1、2022年高考数学复习新题速递之不等式（2021年9月）一选择题（共12小题）1（2021秋上高县校级月考）设a，b，c，d为实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是（）Aa2cdBacbdCacbdD2（2021河南开学）若aln，b0.02sin0.01，c0.01sin0.02则（）AabcBacbCbcaDcab3（2021春贵溪市校级期末）已知不等式x2+ax+b0的解集是x|2x4，则a+b（）A10B6C0D24（2020吉林四模）已知二次函数f（x）ax2+bx在1，+）上单调递减，则a，b应满足的约束条件为（）ABCD5（2021瑞安市校级模拟）若实数x，y满足约束条件，则z
2、3x+y的最大值为（）A5B7C9D106（2021成都开学）已知关于x的不等式0的解集为（m，n），则m+n的值为（）A5BC4D5或7（2021辽宁开学）已知定义在R上的偶函数f（x）|xm+1|2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）m，则+的最小值为（）ABCD8（2021苏州开学）设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（）ABab+9Ca2+b24ab3b2Da|ab|b9（2021秋泉州月考）已知两个正实数x，y满足x2ylnylnx，则下列式子中一定不成立的是（）Axy1Byx1C1xyDxy110（2020秋浦东新区校级期末）已知f（x）ax2+bx+c（a0），若不等式f（
3、x）0的解集为（，1）（，+），则不等式f（10x）0的解集为（）A（，1）（lg2，+）B（1，lg2）C（lg2，+）D（，lg2）11（2021东湖区校级开学）若m0，n0，m+n3，则+的最小值为（）A2B6C9D312（2021秋蚌埠月考）若a0，b0，则2a+b的最小值为（）A6BCD二填空题（共5小题）13（2021东湖区校级开学）已知关于x的不等式ax2+bx+10的解集是x|1x2，则a+2b 14（2021秋五华区校级月考）已知实数a，b满足a2b2，则的最小值为 15（2020秋徐汇区校级期末）不等式log2x+2x2的解集为 16（2021扬中市校级开学）正实数a，b，
4、c满足a23ab+4b2c0，当取得最大时，的最大值为 17（2021春古城区校级期中）若x，y满足约束条件，zx+2y+a的最大值为6，则a 三解答题（共5小题）18（2021巴林右旗校级开学）回答下列问题：（1）若不等式ax2+3x+20的解集为x|bx1，求a，b的值；（2）求关于x的不等式ax2+3x+2ax1（其中a0）的解集19（2021兰陵县校级开学）（1）已知0x，求yx（12x）的最大值（2）已知x3，求f（x）+x的最大值20（2021子洲县校级开学）解不等式（1）x（7x）12；（2）21（2021春兴庆区校级期末）某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利
5、用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？22（2021成都开学）已知函数f（x）ax23x+b，其中a，bR（1）若关于x的不等式f（x）0的解集为（4，1），求a，b的值；（2）当a0，且ab时，求不等式f（x）0的解集2022年高考数学复习新题速递之不等式（2021年9月）参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1（2021秋上高县校级月考）设a，b，c，d为实数，且ab0cd，则下列不等式正确的是（）Aa2cdBacbdCacbdD【考点】不等关系与不等式；不等式的基本性质菁优网版权所有【专题】计算题；对应思想；作差法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】举反例
6、可判断选项A、B、C错误；利用作差法证明选项D正确【解答】解：当a3，c2，d3时，a2cd，故选项A错误；当a3，b1，c2，d3时，acbd，故选项B错误；当a3，b1，c2，d3时，acbd，故选项C错误；因为ab0cd，所以0，故0，D选项正确故选：D【点评】本题考查了不等式的性质及作差法证明不等式，属于基础题2（2021河南开学）若aln，b0.02sin0.01，c0.01sin0.02则（）AabcBacbCbcaDcab【考点】不等式比较大小菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；转化思想；转化法；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数学运算【分析】可判断a0，b0，c0，即可
7、知a最小，构造函数f（x），求导f（x），再构造函数g（x）xcosxsinx，再求导g（x）cosxxsinxcosxxsinx，即可判断函数的单调性，从而判断大小【解答】解：alnln10，b0.02sin0.010，c0.01sin0.020，令f（x），f（x），令g（x）xcosxsinx，g（x）cosxxsinxcosxxsinx，故当x（0，）时，g（x）0，故g（x）xcosxsinx在（0，）上单调递减，而g（0）0，故当x（0，）时，f（x）0，故f（x）在（0，）上单调递减，故，即0.02sin0.010.01sin0.02，即bc，故acb，故选：B【点评】本题考查了
8、导数的综合应用，同时考查了转化思想与不等式的判断即解法，属于难题3（2021春贵溪市校级期末）已知不等式x2+ax+b0的解集是x|2x4，则a+b（）A10B6C0D2【考点】一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】先得到方程x2+ax+b0的两根分别为2、4，再利用根与系数的关系即可求解【解答】解：不等式x2+ax+b0的解集是x|2x4，方程x2+ax+b0的两根分别为2、4，a+b10，故选：A【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于中档题4（2020吉林四模）已知二次函数f（x）ax2+bx
