1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年上海市罗店中学高三（上）期中数学试卷一、填空题（每小题4分，共56分）1“x1”是“x2x0”的条件2若复数（bR）的实部与虚部相等，则实数b的值为3函数的定义域为4若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1c2=5等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为6抛物线的焦点为椭圆的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为7函数f（x）=1+log2x（x2）的反函数f1（x）=8已知、（0，），若cos（+）=，sin（）=，则cos2=9已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数
2、，则a的取值范围是10若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为11三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为12已知满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是13f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如果f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，则实数a的取值范围是 14设函数，则方程有个实数根二、选择题（每小题5分，共20分）15如图为函数y=m+lognx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（）Am0，n1Bm0，n1Cm0，0n1Dm0，0n116已知0，sin+cos=，则cos2的值为（）ABCD17若点
3、P（x0，y0）（x0y00）在函数y=f（x）的图象上，y=f1（x）为函数y=f（x）的反函数设P1（y0，x0），P2（y0，x0），P3（y0，x0），P4（y0，x0），则有（）A点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f1（x）的图象上B只有点P2不可能在函数y=f1（x）的图象上C只有点P3不可能在函数y=f1（x）的图象上D点P2、P3都不可能在函数y=f1（x）的图象上18下列命题命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题；若，则在上的投影是；在（+）16的二项展开式中，有理项共有4项；已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4
4、+2的平均数为4；复数的共轭复数是a+bi（a，bR），则ab=6其中真命题的个数为（）A0B1C2D3三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤19在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足abc，b=2asinB（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求ABC的面积20如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（2）求异面直线AE与A1C所成角的大小（结果用反三角函数表示）21已知函数f（x）=2x+a2x（aR
5、）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求a的取值范围22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y2=1（1）设F是C1的左焦点，E是C1右支上一点若|EF|=2，求E点的坐标；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值23已知函数，m为正整数（）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1x）的值；（）若数列an的通项公式为（n=1，2，m），求数列an的前m项和Sm；（）设数列bn满足：，bn+1=
6、bn2+bn，设，若（）中的Sm满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值2015-2016学年上海市罗店中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题4分，共56分）1“x1”是“x2x0”的充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】因为“x2x0”可以求出x的范围，再根据充分必要条件的定义进行求解；【解答】解：“x2x0”可得x1或x0，若x1可得“x2x00，“x1”“x2x0”，“x1”是“x2x0”的充分非必要条件，故答案为：充分非必要；2若复数（bR）的实部与虚部相等，则实数b的值为2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念【分
7、析】通过复数的分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi，a，bR的形式，利用复数实部与虚部相等，求出实数b的值【解答】解：复数=，因为复数（bR）的实部与虚部相等，所以b=2故答案为：23函数的定义域为（2，1）（1，3【考点】对数函数的定义域；函数的定义域及其求法【分析】由函数的意义可得，从而可求得f（x）=的定义域【解答】解：依题意得：，即，2x1或1x3故答案为：（2，1）（1，34若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1c2=16【考点】二阶行列式与逆矩阵【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1c2=215=16，故答案为：
