1、广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，总50分）1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|1x2Dx|0x22（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的函数为（）Ay=x1By=log2xCy=|x|Dy=x23（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）ABCD4（5分）设f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=x2+x，则f（1）=（）A2B0C2D15（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A72B48C36D126（5分）已知函数f（x）=x+1（x0），则f（x）的（）A最
2、小值为3B最大值为3C最小值为1D最大值为17（5分）函数f（x）=Asin（x+）（其中0，|）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度8（5分）如图，在ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）ABCD9（5分）已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C0，2D1，210（5分）设函数f（x）=x34x+a（0a2）有三个零点x1、x2、x3，且x1x2x3，则下列结论正确的是（）Ax11Bx20
3、C0x21Dx32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）已知a（，0），且sin（+a）=，则tana=12（5分）直线y=x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=13（5分）设函数，若f（x0）1，则x0的取值范围是14（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示设向量=，若，则实数=三、解答题（共80分）15（12分）已知函数的周期是（1）求和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合16（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为（1）请完成列联表；组别达标 不达标 总计 甲班8
4、乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率17（14分）已知=（sinB，1cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是ABC的内角（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围18（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3（1）求证：AB1平面BC1D；（2）求四棱锥BAA1C1D的体积19（14分）已知函数f（x）=x+alnx（）当a=1时，求曲线y
5、=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）在（）的条件下，求f（x）的极值；（）讨论f（x）的单调区间20（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x+a（1）当a=2时，求函数y=g（x）在0，3上的值域；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）证明：对一切x（0，+），都有xlnx成立广东省汕头市潮师高中2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，总50分）1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|1x2Dx|0x2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出B中不等式的解集确定出B，
6、找出A与B的交集即可解答：解：由B中的不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即B=x|0x2，A=x|x1，AB=x|1x2故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递增的函数为（）Ay=x1By=log2xCy=|x|Dy=x2考点：奇偶性与单调性的综合 专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据y=x1=在区间（0，+）上单调递减，得A项不符合题意；根据y=log2x的定义域不关于原点对称，得y=log2x不是偶函数，得B项不符合题意；根据y=x2的图象是开口向下且关于x=0对称的抛物线，得y=x2的在区
7、间（0，+）上为减函数，得D项不符合题意再根据函数单调性与奇偶性的定义，可得出只有C项符合题意解答：解：对于A，因为函数y=x1=，在区间（0，+）上是减函数不满足在区间（0，+）上单调递增，故A不符合题意；对于B，函数y=log2x的定义域为（0，+），不关于原点对称故函数y=log2x是非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，因为函数y=|x|的定义域为R，且满足f（x）=f（x），所以函数y=|x|是偶函数，而且当x（0，+）时y=|x|=x，是单调递增的函数，故C符合题意；对于D，因为函数y=x2的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=0对称所以函数y=x2的在区间（0，+）上为减函数，故
8、D不符合题意故选：C点评：本题给出几个基本初等函数，要求我们找出其中的偶函数且在区间（0，+）上单调递增的函数，着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识，属于基础题3（5分）设i为虚数单位，则复数等于（）ABCD考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：把给出的复数分子分母同时乘以2i，然后整理成a+bi（a，bR）的形式即可解答：解：=故选A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题4（5分）设f（x）为奇函数，当x0时，f（x）=x2+x，则f（1）=（）A2B0C2D1考点：函数奇偶性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用分
9、析：由奇函数的性质可得f（1）=f（1），再根据已知表达式可求得f（1）解答：解：f（x）为奇函数，f（1）=f（1），又当x0时，f（x）=x2+x，f（1）=12+1=2，f（1）=2，故选A点评：本题考查函数奇偶性的性质及其应用，属基础题，定义是解决问题的基本方法5（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）A72B48C36D12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5如图所示：底面上的高PO=4据此可计算出其体积解答：解：由三视图可知：该几何体是一个倒置的圆锥，其底面的直径为6，母线长为5如图所示：底面上的
