1、考点66 变量间的相关关系、统计案例1已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如下表所示：012342.24.34.54.86.7若满足回归方程，则以下为真命题的是（ ）A 每增加1个单位长度，则一定增加1.5个单位长度B 每增加1个单位长度，就减少1.5个单位长度C 所有样本点的中心为D 当时，的预测值为13.5【答案】D 2某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）2356销售利润（万元）57911由表中数据，得线性回归方程：，则下列结论错误的是（ ）A B C 直线过点 D 直线过点【答案】D 3某汽车销售公司统计了某款汽车行驶
2、里程 (万公里)与维修保养费用 (万元)的五组数据，并根据这五组数据求得与的线性回归方程为.由于工作人员疏忽，行驶8万公里的数据被污损了，如下表所示.行驶里程 (单位:万公里)12458维修保养费用 (单位:万元)0.500.902.32.7则被污损的数据为（ ）A 3.20 B 3.6 C 3.76 D 3.84【答案】B【解析】设被污损的数据为，由已知有 4某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为A 15名志愿者身高的极差小
3、于臂展的极差B 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D【解析】A，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确.故答案为：D. 5一商场对每天进店人数和商品销售件数进
4、行了统计对比，得到如下表格：（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图，并由散点图判断销售件数与进店人数是否线性相关？（给出判断即可，不必说明理由）（2）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测进店人数为80时，商品销售的件数（结果保留整数）.参考数据：，.参考公式：回归方程，其中，.【答案】（1）见解析； （2）58件. 所以回归方程，当时，（件）所以预测进店人数为80时，商品销售的件数为58件. 6某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先
5、用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式: ，）参考数据：1125+1329+1226+816=1092，112+132+122+82=498.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由数据求得 7对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型，拟合，得到回归方程分别为，作残差分析，如表：身高60708090100110体重681014
6、15180.410.011.210.410.070.121.69（）求表中内实数的值；（）根据残差比较模型，的拟合效果，决定选择哪个模型；（）残差大于的样本点被认为是异常数据，应剔除，求剔除后对（）所选择的模型重新建立的线性回归方程，并检验一数据点身高，体重是否为异常数据.（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.【答案】（） （）不是异常数据 8为了探究车流量与的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与的数据如表：时间星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日车流量（万辆）1234567的浓度（
7、微克/立方米）28303541495662（1）求关于的线性回归方程；（提示数据： ）（2）（I）利用（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时的浓度；（II）规定：当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为优；当一天内的浓度平均值在内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：回归直线的方程是，其中， .【答案】(1) ;(2)() 91微克/立方米;() 13万辆. 9某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”“区分度”和“综合”三个指标，其中，难度系数，区分度，综合指标以下是高三年级 6
8、 次考试的统计数据：i123456难度系数 xi0.660.720.730.770.780.84区分度 yi0.190.240.230.230.210.16(I) 计算相关系数，若，则认为与的相关性强；通过计算相关系数 ，能否认为与的相关性很强(结果保留两位小数)?(II) 根据经验，当时，区分度与难度系数的相关性较强，从以上数据中剔除(0.7,0.8)以外的 值，即(i) 写出剩下 4 组数据的线性回归方程(保留两位小数)；(ii) 假设当时， 与的关系依从(i)中的回归方程，当 为何值时，综合指标的值最大？参考数据： 参考公式： 相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式为 【答案】
9、（1）不能认为（2），故所求线性回归方程为：(ii) ，故当时，取最大值10假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0已知， . ， (1)求， ；(2)若 与具有线性相关关系，求出线性回归方程；(3)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？【答案】（1）4,5（2）=1.23x+0.08（3）12.38万元 11某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸x（mm）之间近似满足关系式（b、c为大于0的常数）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品现随机抽取6件合格产品，测得数
10、据如下：尺寸x（mm）384858687888质量y (g)16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比0.4420.3920.3570.3290.3080.290（）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；（）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：75.324.618.3101.4（）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；（）已知优等品的收益（单位：千元）与的关系为，则当优等品的尺寸x为何值时，收益的预报值最大？（精确到0.1）附：对于样本 ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.【答案】（1）见解析（2）
11、，x=72.3【解析】（1）解：由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间内，即 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，3件为非优等品 令， 当时，取最大值 - 即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大.12中石化集团获得了某地深海油田块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料进入全面勘探时期后，集团按网络点米布置井位进行全面勘探由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号123456坐标（x，y）（km）（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）（1，
12、y）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（）16号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）与（I）中b，a的值差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井6（1，y），否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果：，）（）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X的分布列与数学期望【答案】（）24（）6（1，24）（）13参与舒城中学数学选修
13、课的同学对某公司的一种产品销量与价格进行了统计,得到如下数据和散点图.定价x(元/千克)102030405060年销量y(千克)115064342426216586z=2 ln y14.112.912.111.110.28.9参考数据:，.(1)根据散点图判断y与x,z与x哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?(2)根据(1)的判断结果及数据,建立y关于x的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字).(3)当定价为150元/千克时,试估计年销量.附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(xn,yn),其回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为【答
14、案】(1) z与x具有较强的线性相关性(2)（3）估计年销量为=1千克 14随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中
