1、计数原理 概率与统计1分层抽样方法【知识点的认识】1定义：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更客观地反映总体的情况，常将总体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分的各部分叫“层”2三种抽样方法比较类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率是相同的从总体中逐个抽取 总体中的个体数较少系统抽样将总体均匀分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部
2、分组成【解题方法点拨】分层抽样方法操作步骤：（1）分层：将总体按某种特征分成若干部分；（2）确定比例：计算各层的个体数与总体的个体数的比；（3）确定各层应抽取的样本容量；（4）在每一层进行抽样（各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取），综合每层抽样，组成样本【命题方向】（1）区分分层抽样方法例：某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是（）A简单随机抽样法 B抽签法 C随机数表法 D分层抽样法分析：若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答：总体由男生和女生组成，比例为5
3、00：4005：4，所抽取的比例也是5：4故选D点评：本小题主要考查抽样方法，属基本题（2）求抽取样本数例1：某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是（）A.8，8 B.10，6 C.9，7 D.12，4分析：先计算每个个体被抽到的概率，再用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，即得到该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率等于，549，427故从一班抽出9人，从二班抽出7人，故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数例2：某单位有职工750人
4、，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35 B.25 C.15 D.7分析：先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可解答：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为15故选C点评：本题考查分层抽样的定义和方法，求出每个个体被抽到的概率，用个体的总数乘以每个个体被抽到的概率，就得到样本容量n的值2系统抽样方法【知识点的认识】1定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的
5、规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样2系统抽样的特征：（1）当总体容量N较大时，适宜采用系统抽样；（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此系统抽样又称等距抽样，这里的间隔一般为k（3）在第一部分的抽样采用简单随机抽样；（4）每个个体被抽到的可能性相等3系统抽样与简单随机抽样的关系：（1）系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，当将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；（2）系统抽样和简单随机抽样都是等概率抽样，它是公平的4系统抽样与简单随机抽样的优缺点：（1）当总体的个体数较大时，用系统抽样比用简单随机抽样
6、更易实施，更节约成本；（2）系统抽样比简单随机抽样应用范围更广；（3）系统抽样所得到的样本的代表性和个体的编号有关，而简单随机抽样所得到的样本的代表性与编号无关，如果编号的特征随编号的变化呈一定的周期性，可能造成系统抽样的代表性很差【解题方法点拨】系统抽样的一般步骤：（1）编号：采用随机的方式将总体中的个体编号；（2）分段：确定分段间隔k，对编号进行分段（N为总体个数，n为样本容量）：当时，k，当时，通过从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中的个体数N能被n整除，这时k（注意这时要重新编号1N后，才能再分段）（3）确定起始编号：在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号l（lN，lk）；（4）抽样
7、：按事先确定的规则抽取样本，即l，l+k，l+2k，l+（n1）k【命题方向】1考查系统抽样的定义例：某小礼堂有25排座位，每排有20个座位一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，讲座后为了了解有关情况，留下了座位号是15的25名学生进行测试，这里运用的抽样方法是（）A抽签法 B随机数表法 C系统抽样法 D分层抽样法分析：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，符合系统抽样的定义解答：由题意可得，从第一排起，每隔20人抽取一个，所抽取的样本的间隔距相等，故属于系统抽样，故选C点评：本题考查系统抽样的定义和方法，属于容易题2考查系统抽样的应用例：将参加夏令营的100名学生编
8、号为001，002，100先采用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽得的号码为003，那么从048号到081号被抽中的人数是分析：根据系统抽样的定义，即可得到结论解答：样本容量为20，首个号码为003，样本组距为100205对应的号码数为3+5（x1）5x2，由485x281，得10x16.6，即x10，11，12，13，14，15，16，共7个，故答案为：7点评：本题主要考查系统抽样的应用，利用系统抽样的定义建立号码关系是解决本题的关键，比较基础3频率分布直方图【知识点的认识】1频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大
9、小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图2频率分布直方图的特征图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉3频率分布直方图求数据众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标【解题方法点拨】绘制频率分布直方图的步骤：4茎叶图【知识点的认识】1茎叶图：将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布
10、情况的图称为茎叶图 例：某篮球运动员在某赛季各场比赛的得分情况：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50 得分表示成茎叶图如下： 2茎叶图的优缺点：优点：（1）所有信息都可以从茎叶图上得到（2）茎叶图便于记录和表示缺点：分析粗略，对差异不大的两组数据不易分析；表示三位数以上的数据时不够方便【解题方法点拨】茎叶图的制作步骤：（1）将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分（2）将最小的茎和最大的茎之间的数按小大次序排成一列（3）将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧第1步中，如果是两位数字，则茎为十位上的数字，叶为个位上的数字，如89，茎：8，叶：9
11、如果是三位数字，则茎为百位上的数字，叶为十位和个位上的数字，如123，茎：1，叶：23对于重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，同一数据出现几次，就要在图中体现几次5众数、中位数、平均数【知识点的认识】1众数、中位数、平均数 众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数； （2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；（3）平均数：一组数据的算术平均数，即2众数、中位数、平均数的优缺点【解题方法点拨】众数、中
12、位数、平均数的选取：（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数 （2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小
13、矩形底边中点的横坐标（组中值）之和6极差、方差与标准差【概念】 用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差方差的算术平方根就为标准差方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大【例题解析】例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差 解：极差是：102984；平均数（98+100+101+102+99）100，则方差是：S2（98100）2+（100100）2+（101100）2+（102100）2+（99100）22；标准差S 可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解