10、高PO=4V=12故选D点评：由三视图正确恢复原几何体是解决问题的关键6（5分）已知函数f（x）=x+1（x0），则f（x）的（）A最小值为3B最大值为3C最小值为1D最大值为1考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用基本不等式即可得出解答：解：x0，函数f（x）=x+1=+1=1，当且仅当x=1时取等号因此f（x）有最大值1故选：D点评：本题考查了基本不等式的应用，属于基础题7（5分）函数f（x）=Asin（x+）（其中0，|）的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位
11、长度考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由已知函数的图象求出函数解析式，然后看自变量x的变化得答案解答：解：由图可知，A=1，即=2由五点作图的第三点可知，+=，得=（|），则f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=sin2x的图象向左平移个单位长度故选：C点评：本题考查由函数的部分图象求函数解析式，考查了函数图象的平移，解答的关键是利用五点作图的某一点求初相，是基础题8（5分）如图，在ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则=（）ABCD考点：向量加减混合运算及其几何意义 专题：平面向量及应用分析：利用向
12、量的三角形法则和向量共线定理即可得出解答：解：=故选C点评：熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键9（5分）已知O是坐标原点，点A（1，1），若点M（x，y）为平面区域，上的一个动点，则的取值范围是（）A1，0B0，1C0，2D1，2考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算 专题：数形结合分析：先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围解答：解：满足约束条件的平面区域如下图所示：将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式当x=1，y=1时，=11+11=0当x=1，y=2时，=11+12=1当x=0，y=2时，=10+1
13、2=2故和取值范围为0，2解法二：z=x+y，即y=x+z当经过P点（0，2）时在y轴上的截距最大，从而z最大，为2当经过S点（1，1）时在y轴上的截距最小，从而z最小，为0故和取值范围为0，2故选：C点评：本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键10（5分）设函数f（x）=x34x+a（0a2）有三个零点x1、x2、x3，且x1x2x3，则下列结论正确的是（）Ax11Bx20C0x21Dx32考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：利用导数研究函数的单调性，利用导
14、数求函数的极值，再根据f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1x2x3，求得各个零点所在的区间，从而得出结论解答：解：函数f （x）=x34x+a，0a2，f（x）=3x24令f（x）=0，得 x=当x时，f（x）0；在（，）上，f（x）0；在（，+）上，f（x）0故函数在（，）上是增函数，在（，）上是减函数，在（，+）上是增函数故f（）是极大值，f（）是极小值再由f （x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1x2x3，得 x1，x2，x3根据f（0）=a0，且f（）=a0，得x200x21故选C点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，利用导数研究函数的单调性，利
15、用导数求函数的极值，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）已知a（，0），且sin（+a）=，则tana=考点：两角和与差的正切函数 专题：三角函数的求值分析：先由诱导公式求出cos的值，再根据角的范围求出sin，从而可求tana的值解答：解：sin（+a）=cos=，a（，0），=，故tana=故答案为：点评：本题主要考察了诱导公式的应用，考察了同角三角函数的关系式的应用，属于基础题12（5分）直线y=x+b是函数f（x）=的切线，则实数b=1或1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：设切点为P（m，n），求出函数f（x）=的导数
16、，得切线斜率为，再根据切点P既在切线y=x+b上又在函数f（x）=的图象上，列出关于m、n、b的方程组，解之即可得到实数b之值解答：解：由于函数f（x）=的导数，若设直线y=x+b与函数f（x）=相切于点P（m，n），则解之得m=2，n=，b=1或m=2，n=，b=1综上所述，得b=1故答案为：1或1点评：本题给出已知函数图象的一条切线，求参数b的值，着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，属于基础题13（5分）设函数，若f（x0）1，则x0的取值范围是（，1）（1，+）考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用 专题：计算题；分类讨论分析：根
17、据函数表达式分类讨论：当x00时，可得2x11，得x1；当x00时，x0.51，可得x1，由此不难得出x0的取值范围是（，1）（1，+）解答：解：当x00时，可得2x011，即2x02，所以x01，得x01；当x00时，x00.51，可得x01故答案为（，1）（1，+）点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键14（5分）向量在正方形网格中的位置如图所示设向量=，若，则实数=3考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据正方形网格确定向量的长度和两个向量的夹角，然后利用，可以求实数解答：解：设正方形的边长为
18、1，则AB=1，AC=，cosCAB=，=，即，解得=3故答案为：3点评：本题主要考查平面数量积的应用，利用向量垂直和数量积的关系即可求出，要根据表格确定向量是解决本题的关键三、解答题（共80分）15（12分）已知函数的周期是（1）求和的值；（2）求函数的最大值及相应x的集合考点：三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据函数的周期公式即可求和的值；（2）将函数g（x）进行化简，然后利用三角函数的性质即可求函数的最大值解答：解：（1）函数的周期是，且0，解得=2（2）=，当，即时，g（x）取最大值此时x的集合为点评：本题主要考查三角函数的图象
19、和性质，要求熟练掌握函数的周期性和函数最值的求解方法16（12分）某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为（1）请完成列联表；组别达标 不达标 总计 甲班8乙班54合计120（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）根据在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为1
20、08，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故可得结论；（2）用分层抽样的方法，可求甲班、乙班抽取的人数；（3）利用枚举法确定基本事件的个数，根据古典概型概率公式，可得结论解答：解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有组别达标不达标总计甲班54862乙班54458 合计10812120（3分）（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为人，（4分）从乙班抽取的人数为人（5分）（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件