15、将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.【答案】(1)见解析;(2);一个月内购买该流量包的人数会超过20万人. 152017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”：高铁、支付宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元，商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.（1）求获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元的概率；（2）
16、统计一周内每天使用支付宝付款的人数与商家每天的净利润元，得到7组数据，如表所示，并作出了散点图.（i）直接根据散点图判断，与 哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.（的值取整数）（ii）根据（i）的判断，建立关于的回归方程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35时，商家当天的净利润.参考数据：22.86194.29268.863484.29附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.【答案】（）;（）（）见解析; （）见解析. 16下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中表示产量（单位：吨），表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）.（1）试在给出的坐标系下作出散点图
17、，根据散点图判断，在与中，哪一个方程更适合作为变量关于的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由）（2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量关于的回归方程.并估计生产吨产品需要准备多少吨煤.参考公式：.【答案】（1）见解析；（2）吨【解析】散点图 17新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2017.122018.012018
18、.022018.032018.04月份编号t12345销量（万辆）0.50.611.41.7（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份
19、频数表：补贴金额预期值区间（万元）206060302010将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：回归方程，其中，.【答案】（1）约为2万辆；（2）见解析 ， 0123所以18伴随着智能手机的深入普及，支付形式日渐多样化，打破了传统支付的局限性和壁垒，有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系，某调研机构随机抽取了50人，对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计，如下表：（1）若以“年龄55岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是
20、否有的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关；（2）若从年龄在，内的被调查人中各随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中“使用手机支付”的人数为.求随机变量的分布列；求随机变量的数学期望.参考数据如下：0.050.0100.0013.8416.63510.828参考格式：，其中【答案】(1)见解析;(2)见解析.见解析.【解析】（1）列联表如下： .19第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：(1)若讲每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工
21、定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全列联表：并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：.【答案】（1）见解析；（2）见解析且 ， ， ，所以的分布列为 .202015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元距离陆丰市222千米的梅州也受
22、到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，五组，并作出如图频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，的值，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？经
23、济损失不超过4000元经济损失超过4000元合计捐款超过500元捐款不超过500元合计0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：临界值表参考公式：，【答案】（1）（2）（3）有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关因此的可能值为0,1,2，的分布列为：012 21某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败(I) 求图中a的值；(II) 根据已知条件完成下面22列联表，
24、并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？(III) 将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取3人进行约谈，记这3人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X) 晋级成功晋级失败合计男16女50合计参考公式：，其中 【答案】 ； 有超过的把握认为“晋级成功”与性别有关； X的分布列为X0123数学期望， 【解析】由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，解得； 由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，所以晋级成功的人数为人，填表如下：晋级成功晋级失败合计 22随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成
25、了严重的影响现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：室外工作室内工作合计有呼吸系统疾病150无呼吸系统疾病100合计200（）补全列联表；（）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机的抽取两人，求两人都有呼吸系统疾病的概率参考公式与临界值表：K2P(K2k0)01000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)见解析；（2）有（3）2/5（3）采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名进行座谈，有呼吸系
26、统疾病的抽4人，记为A、B、C、D，无呼吸系统疾病的抽2 人，记为E、F，从中抽两人，共有15种抽法，A=“从中随机的抽取两人，两人都有呼吸系统疾病”有种，P(A)=.23某市为迎接“国家义务教育均衡发展综合评估”，市教育行政部门在全市范围内随机抽取了所学校，并组织专家对两个必检指标进行考核评分. 其中、分别表示“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”两项指标，根据评分将每项指标划分为A(优秀)、B(良好)、C(及格)三个等级，调查结果如右表所示. 例如：表中“学校的基础设施建设”指标为B等级的共有20+21+2=43所学校. 已知两项指标均为B等级的概率为0.21.（1）在该样本中，若“学
27、校的基础设施建设”优秀率是0.4，请填写下面22列联表，并根据列联表判断是否有90的把 握认为“学校的基础设施建设”和“学校的师资力量”有关;师资力量(优秀)师资力量（非优秀）基础设施建设（优秀）基础设施建设（非优秀）（2）在该样本的“学校的师资力量”为C等级的学校中，若，记随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 24某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学如果以身高达到165厘米作为达
28、标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：身高达标身高不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计100（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）参考公式： ，参考数据：P（K2k）0.250.150.100.050.0250.0100.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）见解析；（2）见解析 25甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下列联表：班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲队8040120乙队240200240合计320240560（1）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；（2）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为，求的分布列与数学期望附：参考数据： ，其中.【答案】（1）能；（2）.X0123PEX=0+1+2+3=.