1、考点49 圆锥曲线的综合问题1若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A B C D 【答案】C2已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线和距离之和的最小值为（ ）A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B3已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为P，是以为底边的等腰三角形.若，椭圆与双曲线的离心率分别为的取值范围是来A B C D 【答案】B 4已知曲线的离心率为，且双曲线与抛物线的准线交于，则双曲线的实轴长（ ）A B C 2 D 来【答案】D【解析】设A（x，y），依题意知抛物
2、线x2=4y的准线y=SOAB=， ，解得x=1，A（1，）5已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为A B C D 【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.本题选择A选项.6已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )A B C D 【答案】D7已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该
3、双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）A B C D 【答案】D来XXK【解析】两曲线有相同的焦点F，则.又AFx轴.不妨设点A在第一象限.可得A(c，2c).代入可得，整理化简可得：，双曲线经过一三象限的渐近线方程为，令，则：，解得：，即.故双曲线的渐近线的倾斜角所在的区间为.本题选择D选项.8已知椭圆的离心率为，点在上（）求椭圆的方程；（）过点作直线交椭圆于另外一点，交轴于点，为椭圆上一点，且，求证：为定值【答案】（）；（）证明见解析.9已知椭圆的一个顶点坐标分别为，离心率为.（）求椭圆的方程；（）如图，点是该椭圆内一点，四边形的对角线交于点P .设直线，记 求的最大值.【
4、答案】（1）椭圆方程为：；（2）.10设直线与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若.（1）是否存在实数，满足，并说明理由；（2）求面积的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2).设，则，所以当，即时，有最大值.11（12分）在平面直角坐标系中，点到点的距离之和为4.（1）试求点A的M的方程.（2）若斜率为的直线l与轨迹M交于C,D两点，为轨迹M上不同于C，D的一点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，试问是否为定值.若是，求出该定值；若不同，请说出理由.【答案】（1）.（2）是定值.，所以（定值）.12已知的直角顶点在轴上，点为斜边的中点，且平行于轴.（）
5、求点的轨迹方程；（）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为.以为直径的圆交轴于即此圆的圆心为,求的最大值.【答案】（1）（2）在中，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，所以，的最大值为13在平面直角坐标系中，抛物线，直线与交于两点，.（1）求的方程；（2）斜率为的直线过线段的中点，与交于两点，直线分别交直线于两点，求的最大值.【答案】(1) .(2) .所以，同理得所以 因为，所以.当时，取得最大值. 14双曲线的焦点分别为：,且双曲线经过点（1）求双曲线的方程；（2）设为坐标原点，若点在双曲线上，点在直线上，且，是点为圆心的定圆恒与直线相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由
6、.【答案】（1）；（2）存在定圆与直线相切15在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，若椭圆：经过点，抛物线和椭圆有公共点，且.（1）求抛物线和椭圆的方程； （2）是否存在正数，对于经过点且与抛物线有两个交点的任意一条直线，都有焦点在以为直径的圆内？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,（2）【解析】（1）因为抛物线经过点，且.所以，解得，所以抛物线，焦点，16已知抛物线：，是抛物线上的两点，是坐标原点，且.（1）若，求的面积；（2）设是线段上一点，若与的面积相等，求的轨迹方程.【答案】(1)16(2) 【解析】分析：（1），由抛物线的对称性可知，关于轴对称设出点的关系；故
7、点的轨迹方程为.17如图，圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点 (点在点的下方)，且.(1)求圆的方程;(2)过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证: 【答案】(1) .(2)证明见解析.综上所述18在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，且，延长至，且为的中点，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程； （2）若直线与圆：相切，且与曲线交于两点，为 u型上一点，当四边形为平行四边形时，求的值.【答案】（1）；（2）联立消去整理得，设，在曲线上，得由得，即.19已知椭圆的两焦点分别是，点在椭圆上，（1）求椭圆的方程；（2）设是轴上的一点，若椭圆上存在两点，使得，求以为直径的圆面积的取值范围【
8、答案】（）（）20已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上，且的面积为. （1）求该椭圆的标准方程；（2）过该椭圆的左顶点作两条相互垂直的直线分别与椭圆相交于不同于点的两点、，证明：动直线恒过轴上一定点.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1)由三角形的面积可得.结合椭圆的定义可得，则.所求方程为.（2)假设结论成立，定点坐标设为，显然.当直线的斜率不存在时，直线的斜率为，的方程为，与椭圆方程联立可得，直线与轴相交于点.当直线的斜率存在时，设的方程为，与椭圆方程联立有 ，.又，21已知椭圆：的离心率为，以短轴端点和焦点为顶点的四边形的周长为.（）求椭圆的标准方程及焦点坐标.（）过椭圆的
9、右焦点作轴的垂线，交椭圆于、两点，过椭圆上不同于点、的任意一点，作直线、分别交轴于、两点.证明：点、的横坐标之积为定值.【答案】() 标准方程为，焦点坐标为.()证明见解析.【解析】（）由题知，又因为离心率，所以，则.所以椭圆的标准方程为，焦点坐标为.22已知顶点是坐标原点的抛物线的焦点在轴正半轴上，圆心在直线上的圆与轴相切，且关于点对称（1）求和的标准方程；（2）过点的直线与交于，与交于，求证：【答案】（1）,；（2）证明见解析.【解析】（1）设的标准方程为，则已知在直线上，故可设 23在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直径的圆与轴相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）设是上横坐标为2的点，
10、的平行线交于于，两点，交的处的切线于点.求证：.【答案】（1）；（2）见解析点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.24已知点，点是直线上的动点，过点作轴的垂线与线段的垂直平分线交于点.（）求点的轨迹的方程；（）若直线：与曲线交于两点，点是曲线上一点，且点的横坐标，若，求实数的取值范围.【答案】() ；() .所以点的轨迹方程是以点为焦点的抛物线，当时，当时，,所以实数的取值范围是. 25已知直线：与圆相交于两点，且三角形的面积取得最大值，又直线与抛物线相交于不同的两点，则实数的取值范围是_.【答案】