9、在1，+）上单调递减，则a，b应满足的约束条件为（）ABCD【考点】二元一次不等式组菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算【分析】根据二次函数的图象，在1，+）上单调递减，开口向下，对称轴，即可求解a，b应满足的约束条件【解答】解：由二次函数f（x）ax2+bx在1，+）上单调递减，开口向下，即a0，对称轴，可得b2a，即2a+b0；故选：D【点评】本题考查二次函数的图象性质和单调性的应用，属于基础题5（2021瑞安市校级模拟）若实数x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值为（）A5B7C9D10【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合
10、；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由实数x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立 ，解得A（2，3），由z3x+y，得y3x+z，由图可知，当直线y3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为32+39故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题6（2021成都开学）已知关于x的不等式0的解集为（m，n），则m+n的值为（）A5BC4D5或【考点】其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的
11、解法及应用；数学运算【分析】先把分式不等式的转化为一元二次不等式，再根据解集得到方程（mx1）（x+3）0的两根为m，n，且m0，mn【解答】解：不等式0的解集为（m，n），（mx1）（x+3）0的解集为（m，n），方程（mx1）（x+3）0的两根为m，n，且m0，mn，或，（舍去）或，m+n，故选：B【点评】本题考查不等式的解法，主要考查把分式不等式转化为一元二次不等式，考查运算能力，属于中档题7（2021辽宁开学）已知定义在R上的偶函数f（x）|xm+1|2，若正实数a、b满足f（a）+f（2b）m，则+的最小值为（）ABCD【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法
12、；不等式的解法及应用；数学运算【分析】先根据偶函数，代入特殊值求出参数，再代入化简f（a）+f（2b）m，合理构造，再使用均值不等式可得【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）|xm+1|2，f（1）|1m+1|2f（1）|1m+1|2，|m|2m|，m1，f（x）|x|2，正实数a、b满足f（a）+f（2b）m，f（a）+f（2b）a2+2b21，即a+2b5，+（+）（）+，当且仅当4b23a2时取等号故选：B【点评】本题考查奇偶性，均值不等式，属于基础题8（2021苏州开学）设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（）ABab+9Ca2+b24ab3b2Da|ab|b【考点】基本不等式及其应
13、用菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】可以带特殊值判断选项错误【解答】解：令ab1，则A错；令a1，b，则B错；令a5，b4，则C错；故选：D【点评】本题考查不等式，可以借助特殊值，单调性等方法，属于基础题9（2021秋泉州月考）已知两个正实数x，y满足x2ylnylnx，则下列式子中一定不成立的是（）Axy1Byx1C1xyDxy1【考点】不等式比较大小菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；转化法；函数的性质及应用；不等式；数学运算【分析】根据题意构造函数，分类讨论即可求出【解答】解：由x2ylnylnx，则x2+lnxy+lny，可知f（x）x+l
14、nx在（0，+）上单调递增，当0x1时，y+lnyx2+lnxx+lnx，故f（y）f（x），即0yx1，故B正确；当x1时，y+lnyx2+lnxx+lnx，故f（y）f（x），即xy1，故D正确；当x1时，y+lnyx2+lnxx+lnx，故f（y）f（x），即1xy，故C正确；故选：A【点评】本题考查了不等式的性质，函数的单调性，考查了运算求解能力，属于基础题10（2020秋浦东新区校级期末）已知f（x）ax2+bx+c（a0），若不等式f（x）0的解集为（，1）（，+），则不等式f（10x）0的解集为（）A（，1）（lg2，+）B（1，lg2）C（lg2，+）D（，lg2）【考点】一元
15、二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由题意可得二次函数yax2+bx+c与x轴的交点为（1，0），（，0）且a0，再利用二次函数yax2+bx+c在（，+）上为减函数，即可求解【解答】解：不等式f（x）0的解集为（，1）（，+），二次函数yax2+bx+c与x轴的交点为（1，0），（，0）且a0，二次函数yax2+bx+c在（，+）上为减函数，10x0，f（10x）0f（），10x，xlglg2，不等式f（10x）0的解集为（，lg2）故选：D【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关
16、键11（2021东湖区校级开学）若m0，n0，m+n3，则+的最小值为（）A2B6C9D3【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；定义法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算【分析】根据题意可得+（m+n）（+）（5+），从而即可运用基本不等式求出+的最小值【解答】解：由m+n3，得（m+n）1，又m0，n0，所以+（m+n）（+）（5+）（5+2）3，当且仅当，n2m，即n2，m1时等号成立，所以+的最小值为3故选：D【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题12（2021秋蚌埠月考）若a0，b0，则2a+b的最小值为（）A6
