1、北京市朝阳区六校联考2019-2020学年高三年级四月份测试数学试卷A第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知命题：，那么命题的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【详解】原命题是全称命题，命题的否定是“，”.故选：A.【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2.下列函数中既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇函数的性质和函数的单调性逐项判断即可得解.【详解】对于A，不是奇函数，
2、故A错误；对于B，所以为偶函数不是奇函数，故B错误；对于C，所以为奇函数；由，当时，故在上单调递减，故C正确；对于D，由正弦函数的单调性可知，函数在上单调递增，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了奇函数性质的应用和常见函数的单调性，考查了利用导数判断函数的单调性，属于基础题.3.设集合，则以下集合P中，满足的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合A，解指数不等式求得集合B，即可确定，进而判断各选项即可.【详解】集合，解得或，解得，则，所以，对比四个选项可知，只有C符合，故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式和指数不等式的解法，集合补集和交集的简
3、单运算，属于基础题.4.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得，即可得解.【详解】由对数函数的单调性可知，由正切函数的性质得，故.故选：A【点睛】本题考查了利用对数函数单调性比较大小，考查了正切函数的性质，属于基础题.5.若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图是某四面体的三视图，则这个四面体的直度为（ ）A. B. C. D. 1【答案】D【解析】【分析】根据三视图，还原空间几何体，即可确定四面体中直角三角形个数，即可得解.【详解】由三视图还原空间几何体如下图所示：则四面体为，由图可知，四面体
4、中有4个直角三角形，分别为，由题意可知这个4面体的直度为，故选：D.【点睛】本题考查根据三视图还原空间几何体，立体几何中新定义的简单应用，属于基础题.6.已知向量，若，则在上的投影是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据坐标先求得向量，结合平面向量数量积的运算律求得，即可由平面向量投影的定义求得在上的投影.【详解】向量，则，因为，则，即，所以，在上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于基础题.7.已知，则“”是“是直角三角形”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D.
5、既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】若，则或；若，则；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】若，则或，不能推出是直角三角形；若，则，所以是直角三角形不能推出;所以“”是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于基础题.8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数构成的数列的第项，则的值为（ ）A. 5049B. 5050C. 5051D. 5101【答案】B【解析】分析】观察数列的前4项，可得，代入即可得解.【详解
6、】由题意得，观察规律可得，所以.故选：B.【点睛】本题考查了观察法求数列的通项公式，属于基础题.9.已知双曲线的渐近线与抛物线交于点，直线AB过抛物线M的焦点，交抛物线M于另一点B，则等于（ ）A. 3.5B. 4C. 4.5D. 5【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，将点A的坐标求出后代入抛物线方程，即可求得抛物线的方程和焦点坐标，由A和焦点坐标可得直线AB的方程，联立直线AB的方程和抛物线方程，化简后由韦达定理可得，即可由求解.【详解】双曲线，双曲线的渐近线方程为，不妨取，双曲线渐近线与抛物线交于点，则将点A代入可得，将点A代入抛物线方程可得，则，所以抛物线，焦点坐标为
7、，直线AB过抛物线M的焦点，则由A和焦点坐标可得直线AB的方程为，直线AB与抛物线交于，联立抛物线方程，化简可得，则，所以，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法，属于基础题.10.关于函数，有以下三个结论：函数恒有两个零点，且两个零点之积为；函数的极值点不可能是；函数必有最小值其中正确结论的个数有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】D【解析】【分析】把函数的零点转化为函数的零点，即可判断；求得后代入，根据是否为0即可判断；设的两个实数根为，且，结合可得当时，再证明即可判断；即可得解.【详解】由题意函数的零点即为函数的零点，令，则
8、，所以方程必有两个不等实根，设，由韦达定理可得，故正确；，当时，故不可能是函数的极值点，故正确；令即，设的两个实数根为，且，则当，时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以为函数极小值；由知，当时，函数，所以当时，又 ，所以，所以，所以为函数的最小值，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了函数与导数的综合问题，考查了推理能力，属于中档题.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11.在的二项展开式中，的系数为_（用数字作答）【答案】-80【解析】【分析】由二项定理展开式通项，即可确定的系数.【详解】在的二项展开式中，由展开式通项可得，令，解得，所以系数为，故答案为