8、165等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则an的公比为【考点】等比数列的性质【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q【解答】解：等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解故答案为6抛物线的焦点为椭圆的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为y2=4x【考点】椭圆的简单性质；抛物线的标准方程【分析】根据椭圆的方程，可得c=1，从而得到椭圆的右焦点为F（1，0），
9、由此结合题意设抛物线方程为y2=2px，根据抛物线的简单几何性质算出2p=4，即可得到抛物线方程【解答】解：椭圆的方程为，a2=5，b2=4，可得c=1因此，椭圆的右焦点为F（1，0）抛物线的焦点为F（1，0），且顶点在原点设抛物线方程为y2=2px，可得=1，2p=4由此可得抛物线的方程为y2=4x故答案为：y2=4x7函数f（x）=1+log2x（x2）的反函数f1（x）=f1（x）=2x1（x2）【考点】反函数【分析】由x2，可得y=1+log2x2，由y=1+log2x，解得x=2y1，把x与y互换即可得出反函数【解答】解：x2，y=1+log2x2，由y=1+log2x，解得x=2y
10、1，故f1（x）=2x1（x2）故答案为：f1（x）=2x1（x2）8已知、（0，），若cos（+）=，sin（）=，则cos2=【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin（+）=，cos（）=，再由cos2=cos（+）+（），利用两角和的余弦公式求出结果【解答】解：、（0，），若cos（+）=，sin（）=，sin（+）=，cos（）=，故 cos2=cos（+）+（）=cos（+）cos（）sin（+）sin（）=，故答案为9已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是（，1【考点】指数函数单调性
11、的应用【分析】由题意，复合函数f（x）在区间1，+）上是增函数可得出内层函数t=|xa|在区间1，+）上是增函数，又绝对值函数t=|xa|在区间a，+）上是增函数，可得出1，+）a，+），比较区间端点即可得出a的取值范围【解答】解：因为函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t=|xa|在区间1，+）上是增函数又t=|xa|在区间a，+）上是增函数所以1，+）a，+），故有a1故答案为（，110若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径
12、，求出圆锥的体积即可【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4=l2，所以l=2，半圆的弧长为2，圆锥的底面半径为2r=2，r=1，所以圆锥的体积为： =故答案为：11三位同学乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2位同学上了同一车厢的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】利用分步乘法原理求出三位同学乘同一列火车乘车方式；利用排列求出没有同学在同一节车厢的乘车方式，利用古典概型的概率公式求出没有同学在同一节车厢的概率；利用对立事件的概率公式求出至少有2位同学上了同一车厢的概率【解答】解：三位同学乘同一列火车，所有的乘车方式有10 3=1000没有同学在同一节车厢
13、的乘车方式有A 103=1098=720没有同学在同一节车厢的概率为=，至少有2位同学上了同一车厢的概率为1=故答案为：12已知满足对任意x1x2，都有0成立，那么a的取值范围是，2）【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】先确定函数在R上单调增，再利用单调性的定义，建立不等式，即可求得a的取值范围【解答】解：对任意x1x2，都有0成立函数在R上单调增故答案为：，2）13f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，如果f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，则实数a的取值范围是 2，0【考点】不等式的综合；奇偶性与单调性的综合【分析】本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立
14、有关的综合类问题在解答时，应先分析好函数的单调性，然后结合条件f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，将问题转化为有关 x的不等式在，1上恒成立的问题，在进行解答即可获得问题的解答【解答】解：由题意可知：f（x）是偶函数，且f（x）在0，+）上是增函数，f（x）在（，0上是减函数，由f（ax+1）f（x2）在，1上恒成立，可知：|ax+1|x2|在，1上恒成立，在，1上恒成立，2a0故答案为：2，014设函数，则方程有2n+1个实数根【考点】函数迭代；根的存在性及根的个数判断【分析】利用归纳法思想，先令n=1，可知方程22=4个根，再考虑当n=k+1时，会有fk+1（x）=fk（x）=，依此类