17、BCD【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；整体思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】化简2a+b（2a+b）（+）+3，再利用基本不等式求解即可【解答】解：a0，b0，2a+b（2a+b）（+）+32+3，（当且仅当，即a，b+1时，等号成立）故选：B【点评】本题考查了利用基本不等式求最值，同时考查了整体代换，属于基础题二填空题（共5小题）13（2021东湖区校级开学）已知关于x的不等式ax2+bx+10的解集是x|1x2，则a+2b【考点】一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算【分析】根据ax2+bx+10的解
18、集是x|1x2，则ax2+bx+10的解是x1或x2，代入解出即可【解答】解：ax2+bx+10的解集是x|1x2，ax2+bx+10的解是x1或x2，代入得，解之得a，b，则a+2b，故答案为：【点评】本题考查解不等式，属于基础题14（2021秋五华区校级月考）已知实数a，b满足a2b2，则的最小值为 4【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算【分析】实数a，b满足a2b2，可得a2b+2，代入，利用基本不等式即可得出【解答】解：实数a，b满足a2b2，a2b+2，则22b+2+44b+24，当且仅当4b，解得b时取等号
19、的最小值为4故答案为：4【点评】本题考查了指数运算性质、基本不等式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15（2020秋徐汇区校级期末）不等式log2x+2x2的解集为 （0，1）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；其他不等式的解法；指、对数不等式的解法菁优网版权所有【专题】函数思想；转化思想；构造法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】可设f（x）log2x+2x2，x（0，+），判断f（x）的单调性，求出f（x）的零点，从而求出不等式的解集【解答】解：由题意，设f（x）log2x+2x2，x（0，+）；则f（x）在定义域（0，+）上是单调增函数，且f（1）log21+220，所以
20、f（x）在定义域（0，+）有唯一的零点是1，所以f（x）0的解集为（0，1），即不等式的解集为（0，1）故答案为：（0，1）【点评】本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的应用问题，是基础题16（2021扬中市校级开学）正实数a，b，c满足a23ab+4b2c0，当取得最大时，的最大值为 1【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】对应思想；转化法；不等式；数学运算【分析】由条件可得ca23ab+4b2，可得，运用基本不等式可得a2b时，取得最大值，求得c2b2，代入运用二次函数的性质求出其最大值即可得答案【解答】解：正实数a，b，c满足a23ab+4b2c0，可得ca23ab+4b2，
21、由+24，当且仅当a2b取得等号，则a2b时，取得最大值，且c2b2，+（1）2+1，当b1时，+取得最大值，且为1，故答案为：1【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值17（2021春古城区校级期中）若x，y满足约束条件，zx+2y+a的最大值为6，则a1【考点】简单线性规划菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可求得a值【解答】解：由约束
22、条件作出可行域如图，联立，得A（1，2），由zx+2y+a，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为5+a6，则a1故答案为：1【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题三解答题（共5小题）18（2021巴林右旗校级开学）回答下列问题：（1）若不等式ax2+3x+20的解集为x|bx1，求a，b的值；（2）求关于x的不等式ax2+3x+2ax1（其中a0）的解集【考点】一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；分类讨论；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）将x1代入ax2+3x+20求出a的值，再利用根与系数的关系求出b的值（
23、2）把不等式ax2+3x+2ax1化为（ax+3）（x+1）0，讨论a的取值，从而求出对应不等式的解集【解答】解：（1）不等式ax2+3x+20的解集为x|bx1，方程ax2+3x+20两根为b，1且a0，将x1代入ax2+3x+20，得a5，b1，b（2）不等式ax2+3x+2ax1可化为ax2+（a+3）x+30，即（ax+3）（x+1）0，当0a3时，1，不等式的解集为x|x1或x，当a3时，1，不等式的解集为x|x1，当a3时，1，不等式的解集为x|x1或x，综上所述，原不等式解集为当0a3时，x|x或x1，当a3时，x|x1，当a3时，x|x1或x【点评】本题考查了含有字母系数的不等
24、式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，属于中档题19（2021兰陵县校级开学）（1）已知0x，求yx（12x）的最大值（2）已知x3，求f（x）+x的最大值【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】利用配凑法配凑出基本不等式使用的条件：一正二定三相等（1）配凑出“和定”，（2）（3）配凑出“积定”【解答】解：（1）因为，所以12x0，所以，当且仅当时取“”则函数的最大值为（2）因为x3，所以3x0，所以，当且仅当时取“”则函数的最大值为1【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题20（2021子洲县校级开学）