9、：.【点睛】本题考查了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.12.设复数z在复平面内对应的点位于第一象限，且满足，则z的虚部为_，_【答案】 (1). 4 (2). 【解析】【分析】设出复数，结合条件即可求得复数，进而由复数的定义和除法运算即可得解.【详解】复数z在复平面内对应的点位于第一象限，设复数，所以，因为满足，则，解得，所以，所以的虚部为4；由复数除法运算化简可得，故答案为：4；.【点睛】本题考查了复数的概念和几何意义简单应用，复数的除法运算，属于基础题.13.设无穷等比数列的各项为整数，公比为，且，写出数列的一个通项公式_【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根
10、据题意可知首项与公比都为整数，结合不等可求得，即可取一个负数作为首项得数列的通项公式.【详解】无穷等比数列的各项为整数，则公比为整数，且，则，变形可得，所以，当时，数列的一个通项公式为，故答案为：.（答案不唯一）【点睛】本题考查了数列的简单应用，由等比数列的通项公式及不等式确定首项的范围，开放性试题只需写出一个符合要求的解即可，属于中档题.14.在平面直角坐标系中，已知点，为直线上的动点，关于直线的对称点记为，则线段的长度的最大值是_.【答案】【解析】【分析】转化条件得点轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包括点），由即可得解.【详解】关于直线的对称点记为，为直线上的动点，点轨迹为以为圆心，为半径的
11、圆（不包括点），如图，又 ，.故答案为：.【点睛】本题考查了圆上点到定点距离最值的求解，考查了转化化归思想，属于中档题.15.关于曲线，给出下列四个结论：曲线C关于原点对称，但不关于x轴、y轴对称；曲线C恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点都不在圆的内部；曲线C上任意一点到原点的距离都不大于其中，正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据关于原点、x轴、y轴对称的横纵坐标特点，代入即可判断；取的整数值，代入求得的值即可判断；由基本不等式确定的最大值，即可判断；由两点间距离公式及基本不等式，化简即可判断；【详解】曲线，对于，将替换，替换，代入可得，所以曲线C关于原点
12、对称；将替换，代入可得，所以曲线C不关于y轴对称；将替换，代入可得，所以曲线C不关于轴对称；所以正确；对于，当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；当时，代入可得，所以经过；所以至少有六个整点在曲线C上，所以错误；对于，由可知，而，所以，解得，即，则，同理，解得，所以，则错误；对于，由可知，所以，故正确，综上可知，正确的为，故答案为：.【点睛】本题考查了由曲线方程研究曲线性质的应用，由基本不等式确定取值范围的应用，属于中档题.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.已知（I）求的最小正周期和单调递增区间；（II）当时，若，求
13、x的取值范围【答案】（I）（II）【解析】【分析】（I）由正弦和角与差角公式，结合辅助角公式化简函数解析式，即可求得最小正周期，结合正弦函数图像与性质可求得单调递增区间；（II）根据（I）所得函数解析式，由可得，可知，结合正弦函数的图像即可确定x的取值范围【详解】（I）由正弦和角与差角公式，结合辅助角公式化简函数解析式可得，所以由，得，故的单调递增区间为：（）因为，则，若，则，画出正弦函数在内的函数图像如下图所示：结合正弦函数图像可知，当或，解得，所以当时，x的取值范围为【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦函数图像与性质的综合应用，属于基础题.17.体温是人体健康状况的直接反应，一般认为成
14、年人腋下温度T（单位：）平均在之间即为正常体温，超过即为发热发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：；高热：；超高热（有生命危险）：某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗医生根据病情变化，从14日开始，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：抗生素使用情况没有使用使用“抗生素A”疗使用“抗生素B”治疗日期12日13日14日15日16日17日18日19日体温（）38.739.439.740.139.939.238.939.0抗生素使用情况使用“抗生素C”治疗没有使用日期20
15、日21日22日23日24日25日26日体温（）38.438.037.637.136.836.636.3（I）请你计算住院期间该患者体温不低于各天体温平均值；（II）在19日23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目“a项目”的检查，记X为高热体温下做“a项目”检查的天数，试求X的分布列与数学期望；（III）抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的高峰，开始杀灭细菌，达到消炎退热效果假设三种抗生素治疗效果相互独立，请依据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最佳，并说明理由【答案】（I）平均值为（II）分布列见解析，（III）“抗生素C”治疗效果最佳，理由见解析
16、.【解析】【分析】（I）根据所给表格，可计算体温不低于的各天体温平均值；（II）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，分别求得各自的概率，即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断.【详解】（I）由表可知，该患者共6天的体温不低于，记平均体温为，所以，患者体温不低于的各天体温平均值为（）X的所有可能取值为0，1，2，则X的分布列为：X012 所以（）“抗生素C”治疗效果最佳，理由如下：“抗生素B”使用期间先连续两天降温后又回升，“抗生素C”使用期间持续降温共计，说明“抗生素C”降温效果最好，故“抗生素C”治疗效果最佳“抗