21、A（6分）所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12（8分）其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，（10分）由古典概型可得（12分）点评：本题考查概率知识的运用，考查分层抽样，考查枚举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）已知=（sinB，1cosB），且与=（1，0）的夹角为，其中A，B，C是ABC的内角（1）求角B的大小；（2）求sinA+sinC的取值范围考点：平面向量数量积的运算 专题：三角函数的求值分析：（1）根据两向量的夹角及两向量的求出两向量的数量积，然后
22、再利用平面向量的数量积的运算法则计算，两者计算的结果相等，两边平方且利用同角三角函数间的基本关系化简，得到关于cosB的方程，求出方程的解即可得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由B的度数，把所求的式子利用三角形的内角和定理化为关于A的式子，再利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，最后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，根据正弦函数的图象可知正弦函数值的范围，进而得到所求式子的范围解答：解：（1）=（sinB，1cos B），且与=（1，0）的夹角为，=2sinB，又=1cos=，2s
23、inB=，化简得：2cos2BcosB1=0，cosB=1（舍去）或cosB=，又B（0，），B=；（2）sinA+sinC=sinA+sin（A）=sinA+cosAsinA=sinA+cosA=sin（A+），0A，则，sin A+sin C（，1点评：此题考查了平面向量的数量积的运算，向量的数量积表示向量的夹角，三角函数的恒等变换以及同角三角函数间基本关系的运用学生做题时注意角度的范围，熟练掌握三角函数公式，牢记特殊角的三角函数值，掌握正弦函数的值域18（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3（1）求证：AB
24、1平面BC1D；（2）求四棱锥BAA1C1D的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；证明题分析：（1）欲证AB1平面BC1D，根据线面平行的判定定理可知只需证AB1与平面BC1D内一直线平行，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，根据中位线定理可知ODAB1，OD平面BC1D，AB1平面BC1D，满足定理所需条件；（2）根据面面垂直的判定定理可知平面ABC平面AA1C1C，作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C，然后求出棱长，最后根据四棱锥BAA1C1D的体积求出四棱锥BAA1C1D的体积即可解答：解：（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相
25、交于点O，连接OD，四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1（3分）OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D（6分）（2）AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C=AC作BEAC，垂足为E，则BE平面AA1C1C，（8分）AB=BB1=2，BC=3，在RtABC中，（10分）四棱锥BAA1C1D的体积（12分）=3四棱锥BAA1C1D的体积为3（14分）点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及棱锥的体积的度量，同时考查了空间想象能力，计算能力，以及转化与化归
26、的思想，属于基础题19（14分）已知函数f（x）=x+alnx（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）在（）的条件下，求f（x）的极值；（）讨论f（x）的单调区间考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（）由求导公式求出导函数，求出切线的斜率f（1）及f（1）的值，代入点斜式方程再化为一般式方程；（）先求出函数的定义域，再对导函数进行化简，判断出导函数的符号，即可得函数的单调性即极值情况；（）先对导函数进行化简，再对a进行分类讨论，利用列表格判断出导函数的符号，即可得函数的单调区间解答：解：（I）当a=1时，f（x）
27、=x+lnx，则，（1分）所以f（1）=2，且f（1）=1，（3分）所以切线方程为y1=2（x1），即2xy1=0（5分）（）函数的定义域为（0，+），由（1）得=，（6分）x0，f（x）0恒成立（8分）f（x）在（0，）上单调递增，没有极值（9分）（）由题意得，（x0）（10分）当a0时，在（0，）时，f（x）0，所以f（x）的单调增区间是f（x）0；（11分）当a0时，函数f（x）与f（x）在定义域上的情况如下：x（0，a）a（a，+）f（x）0+f（x）极小值（13分）综上，当a0时，f（x）的单调增区间是（0，+）；当a0时，f（x）的单调增区间是（a，+），减区间是（0，a）（14分
28、）点评：本题考查导数的几何意义，切线方程的求法，以及导数与函数的单调性、极值的应用，考查了分类讨论思想，注意一定先求出函数的定义域，以及把导函数化到最简20（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=x+a（1）当a=2时，求函数y=g（x）在0，3上的值域；（2）求函数f（x）在t，t+2（t0）上的最小值；（3）证明：对一切x（0，+），都有xlnx成立考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值 专题：计算题分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x0，3，利用二次函数的性质求出它的值域（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）
29、的最小值（3）令 h（x）=，通过 h（x）= 的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=再由f（x）=xlnx在（0，+）上的最小值为，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+）上恒有f（x）h（x），即 解答：解：（1）当a=2时，g（x）=，x0，3，当x=1时，；当x=3时， ，故g（x）值域为（2）f（x）=lnx+1，当，f（x）0，f（x）单调递减，当，f（x）0，f（x）单调递增 若 ，t无解； 若 ，即时，； 若 ，即时，f（x）在t，t+2上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以 f（x）min= （3）证明：令 h（x）=，h（x）=，当 0x1时，h（x）0，h（x）是增函数当1x时 h（x）0，h（x）是减函数，故h（x） 在（0，+）上的最大值为h（1）=而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+）上的最小值为，且当h（x） 在（0，+）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+）上恒有f（x）h（x），即 点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题