15、推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，由此可得结论【解答】解：先令n=1，则有：|f0（x）|=，或，可知有22=4个根；于是当n=k+1时，会有fk+1（x）=fk（x）=，依此类推，每个方程去掉绝对值符号，都对应两个方程，而每个方程又会有两个根，从而可以得到有2n+1个根故答案为：2n+1二、选择题（每小题5分，共20分）15如图为函数y=m+lognx 的图象，其中m、n为常数，则下列结论正确的是（）Am0，n1Bm0，n1Cm0，0n1Dm0，0n1【考点】对数函数的图象与性质【分析】由图中特殊位置：x=1时函数的值是负值，可得m的取值范围，再根据对数函数
16、的性质即可【解答】解：当x=1时，y=m，由图形易知m0又函数是减函数，0n1故选D答案：D16已知0，sin+cos=，则cos2的值为（）ABCD【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦【分析】首先由已知条件与同角正余弦关系式列方程组，然后解sin（因为0），最后由余弦的二倍角公式解之【解答】解：解得sin=，又0，sin=cos2=12sin2=故选B17若点P（x0，y0）（x0y00）在函数y=f（x）的图象上，y=f1（x）为函数y=f（x）的反函数设P1（y0，x0），P2（y0，x0），P3（y0，x0），P4（y0，x0），则有（）A点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f1（
17、x）的图象上B只有点P2不可能在函数y=f1（x）的图象上C只有点P3不可能在函数y=f1（x）的图象上D点P2、P3都不可能在函数y=f1（x）的图象上【考点】反函数【分析】存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的，然后根据反函数的性质可判定点P1、P2、P3、P4是否有可能在函数y=f1（x）的图象上【解答】解：互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性，单调函数才有反函数；存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的根据点P（x0，y0）（x0y00）在函数y=f（x）的图象上，则P1（y0，x0）在反函数y=f1（x）的图象若点P1（y0，x0）与点P3（y0，x0）都在反函数y=f
18、1（x）的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；若点P2（y0，x0）在反函数图象上则点（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，则相同的横坐标对应两个函数值，不符合一一对应；故点P2、P3都不可能在函数y=f1（x）的图象上故选D18下列命题命题“若am2bm2，则ab”的逆命题是真命题；若，则在上的投影是；在（+）16的二项展开式中，有理项共有4项；已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差为，则数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为4；复数的共轭复数是a+bi（a，bR），则ab=6其中真命题的个数为（）A0B1C2D3【考点】二项式定理；命题的真假判断与应用
19、；复数代数形式的乘除运算【分析】根据题意，依次分析命题：对于，先写出命题“若am2bm2，则ab”的逆命题举出反例当m=0时，命题不成立，则不正确；对于，由数量积计算在上的投影可得不正确；，写出（+）16的展开式通项分析可得其有理项共3项，则错误；对于，由方差的计算公式可得数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为2+2=4，则正确；，求出复数的共轭复数是2+3i，则可得a=2，b=3，进而有ab=6，则不正确；综合可得答案【解答】解：根据题意，依次分析命题：，命题“若am2bm2，则ab”的逆命题为“若ab，则am2bm2”，当m=0时，命题
20、不成立，则不正确；，在上的投影是=1，则不正确；，（ +）16的展开式通项为Tr+1=C16r（）16r（）r=2rC16r，当r=0、4、8时，为有理项，则其有理项共3项，则错误；，根据题意，由方差的计算公式S2=（x12+x22+x32+x4242），而这组数据的方差为，则这组数据x1，x2，x3，x4的平均数为2，即（x1+x2+x3+x4）=2，则（x1+x2+x3+x4）=8，那么数据x1+2，x2+2，x3+2，x4+2的平均数为（x1+2+x2+2+x3+2+x4+2）=（x1+x2+x3+x4+8）=4，则正确；，复数=23i，则其共轭复数是2+3i，则a=2，b=3，有ab=
21、6，则不正确；有1个命题正确；故选B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤19在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足abc，b=2asinB（1）求A的大小；（2）若a=2，b=2，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，根据A为锐角求出A的度数即可；（2）由a，b，cosA的值，利用余弦定理求出c的值，根据b，c，sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积【解答】解：（1）b=2asinB，由正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，sinB0