17、生素B”治疗期间平均体温，方差约为0.0156：“抗生素C”平均体温，方差约为0.1067，“抗生素C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素C”治疗效果最佳【点睛】本题考查了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法， 分析实际问题方案的解决方法，属于中档题.18.在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且，（I）求证：；（II）求二面角_的余弦值；从，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（III）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行【答案】（I）见解析（II）见解析（III）
18、见解析【解析】【分析】（I）根据面面垂直的性质及线面垂直的判定定理，可证明平面，进而证明；（II）在平面内过点D作，交于H，以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得各平面法向量，由法向量法即可求得各二面角的大小；（III）假设棱BC上存在点F，设表示出，设，可得关于的方程组，方程组无解即可确定与不平行.【详解】（I）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以（）选择：在平面内过点D作，交于H由（I）可知，平面，所以故两两垂直，如图，以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则因为平面，所以平面的一个法向量为而，设
19、平面的一个法向量为则由，得，取，有所以由题知二面角为锐角，故二面角的余弦值为选择：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）平面ABCD的一个法向量为；平面PBD的一个法向量为；二面角为钝角：二面角的余弦值为选择：（下面给出关键点供参考，若与上面建系相同，）平面ABCD的法向量；平面PBC的法向量；二面角为锐角；二面角的余弦值为（）假设棱BC上存在点F，设依题意，可知，设，则，而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用，由空间向量法求二面角大小，线线平行的向量证明方法，属于中档题.19.已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，
20、两点，当直线与轴垂直时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在点【解析】【分析】（1）由题意可得方程解方程后即可得解；（2）设直线，假设存在点，设，由题意，联立方程组表示出、，代入即可得解.【详解】（1）由题意得，解得:，. 所以椭圆的标准方程为：.（2）依题意，若直线的斜率不为零，可设直线，.假设存在点，设，由题设，且，.设直线，的斜率分别为，则，. 因为，在上，故， 而轴上任意点到直线，距离均相等等价于“平分”，继而等价于. 则. 联立，消去得：，
21、有，.则，即，故或（舍）. 当直线的斜率为零时，也符合题意.故存在点，使得轴上任意点到直线，距离均相等.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解，考查了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题.20.已知函数.（1）若曲线在处的切线与轴平行，求；（2）已知在上的最大值不小于，求的取值范围；（3）写出所有可能的零点个数及相应的的取值范围.（请直接写出结论）【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）由题意结合导数的几何意义可得，即可得解；（2）原命题等价于在上有解，设，通过求导可得，由有解问题的解决方法即可得解；（3）令，显然不成立，若，则，令，求导后画出函数的草图数形结合即可
22、得解.【详解】（1）因为，故. 依题意，即. 当时，此时切线不与轴重合，符合题意，因此.（2）当时，最大值不小于2在上有解，显然不是解，即在上有解，设，则. 设 ，则.所以在单调递减， ，所以，所以在单调递增，所以. 依题意需，所以的取值范围为. （3）当时，有0个零点；当时，有1个零点当时，有2个零点；当时，有3个零点.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了数形结合思想和转化化归思想，考查了推理能力，属于中档题.21.已知集合，对于，定义A与B的差为；A与B之间的距离为（I）若，试写出所有可能的A，B；（II），证明：（i）；（ii）三个数中至少有一个是偶数；（III）设，中有m（，且为奇
23、数）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为，证明：【答案】（I）；（II）（i）见解析（ii）见解析（III）见解析【解析】【分析】（I）根据定义，结合即可确定所有可能的A，B；（II）（i）由，令，讨论和即可代入绝对值式子化简，即可证明；（ii）设，记，设t是使成立的i的个数， 结合（i）中的结论可得，由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，得证.（III）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，则可得，根据P为奇数可得，因而，即可证明不等式成立.【详解】（I）根据定义及，可知有以下四种情况：；（）令，（i）证明：对，当时，有，当时，有所以（）证明：设，记，由（I）可知，所以中1的个数为k，的1的个数为l设t是使成立的i的个数，则由此可知，k，l，h三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数（）记为P中所有两个元素间距离的总和，设P中所有元素的第i个位置的数字中共有个1，个0，则因为m为奇数，所以,且或时，取等号所以所以【点睛】本题考查了集合新定义的综合应用，对分析问题、解决问题的能力要求高，读懂题意并正确分析解决思路是关键，对思维能力要求高，属于难题.