14、，根据概念去解题就可以了【考点分析】 这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了7线性回归方程【概念】 线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与
15、变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数【实例解析】例：对于线性回归方程，则 解：，因为回归直线必过样本中心（），所以故答案为：58.5 方法就是根据线性回归直线必过样本中心（），求出，代入即可求这里面可以看出线性规划这类题解题方法比较套路化，需要熟记公式【考点点评】 这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点8独立性检验【知识点的知识】1、分类变量： 如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量2、原理：假设性检验（类似反证法原理）一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2
16、值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1P），也就是“X和Y有关系”（表中的k就是K2的观测值，即kK2）其中na+b+c+d（考试给出）3、22列联表：4、范围：K2（0，+）；性质：K2越大，说明变量间越有关系5、解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出22列联表；（2）根据22列联表中的数据，计算K2的观测值k；（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小9互斥事件与对立事件【知识点的认识】1互斥事件（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件 如果A
17、1，A2，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，An彼此互斥 （2）互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+B）P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥推广：一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+An）P（A1）+P（A2）+P（An）2对立事件（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做 注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；在一次试验中，事
18、件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一（2）对立事件的概率公式： P（）1P（A）3互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件【命题方向】1考查对知识点概念的掌握例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A“至少有一个红球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“都是黑球”C“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D“恰有1
19、个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况
20、，故这两个事件是不是对立事件，D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件属简单题例2：下列说法正确的是（）A互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大D事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系解答：根据对立事件和
21、互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案2互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）可求解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，则，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率
22、公式可得，P（A+B）P（A）+P（B）故答案为：点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用3对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）0.4，则P（B）（）A.0 B.0.4 C.0.6 D.1分析：根据对立事件的概率公式p（）1P（A），解得即可解答：因为对立事件的概率公式p（）1P（A）0.6，故选C点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题10互斥事件的概率加法公式【知识点的知识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有： P（A+
23、B）P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A与B互斥推广：一般地，如果事件A1，A2，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即： P（A1+A2+An）P（A1）+P（A2）+P（An）11等可能事件和等可能事件的概率【知识点的认识】 等可能事件：如果一个事件中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，这种事件叫等可能事件比方说买彩票，那么你每买一张彩票，在没看之前它们中奖的概率是相等的，也就是说每张彩票中奖的概率是等可能事件【实例解析】例：判断下列事件是否为等可能事件：（1）买一张体育彩票，有中奖和没中奖两种可能；（
24、2）小丽被选为班长与没有被选为班长；（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上 解：（1）买一张体育彩票，没中奖的可能较大，不是等可能事件；（2）小丽没有被选为班长的可能较大，不是等可能事件；（3）投掷一枚硬币，硬币落地后，正面或反面朝上的可能相等，是等可能事件 这里面的第一问是不是感觉不对呢？其实它问的是中奖和不中奖的概率是不是相等的，并不是说每一张彩票中奖的概率是否相等，所以解答是正确的通过这个例题，可以用一句话来概括：概率相等的两个事件就是等可能事件例：甲、乙、丙三位同学争着去参加一个公益活动抽签决定谁去那你认为抽到的概率大的是（） A：先抽的概率大些 B：三人的概率相等 C：无法确
25、定谁的概率大 D：以上都不对解：甲、乙、丙三位选手抽到的概率是，故选：B 比较常见的等概率事件一般为购买彩票、抽签等等这个例题可以看出等概率事件并不会因为顺序的改变而改变其发生的概率，同时也通过这个例题我们也知道了如何求这个概率（）【考点分析】 等可能事件应该说初中就已经学过了，我们只要知道它的概念就可以了12相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】1相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件2相互独立事件同时发生的概率公式： 将事件A和事件B同时发生的事件即为AB，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件AB发生的概
26、率为： P（AB）P（A）P（B）推广：一般地，如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即： P（A1A2An）P（A1）P（A2）P（An）3区分互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响13n次独立重复试验中恰好发生k次的概率【概念】 一般地，在n次独立重复试验中，用表示事件A发生的次数，如果事件发生的概率是P，则不发生的概率q1p，N次独立重复试验中发生K次的概率是P（K）（K1，2，3，n）那么就说服从二项分布其中P称为成功概率记作
27、B（n，p），期望：Enp，方差：Dnpq【实例解析】例：在3次独立重复试验中，随机事件恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则随机事件A在一次试验中发生的概率的范围是 解：由题设知C31p（1p）2C32p2（1p），解p1，故答案为：，1 本题是典型的对本知识点进行考察，要求就是熟练的应用公式，理解公式的含义并准确计算就可以了，这种比较简单的题型一般出现在选择填空题中【考点点评】 这个知识点非常的重要，但相对来说也比较简单，所以大家要多花点时间把它吃透14古典概型及其概率计算公式【考点归纳】1定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限
