABCD或【答案】C【解析】 与是方程的两个根，+，又.故选: C5、已知为锐角，且满足如，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】，故，故，因为为锐角，故，故，故选：B.6、在探索系数，对函数图象的影响时，我们发现，系数对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”.运用上述四种变换，若函
14、数的图象经过四步变换得到函数的图象，且已知其中有一步是向右平移个单位，则变换的方法共有（ ）A种B种C种D种【答案】B【解析】根据题意，该图象变换的过程有振幅变换、周期变换、左右平移变换和上下平移变换共四步，因为左右平移变换是向右平移个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，所以变换的方法共有种，故选：B.7、已知，则的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由题得所以因为，所以因为，所以.故选：D8、将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（ ）A1B-1CD【答案】D【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标
15、变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，故选：D.二、 多选题9、设函数，则下列结论正确的是（ ）A是的一个周期B的图像可由的图像向右平移得到C的一个零点为D的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD10、已知函数，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ）A的一个周期是B的值域是C的图象关于点对称D在区间上单调递减【答案】AD【解析】A：因为，所以是函数的周期，故本选项说法正确；B：因为，所以，故本选项说法不正确；C：因为，所以的图象不关于点对称，故本选项说法不正确；D：因为，所
16、以函数是单调递减函数，因此有，而，所以在区间上单调递减，故本选项说法正确.故选：AD11、如图，已知函数的图象与轴交于点A，B，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（ ）AB的最小正周期为4C一个单调增区间为D图象的一个对称中心为【答案】BCD【解析】由，设，则，选项A中，点A处，则，即，解得，A错误；选项B中，依题意，得，故，最小正周期，B正确；选项C中，由，得，结合最高点，知，即，当时，故是的一个单调增区间，C正确；选项D中，时，故是图象的一个对称中心，D正确.故选：BCD.12、关于函数有下述四个结论正确的有（ ）A的最小正周期为B在上单调递增C在上有四个零点D的值域为【答案】AC【
17、解析】对A，故的周期为，又，故的最小正周期为，故A正确；对B， ，故在上不单调递增，故B错误；对C，令，则，即，即，或，所以在上有四个零点，故C正确；对D，的周期为，故只需考查，当时，由可得，当时，由可得，的值域为，故D错误.故选：AC.13、已知函数（其中）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，下列结论正确的是（ ）AB将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象C当时，有且只有一个零点D在上单调递增【答案】ACD【解析】由题意，函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，可得，因为，则，解得，即，解得，因为，所以，即函数的解析式，所以A正确；对于B中，函数的图象向右平移个单位，得到的图象，所以B不
18、正确；对于C中，由，所以，当时，函数，所以C正确；对于D中，当时，根据正弦函数的性质，可得函数在该区间上单调递增，所以D正确.故选：ACD.三填空题14、如图所示，角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第四象限的点，则_【答案】【解析】由题意，又是第四象限角，故答案为：15、已知，则的值为_【答案】【解析】原式,又，原式，故答案为：.16、计算_【答案】【解析】由二倍角公式和诱导公式可得答案.【详解】.故答案为：.17、在平面直角坐标系xOy中，角的顶点是O，始边是x轴的非负半轴，点是终边上一点，则的值是_.【答案】【解析】因为，即点在第一象限，所以，又，故答案为：18、已知，则_.
19、【答案】【解析】因为，所以且，所以；又，所以.故答案为：.19、被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则_【答案】【解析】：把代入故答案为：20、已知函数，当时，把函数的所有零点依次记为，且，记数列的前项和为，则_.【答案】【解析】由得对称轴为，周期为， 根据正弦函数图像性质，得，.故答案为：21、已知函数的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为_.【答案】【解析】由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，此时，.因为函数的图象关于直线对称，则，则.，因此，函数在区间上的最小值为.故答案为：.