22、，sinA=，abc，A为锐角，则A=；（2）a=2，b=2，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即4=12+c222c，整理得：c26c+8=0，解得：c=2（舍去）或c=4，则S=bcsinA=24=220如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，侧棱AA1底面ABC，且AA1=2，E是BC的中点（1）求直三棱柱ABCA1B1C1的全面积；（2）求异面直线AE与A1C所成角的大小（结果用反三角函数表示）【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】（1）利用三角形的面积计算公式、矩形的面积计算公式、直棱柱的表
23、面积计算公式即可得出；（2）利用直角三角形的边角关系、余弦定理、异面直线所成的角即可得出【解答】解：（1），（2）取B1C1的中点E1，连A1E1，则A1E1AE，即CA1E1即为异面直线AE与A1C所成的角连接E1C在RtE1C1C中，由，CC1=2知在RtA1C1C中，由A1C1=1，CC1=2知，在A1E1C中，21已知函数f（x）=2x+a2x（aR）（1）讨论函数f（x）的奇偶性；（2）若函数f（x）在（，2上为减函数，求a的取值范围【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的
24、x1x22，都有f（x1）f（x2）0，变形可得恒成立，又可得，可得a16【解答】解：（1）f（x）=2x+a2x，f（x）=2x+a2x，若f（x）为偶函数，则对任意的xR，都有f（x）=f（x），即2x+a2x=2x+a2x对任意的xR都成立化简可得（2x2x）（1a）=0对任意的xR都成立由于2x2x不恒等于0，故有1a=0，即a=1当a=1时，f（x）是偶函数；若f（x）为奇函数，则对任意的xR，都有f（x）=f（x），即2x+a2x+2x+a2x=0，（2x+2x）（1+a）=0对任意的xR都成立由于2x+2x不恒等于0，故有1+a=0，即a=1当a=1时，f（x）是奇函数，综上可得
25、当a=1时，f（x）是偶函数；当a=1时，f（x）是奇函数；当a1时，f（x）是非奇非偶函数（2）函数f（x）在（，2上为减函数，对任意的x1x22，都有f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）=恒成立由，知恒成立，即恒成立由于当x1x22时，a1622在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2y2=1（1）设F是C1的左焦点，E是C1右支上一点若|EF|=2，求E点的坐标；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ；（3）设椭圆C2：4x2+y2=1若M、N分别是C1、C2上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值【考点】椭圆
26、的简单性质【分析】（1）利用|EF|=2，建立方程，即可求E点的坐标（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，通过直线PQ与已知圆相切，得到b2=2，通过求解=0证明POOQ（3）当直线ON垂直x轴时，直接求出O到直线MN的距离为当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|），推出直线OM的方程为y=x，求出|OM|2，|ON|2，设O到直线MN的距离为d，通过（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，求出d=推出O到直线MN的距离是定值【解答】（1）解：左焦点设E（x，y），则，由E是右支上一点，知，所以，得所以（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b因直线与已
27、知圆相切，故=1，即b=由y=x+b与双曲线C1：2x2y2=1联立，得x22bxb21=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=2b，x1x2=b21，又y1y2=（x1+b）（x2+b）所以=x1x2+y1y2=2x1x2+b（x1+x2）+b2=2（1b2）+2b2+b2=b22=0故POOQ（3）当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y=kx（显然|k|），则直线OM的方程为y=x由y=kx与椭圆方程联立，得x2=，y2=，所以|ON|2=同理|OM|2=设O到直线MN的距离为d，因为（|OM
28、|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，所以=+=3，即d=综上，O到直线MN的距离是定值23已知函数，m为正整数（）求f（1）+f（0）和f（x）+f（1x）的值；（）若数列an的通项公式为（n=1，2，m），求数列an的前m项和Sm；（）设数列bn满足：，bn+1=bn2+bn，设，若（）中的Sm满足对任意不小于3的正整数n，恒成立，试求m的最大值【考点】数列与函数的综合；数列的应用【分析】（）由函数值的求法令x=1，x=0直接求解f（1）+f（0）；先求得f（1x）再求解f（x）+f（1x）（）根据（）的结论，即=1，从而有ak+amk=1，然后由倒序相加法求解（）将bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），取倒数转化为：，从而有然后用错位相消法求得再由sm构造恒成立，用最值法求解【解答】解：（） =1；f（x）+f（1x）=1；（）由（）得，即=1，ak+amk=1，由Sm=a1+a2+a3+am1+am，得Sm=am1+am2+am3+a1+am，由+，得2Sm=（m1）1+2am，（），bn+1=bn2+bn=bn（bn+1），对任意的nN*，bn0，即bn+1bn=bn20，bn+1bn，数列bn是单调递增数列Tn关于n递增当n3，且nN+时，TnT3，m650.5而m为正整数，m的最大值为6502017年1月4日高考资源网版权所有，侵权必究！