25、解不等式（1）x（7x）12；（2）【考点】一元二次不等式及其应用；其他不等式的解法菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得，（2）移项通分整理，再转化为一元二次不等式计算求解即得【解答】解：（1）x（7x）12x27x+120（x3）（x4）0，解得：3x4，不等式的解集为3，4（2）且x2，解得：x5或x2，不等式的解集为（，2）5，+）【点评】本题考查解一元二次不等式和分式不等式，属于基础题21（2021春兴庆区校级期末）某工厂需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材
26、料最省，则堆料场的长和宽分别为多少？【考点】基本不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算【分析】先求出L2x+（x0），再利用基本不等式求最值即可【解答】解：设场地一边长为x m，则另一边长m因此新墙总长度L2x+（x0），2x+264，当且仅当2x，即x16时取等号，当x16时，函数取得最小值x16，32，故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省【点评】本题考查了利用基本不等式的性质，解决实际问题，属于基础题22（2021成都开学）已知函数f（x）ax23x+b，其中a，bR（1）若关于x的不等式f（x）0的解集为（4，
27、1），求a，b的值；（2）当a0，且ab时，求不等式f（x）0的解集【考点】一元二次不等式及其应用菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算【分析】（1）根据不等式的解集可得f（x）0的两个根，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可（2）先讨论，再利用一元二次不等式与二次函数图象的关系即可求解【解答】解：（1）关于x的不等式f（x）0的解集为（4，1），方程ax23x+b0的两根为4，1，且a0，（2）当a0，且ab时，不等式f（x）0ax23x+a0，当94a20，即a时，xR，当94a20，即a0时，方程ax23x+a0的两根为，x或x，综上，当a时，不
28、等式的解集为R，当a0时，不等式的解集为（，+）【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于中档题考点卡片1指数函数的定义、解析式、定义域和值域【知识点归纳】指数函数的解析式、定义、定义域、值域1、指数函数的定义：一般地，函数yax（a0，且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+）2、指数函数的解析式：yax（a0，且a1）3、理解指数函数定义，需注意的几个问题：因为a0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义；如果a0，比
29、如y（4）x，这时对于x，x在实数范围内函数值不存在如果a1，y1x1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a0且a12不等关系与不等式【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说ab，ab0就是不等式【不等式定理】对任意的a，b，有abab0；abab0；abab0，这三条性质是做差比较法的依据如果ab，那么ba；如果ab，那么ba如果ab，且bc，那么ac；如果ab，那么a+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+
30、d如果ab，且c0，那么acbc；如果c0，那么acbc【例题讲解】例1：解不等式：sinx 解：sinx，2k+x2k+（kZ），不等式sinx的解集为x|2k+x2k+，kZ 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解例2：当ab0时，ab 证明：由ab0，知0 又ab，ab，即； 若，则ab 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广3不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方
31、法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a0，b0，则p与qa+b的大小关系为（）Apq Bpq Cpq Dpq解：pqab（b2a2），a0，b0，a+b0，ab0，若ab，则pq0，此时pq，若ab，则pq0，此时pq，综上pq，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，的大小顺序是（）A B C D解：由指数函数的单调性可知
32、，由幂函数的单调性可知，则，故，故选：B4一元二次不等式及其应用【概念】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式【特征】 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）（xx2） 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）2 当b24ac0时一元二次方程ax2+bx+c0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点【实例解析】例1：一元二次不等式x2