28、个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的则称这种随机试验的概率模型为古典概型*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可2古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）【解题技巧】1注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；
29、（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么2解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）求出事件A的概率3解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型15列举法计算基本事件数及事件发生的概率【知识点的知识】1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A） 等可能条件下概率
30、的特征：（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的； （2）每一个结果出现的可能性相等 2、概率的计算方法：（1）列举法（列表或画树状图），（2）公式法； 列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果 列表法 （1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法 （2）列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法 树状图法 （1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法 （2）运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素
31、时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率【典型例题分析】典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（xm）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（）A（，+） B（，） C（，） D（，）解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2平行的情形有a2，b4，或a3，b6，故概率为P设两条直线l1：ax+by2，l2：x+2y2相交的情形除平行与重合即可，当直
32、线l1、l2相交时b2a，图中满足b2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，满足b2a的有36333种，直线l1、l2相交的概率P，点（P1，P2）在圆（xm）2+y2的内部，（m）2+（）2，解得m故选：D典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下等级12345频率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.1
33、5+0.35+n1，即 m+n0.45（2分）由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得 （4分）所以m0.450.10.35（5分）（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，记作y1，y2从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共计10种（9分）记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3）
34、，（x2，x3），（y1，y2）共4个（11分）故所求概率为 （13分）16离散型随机变量及其分布列【考点归纳】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若是随机变量，a+b，其中a、b是常数，则也是随机变量（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 （4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的
35、结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母X，Y，表示，也可以用希腊字母，表示（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量3、离散型随机变量的分布列（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，pn，则得下表： X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn
36、该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列（2）性质：pi0，i1，2，3，n；p1+p2+pn117离散型随机变量的期望与方差【知识点的知识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xnPp1p2pn则称Ex1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望，简称期望数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令p1p2pn，则有p1p2pn，E（x1+x2+xn），所以的数学期望又称为平均数、均值 期望的一个性质：若a+b，则E（a+b）aE+
37、b 2、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是x1，x2，xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，pn，那么，称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的E是随机变量的期望标准差：D的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作方差的性质：方差的意义：（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛18条件概率与独立事件【知识点的知识】1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事
38、件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）（3）条件概率的求法：利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（AB），得P（B|A），其中P（A）0；借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（AB），得P（B|A）【解题方法点拨】典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6636，即（a，b）的情况有36种，事件“
39、a+b为偶数”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，“在a+b为偶数的条件下，|ab|2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，故在a+b为偶数的条件下，|ab|2发生的概率是P故答案为：典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都
40、是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分（）求随机变量的分布列及其数学期望E（）；（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率分析：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（0），P（1），P（2），P（3），由此能求出随机变量的分布列和数学期望E（）（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A），能求出结果解答：（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，P（0）（1）（1）（1），P（1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1），P（2）+，P（3），随机变量的分布列为： 012
41、3P 数学期望E（）0+1+2+3（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）+，P（AB），P（B|A）【解题方法点拨】1、P（B|A）的性质：（1）非负性：对任意的A，0P（B|A）1； （2）规范性：P（|B）1；P（|B）0；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（BC|A）P（B|A）+P（C|A）2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；（2）区别：a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，
