1、山东省烟台市高三统一质量检测考试数学（理科）试卷第卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设i是虚数单位，复数的虚部为（ ） A-i B-l Ci D12.已知集合M=，集合N=，(e为自然对数的底数) 则=（ ） A B C D【答案】【解析】试题分析： 由已知， 所以，选.考点：集合的运算,函数的定义域、值域.3.一个空间几何体的三视图如下左图所示，则该几何体的表面积为（ ） A48 B48+8 C32+8 D804.某程序的框图如上右图所示，执行该程序，若输入的p为l6，则输出的n的值为（ ） A3 B
2、4 C5 D65.以q为公比的等比数列中，则“”是“”的（ ） A必要而不充分条件 B充分而不必要条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件6.已知不重合的直线m、l和平面，且，给出下列命题： 若，则；若，则；若，则； 若，则，其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4【答案】【解析】试题分析：因为，所以，又，所以， .正确；因为，所以或，又，所以或相交或互为异面直线. 不正确；因为，所以，又，所以，故不正确，正确. 选.考点：平行关系，垂直关系.7.已知圆及以下三个函数：；其中图象能等分圆面积的函数个数为（ ） A3 B2 C1 D08.双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若的一个焦
3、点与抛物线：的焦点重合，且抛物线的准线交双曲线所得的弦长为4，则双曲线的实轴长为（ ）A6 B2 C D【答案】【解析】试题分析：设双曲线的方程为.由已知，抛物线的焦点为，准线方程为，即双曲线中，；将代人双曲线方程，解得，又抛物线的准线交双曲线所得的弦长为， 所以与联立得， ，解得，故双曲线的实轴长为，选.考点：抛物线的几何性质，双曲线的几何性质.9.下列四个图象可能是函数图象的是（ ）10.已知函数，且，则当时，的取值范围是（ ）A， B0， C， D0，【答案】【解析】试题分析：因为，且，所以函数为奇函数，且在是增函数. 所以，由得.即，其表示圆及其内部.表示满足的点与定点连续的斜率.结合
4、图形分析可知，直线的斜率最小，切线的斜率最大.故选.考点：函数的奇偶性，简单线性规划，直线的斜率，直线与圆的位置关系.第卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若实数x，y满足，则的最小值是 .【答案】【解析】试题分析：画出可行域及直线，如图所示. 平移直线，当其经过点时，.考点：简单线性规划的应用12.已知，则= .13.设，则二项式的展开式中含有的项是 .【答案】【解析】试题分析：因为，所以的展开式的通项，令得，所以二项式的展开式中含有的项是，故答案为考点：定积分计算，二项式展开式的通项公式.14.有6人入住宾馆中的6个房间，其中的房号301与302对门
5、，303与304对门，305与306对门，若每人随机地拿了这6个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 .15.在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量集D=a|a上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”定义如下：对于任意两个向量， ，当且仅当“”或“且”按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若则,，则；若，则对于任意, ；对于任意向量，若，则其中真命题的序号为 .【答案】【解析】试题分析：由已知，若则，故正确；（4）设，由得“”或由，得“”或“且.若，则，所以不成立不正确.综上所述，正确.考点：新定义问题，平面向量的坐标运算.三、解
6、答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）已知m=，n=，满足(1)将y表示为x的函数，并求的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，的最大值是，且a=2，求b+c的取值范围（2）由题意得，所以，因为，所以 8分由正弦定理得， ， 10分,，所以的取值范围为. 12分考点：平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，正弦定理的应用，三角函数的性质.17.（本小题满分12分）已知数列an前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)数列bn满足，求证： 当时，两式
7、相减得：， ， 4分所以数列是首项为，公比为2的等比数列，. 6分18.（本题满分12分）PM25是指大气中直径小于或等于25微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大。我国PM25标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM25日均值在35微克立方米以下空气质量为一级；在35微克立方米75微克立方米之间空气质量为二级；在75微克立方米以上空气质量为超标 某市环保局从360天的市区PM25监测数据中，随机抽取l5天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)(1)从这l5天的数据中任取3天的数据，记表示空气质量达到一级的天数，求的分布列；(2)以这l5天的PM2
8、5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级【答案】（1）分布列为0123（2）一年中空气质量达到一级的天数为144天.【解析】试题分析：（1）由 ,的可能值为0，1，2，3利用 即得分布列：0123（2）一年中每天空气质量达到一级的概率为，由 , 得到(天) ，一年中空气质量达到一级的天数为144天.试题解析：（1） ,的可能值为0，1，2，3其分布列为 3分0123 6分（2）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为一年中空气质量达到一级的天数为则 , 所以(天) 11分一年中空气质量达到一级的天数为144天 12分考点：茎叶图，超几何分布，二项分布.
9、19.（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点沿直线BD将BCD翻折成BCD，使得平面BCD平面ABD(1)求证：CD平面ABD；(2)求直线BD与平面BEC所成角的正弦值 20.（本小题满分13分）已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点(1)求椭圆C的方程；(2)己知点P(2，3)，Q(2，-3)在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ=BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由由 整理得, 9分 ,21.(本题满分l4分)已知函数，其中N*，aR，e是自然对数的底数(1)求函数的零点；(2)若对任意N*，均有两个极值点，一个在区间(1，4)内，另一个在区间1，4外，求a的取值范围； (3)已知k，mN*，km，且函数在R上是单调函数，探究函数的单调性（2）的取值范围是 （3）函数在上是减函数. （2） 5分设，的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意有两个不等实数根，且则对任意,即, 7分又任意关于递增,故所以的取值范围是 9分