33、x+6的解集为 解：原不等式可变形为（x3）（x+2）0所以，2x3故答案为：（2，3） 这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解【一元二次不等式的常见应用类型】一元二次不等式恒成立问题：一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R的等价条件是：a0且0；一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R的等价条件是：a0且0分式不等式问题：0f（x）g（x）0；0f（x）g（x）0；0；05二元一次不等式组【二元一次不等式概念】 二元表示有两个未知量，一
34、次表示两个未知量的指数为1，不等式，即由二元一次函数构成的不等式，如x+y1；不等式组表示的是由两个或两个以上的二元一次不等式，在线性规划当中我们常看到这样的二元一次不等式组【二元一次不等式组的解法】如果仅有两个不等式组，则主要方法是先使两个不等式大于小于的符号一致，然后在进行加减 如然后+3x0x0；同理可得y4；如果大于两个不等式组，则可做出他的可行域，一般表示的是一个区间【实例解析】例：如图中阴影部分可用一组二元一次不等式组来表示，则这一不等式组是 解：由阴影部分知x0，y1，又过点（1，0）和（0，2）的直线方程为：2xy+20且将原点的坐标代入此直线方程的左边得：200+20，故2x
35、y+20，所求二元一次不等式组为 这个题是比较典型的二元一次不等式方程组，表示的是一个区间，解题的步奏先是求出边界线的函数表达式，然后判断是大于还是小于，比如说2xy+20可以理解成y2x+2，即y在这条直线的下方，通过这种判定最后求出不等式方程组【考点预测】 不等式方程组的核心是线性规划，这里面要求会判断直线左边右边是什么含义，然后通过画出可行域求其他函数的最值，是一个常考点，一般以选择题、填空题的形式出现，希望大家重视6简单线性规划【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优
36、解可以用数形结合方法求出我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值【例题解析】例：若目标函数zx+y中变量x，y满足约束条件（1）试确定可行域的面积；（2）求出该线性规划问题中所有的最优解 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），则可行域的面积S （2）由zx+y，得yx+z，则平移直线yx+z，则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线yx+z得截距最小，此时z最小为z2+35，当直线经过点B（4，3）时，直线yx+z得截距最大，此时z最大为z4+37，故该线性
37、规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值【典型例题分析】题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线ykx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （）A B C D分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可解答：不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx+过定点（0，）因此只有直线过AB中点时，直线ykx+能平
38、分平面区域因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）当ykx+过点（，）时，+，所以k答案：A点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点题型二：求线性目标函数的最值典例2：设x，y满足约束条件：，求zx+y的最大值与最小值分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y0来寻找最优解，求出目标函数的最值解答：先作可行域，如图所示中ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y0，再将直线l0平移
39、，当l0的平行线l1过点B时，可使zx+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使zx+y达到最大值故zmin2，zmax7点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系题型三：实际生活中的线性规划问题典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本
40、）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A50，0 B30，20 C20，30 D0，50分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题解析设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx+0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大故答案为：B点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性
41、规划问题，再按如下步骤完成：（1）作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；（2）平移将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；（3）求值解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值题型四：求非线性目标函数的最值典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最