42、样本空间仍为19正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数，（x），x（，+），其中实数和（0）为参数，我们称，（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线（2）正态曲线的解析式指数的自变量是x定义域是R，即x（，+）解析式中含有两个常数：和e，这是两个无理数解析式中含有两个参数：和，其中可取任意实数，0这是正态分布的两个特征数解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为2正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（ab），随机变量X满足P（aXb），（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（，
43、2）（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P（X+）0.6826；P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.99743正态曲线的性质正态曲线，（x），xR有以下性质：（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x对称；（3）曲线在x处达到峰值；（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移；（6）当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散4三个邻域 会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品
44、进行质量检测的理论依据【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A10与8 B10与2 C8与10 D2与10解析：由，可知2，10答案：B典例2：已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）0.8，则P（02）等于（）A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析：由P（4）0.8知P（4）P（0）0.2，故P（02）0.3故选C典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2X4）0.682 6，则P（X4）等于（）A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6
45、 D0.158 5解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x3对称，P（X4）0.5P（2X4）0.50.682 60.1587故选B题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（4，4的概率分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数，的值，其中决定曲线的对称轴的位置，则与曲线的形状和最大值有关解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即0由，得4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，（x），x（，+）（2）P（4X4）P（04
46、X0+4）P（X+）0.6826点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响典例2：设两个正态分布N（1，）（10）和N（2，）（20）的密度函数图象如图所示，则有（）A12，12B12，12C12，12D12，12解析：根据正态分布N（，2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A答案：A题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设XN（1，22），试求（1）P（1X3）；（2）P（3X5）；（3）P（X5）分析：将所求概
47、率转化到（，+（2，+2或3，+3上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解解析：XN（1，22），1，2（1）P（1X3）P（12X1+2）P（X+）0.682 6（2）P（3X5）P（3X1），P（3X5）P（3X5）P（1X3）P（14X1+4）P（12X1+2）P（2X+2）P（X+）（0.954 40.682 6）0.1359（3）P（X5）P（X3），P（X5）1P（3X5）1P（14X1+4）1P（2X+2）（10.954 4）0.0228 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上典例2：随机变量服从正态分布N（1，
48、2），已知P（0）0.3，则P（2）解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称，所以P（2）P（0）0.3，P（2）10.30.7答案：0.7题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量服从正态分布N（8，2），已知耗油量7，9的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆解析：由题意可知N（8，2），故正态分布曲线以8为对称轴，又因为P（
49、79）0.7，故P（79）2P（89）0.7，所以P（89）0.35，而P（8）0.5，所以P（9）0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 2000.15180辆点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（x1）P（x2）时必然有，这是解决正态分布类试题的一个重要结论典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5这个尺寸范围的零件大约有多少个？解XN（4，），4，不属于区间（3，5的概率为P（X3）+P（X5）1P（3X5）1P（
50、41X4+1）1P（3X+3）10.99740.00260.003，1 0000.0033（个），即不属于区间（3，5这个尺寸范围的零件大约有3个【解题方法点拨】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误对正态分布N（，2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为2而不是，同时，记住正态密度曲线的六条性质20排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：特殊元素优先安排；合理分类与准确分步
51、；排列、组合混合问题先选后排；相邻问题捆绑处理；不相邻问题插空处理；定序问题除法处理；分排问题直排处理；“小集团”排列问题先整体后局部；构造模型；正难则反、等价转化 对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元
52、素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列
53、规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内先C后A策略，排列；组合；从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内先C后A策略，排列；组合；从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素先C后A策略，排列；组合21二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理公式（a+b）nnianibi通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开例1：用二项式定理估算1.01101.105（精确到0.
54、001）解：1.0110（1+0.01）10110+C101190.01+C102180.0121+0.1+0.00451.105故答案为：1.105这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是解：由题意T8C1071203i360i故答案为：360i通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式其中各项的系数叫做二项式系数注意：（1
55、）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是nr；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n3、二项式系数的性质（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值