1、考点41 直线、平面垂直的判定与性质1如图，在三棱锥V-ABC中，VO平面ABC，OCD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是( )A AC=BC B ABVCC VCVD D SVCDAB=SABCVO【答案】C2三棱锥中，则在底面的投影一定在三角形的（ ）A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心【答案】C【解析】过作平面，垂足为，连接并延长交于，连接.3在直角三角形中，的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置且.（1）求证：；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）直角三角形ABC中，ABBC2，4已知多面体，均垂直于平面，（1）证明：平面；（2）求直
2、线与平面所成的角的正弦值【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成的角的正弦值为.所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.5如图，在长方形ABCD中，为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径(1)证明：平面ADHF平面BCHF；(2)若P为DC的中点，求三棱锥HAGP的体积【答案】（1）见解析（2）6如图，四棱锥中，底面为菱形，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）连接，因为，所以为正三角形，又点为的中点，
3、所以.7如图，在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，（）求证：平面PAD；（）若E是PC的中点，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）8如图，在斜三棱柱中，已知，且.（）求证：平面平面； （）若，求四棱锥的体积.【答案】(1)见解析；（2）.故四棱锥的体积为.9如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2菱形，ABC60，为正三角形，且侧面PAB底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点.（I）求证：PE平面ABCD； （II）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM平面ABCD，请说明理由并求此时三棱锥D-ACM的体积。【答案】（I）见解析（II）见解析所以M
4、G/PC，所以CDMG因为ABCD是菱形，ADC60，所以是正三角形.又因为G为CD的中点，所以CDAG，因为MGAG=所以CD平面MAG，因为平面ABCD，所以平面MAG平面ABCD 此时，10已知四棱锥的三视图如图所示，其中正视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形，是侧棱上的动点.（1）求证：平面平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.11如图在四棱锥中，底面是等腰梯形，且平面，平行四边形的四个顶点分别在棱的中点（1）求证：四边形是矩形；（2）求四棱锥的体积【答案】（1）见解析；（2）12如图，在四棱锥中，且（1）证明：平面平面（
5、2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积【答案】证明略；【解析】（1）又又13如图，三棱锥中，ABC是正三角形，DA=DC （）证明：ACBD；（）已知，求点C到平面ABD的距离。【答案】（1）见解析（2）【解析】（）取中点，连14如图，四棱锥中，/，为正三角形. 且.（）证明：平面平面；（）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且/平面，求四面体的体积. 【答案】（1）见解析（2）即四面体的体积为.15如图长方体的，底面ABCD的周长为4，E为的中点.（）判断两直线与AD的位置关系，并给予证明：（）当长方体体积最大时，求直线与平面所成角【答案】()见解析() 16如图，在斜三棱柱中，底面是边
6、长为的正三角形，为棱的中点，. （）求证：平面； （）求斜三棱柱的体积. 【答案】(1)见解析;(2)17如图，四棱锥EABCD中，ADBC，且BC底面ABE，M为棱CE的中点，（）求证：直线DM平面CBE；（）当四面体DABE的体积最大时，求四棱锥EABCD的体积【答案】（）见解析（）18如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.证明：（1）；（2）若，求三棱柱的高.【答案】（1）见解析（2）19如图，在四棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.（1）设是上的一点，证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).在中，斜边边上的高为，四边形的面积为.故. 20如图
7、，在四棱锥中，底面为平行四形,，且底面.() 证明：平面；（）若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析.(2) .（）因为为的中点,所以三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，而 .所以三棱锥的体积 21如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，,，是棱的中点.（1）证明：平面；（2）平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.【答案】(1)略；（2）1：1又三棱柱 的体积V=1,（V-V1）:V1=1:1两部分体积的比为1:1. 22如图，四棱锥中，平面 底面，是等边三角形，底面为梯形，且，.（1）证明：；（2）求到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）取中点，连结,是等边三角形，.又平面 底面，平面
8、底面 ，平面，底面，且，由（）知平面，又平面，.，即2 1.解得. 23等边三角形的边长为6，为三角形的重心，过点且与平行，将沿直线折起，使得平面平面.(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)见解析(2) 24如图，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中，AD/BC,ADCD，Q是AD的中点，M是棱PC的中点，PA=PD=2,BC=AD=1,CD=,PB=（）求证：平面PAD底面ABCD；（）试求三棱锥B-PQM的体积【答案】（1）证明：，是的中点，四边形是平行四边形，25如图，在四棱锥中， 底面，以为圆心， 为半径的圆过点.(1)证明: 平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)见解析(2) 即，