42、大值（2）依题意得，+（x+1，y），|+|可视为点（x，y）与点（1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（1，0）向直线x+y2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是故答案为：（1）（2）点评：常见代数式的几何意义有（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率【解题方法点拨】1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化2在通过
43、求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值7其他不等式的解法【知识点的知识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解特例：一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）解的讨论（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想
44、；应用化归思想等价转化注：常用不等式的解法举例（x为正数）：8基本不等式及其应用【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：（a0，b0），变形为ab（）2或者a+b2常常用于求最值和值域【实例解析】例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是 A：a，b均为负数，则 B： C： D：解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件对于C选项中sinx2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值故选：C A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个
45、组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便例2：利用基本不等式求的最值？当0x1时，如何求的最大值 解：当x0时，y0，当x0时，用基本不等式若x0时，0y，若x0时，y0，综上得，可以得出y，的最值是与 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果【基本不等式的应用】1、求最值例1：求下列函数的值域2、利用基本不等式证明
46、不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【解题方法点拨】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值技巧二：凑系数例2：当0x4时，求yx（82x）的最大值解析：由0x4知，82x0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值注意到2x+（82x）8为定值，故只需将yx（82x）凑上一个系数即可yx（82x）2x（82x）（）28当2x82x，即x2时取等号，当x2时，yx（8x2）的最大值为8评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值技巧三：分离例3：求
47、y的值域解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离y（x+1）+5，当x1，即x+10时，y2+59（当且仅当x1时取“”号）技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令tx+1，化简原式在分离求最值技巧五：结合函数f（x）x+的单调性技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式9指、对数不等式的解法【概述】 指、对数不
48、等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解【例题解析】例1：已知函数f（x）ex1（e是自然对数的底数）证明：对任意的实数x，不等式f（x）x恒成立 解：（I）设h（x）f（x）xex1xh（x）ex11，当x1时，h（x）0，h（x）为增，当x1时，h（x）0，h（x）为减，当x1时，h（x）取最小值h（1）0h（x）h（1）0，即f（x）x 这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力例2：已知函数f（x）loga（x1），g（x）loga（
49、3x）（a0且a1），利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）g（x）中x的取值范围 解：不等式f（x）g（x），即 loga（x1）loga（3x），当a1时，有，解得 2x3当1a0时，有，解得 1x2综上可得，当a1时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（2，3）；当1a0时，不等式f（x）g（x）中x的取值范围为（1，2） 这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以【考点点评】 本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一个比较重要的考点，希望大家好好学习10不等式的基本性质【知识点的认识】1不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：abab0；abab0；abab0（2）不等式的基本性质对称性：abba； 传递性：ab，bcac；可加性：aba+cb+c同向可加性：ab，cda+cb+d；可积性：ab，c0acbc；ab，c0acbc；同向整数可乘性：ab0，cd0acbd；平方法则：ab0anbn（nN，且n1）；开方法则：ab0（ nN，且n1）声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/9/18 14:23:05；用户：招远8；邮箱：zybzy8；学号：40292118