1、云南省大理州祥云县2020-2021学年高二数学上学期期末统测试题 理第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则集合（ ）A B C D2.已知关于的不等式的解集为，则实数的值是 （ ）A B C D3.在中，分别为角的对边，若，则的周长为 （ ）A20 B30 C40 D 254. 记为等差数列的前项和 ，若，则（ ）A9 B11 C.13 D155.为了得到函数的图象，可以将函数的图象 （ ）A先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变B先向左平移个单位长度，再将所得
2、图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C. 先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变6. 执行如图1所示的程序框图，输出的结果为（ ）A1958 B1960 C.1988 D19907. 已知为实数，则下列不是的一个必要不充分条件的是（ ）A B C. D8.如图2是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安雁塔区陕西师范大学以南.天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处.某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得米
3、，米，米，据此可以估计天坛的最下面一层的直径大约为（结果精确到1米）（参考数据：） （ ）A39米 B43米 C. 49米 D53米9.各项均为正数的等比数列中，则 （ ）A256 B512 C.1024 D204810.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若，则点到轴的距离为 （ ）A B3 C. D11.平面向量与共线，则的最小值为 （ ）A B C. D12.过点的直线与抛物线相交于两点，若，则点到抛物线的焦点的距离为 （ ）A B C. D第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数，则 14.已知实数满足约束条件
4、，则的最大值为 15.已知数列的首项为，前项和为，且，则数列的前项和 16.过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于点.若以的右焦点为圆心、半径为3的圆经过两点（为坐标原点），则双曲线的离心率为 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在中，内角所对的边满足，.（1）求；（2）若，求的面积.18. 已知圆经过点.（1）求圆的方程；（2）设点为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为.若，求点的坐标.19.（本小题满分12分）数列的前项和为，且.（1）求和；（2）求数列的前项和.20. （本小题满分12分）某班主任对本班40名同学每天参加课
5、外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中在纵轴上对应的高度分别为，0.02，0.0375，0.0175， 如图3所示.（1）求实数的值以及参加课外活动时间在中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率.21. （本小题满分12分）如图4所示，在四棱锥中，四边形是直角梯形，平面，为的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.22.（本小题满分12分）已知椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为.（1）求椭圆
6、的离心率；（2）若椭圆的短轴长为，点为长轴的右顶点，求的面积.试卷答案一、选择题1-5:BDACD 6-10:ABDBC 11、12：CC【解析】1.集合，集合，故选B.2.由题意可知，3和4是方程的两根，且，解得，故选D.3.根据余弦定理，得，所以，则的周长为20，故选A.4.设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得，故选C.5.函数，所以将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，故选D.6. 的初始值为0，的初始值为2020，；，；，；，；，成立，故输出的的值为1958，故选A.7. .易知都是的一个必要不充分条件.对于同，由不一定能得
7、到，且由不一定得到，故是的一个既不充分也不必要条件，故选B.8.在中，所以，在中，所以（米），故选D.9.设等比数列的公比为，显然，则由，可得，即，解得（舍去），故选B.10.由题意椭圆的半焦距，又，点在以为半径，以原点为圆心的圆上，即，与椭圆联立，可得，点到轴的距离为，故选C.11.平面向量与共线，当且仅当，时取等号，故选C.12.如图1所示，设，由抛物线的几何性质可知抛物线的准线方程，则抛物线的焦点坐标，则，且，即，则，解得，故选C.二、填空题13. 1 14. 2 15. 16. 2【解析】13.函数，.14.约束条件的可行域如图2阴影部分，直线，经过可行域时，在轴上的截距取得最小值，此
8、时取得最大值. ，解得，所以的最大值为2.15.，化为，数列是等比数列，首项为4，公比为2，.16.因为双曲线的渐近线方程，所以或，因此，即，整理可得，因为，解得，所以双曲线的离心率为.三、解答题17.解：（1）因为利用正弦定理所以，所以，故，由于，所以.利用余弦定理； （2）由（1）得：当时，所以.18.解：（1）设圆的方程为，则解得圆的方程为；（2）如图3，设点，由（1）知，圆心，半径，由已知，在中，有，则，解得或，即有点的坐标为或.19.解：（1）当时，解得；当时，由，可得，两式相减得：，即，又当时，也适合上式，.（2）由（1）可得：，.20.解：（1）因为所有小矩形面积之和等于1，所以
9、，解得，由于参加课外活动时间在内的频率等于，因此参加课外活动时间在中的人数为人.（2）依题意，参加课外活动时间在，中的人数分别为5人，8人，15人，7人，5人，因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为：（分钟）.（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为，甲，从中任选3人，可能的情况有：，共10种，设“其中的男生甲被选中”为事件，则事件包括的情况有：，共6种，因此事件发生的概率为.21.（1）（1）证明：如图4，取的中点，连接，易知，又，故，四边形为平行四边形，.又平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，则可取，设平面的法向量为，则，则可取，易知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.22.解：（1）设，则椭圆的方程为，联立，消去可得，设，则，所以，所以的中点的坐标为，由题意可得，所以，即，所以椭圆的离心率为；（2）因为椭圆的短轴长为，所以，又，所以，所以，所以，所以，点到直线的距离为，所以三角形的面积为.