1、数 列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要等差数列1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求
2、出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用： 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ，即是关于项数
3、的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。（3）当时， 因为 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析等比数列1、定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2、等比数列通项公式：，也可以为：3、等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均
4、为的等比中项（3）若为等比数列，则有4、等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有 数列（为常数）为等比数列 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 数列为等比数列 数列为等比数列6、等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：数列的求和的方法（1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： （3）错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的
5、作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多（5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性
6、求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有 ，多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和，则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，1、 对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除
7、。2、 对于解答题若涉及到求和问题一定眼验证，确保答案的正确。1、记为等差数列的前n项和已知，则ABCD【答案】A【解析】由题知，解得，,故选A2、已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C3、已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A16B8C4D2【答案】C【解析】设正数的等比数列an的公比为，则，解得，故选C4、已知等差数列an的前n项和为Sn，公差，且记，下列等式不可能成立的是ABCD【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，A正确；对于B，由题
8、意可知，根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，当时，C正确；对于D，当时，即；当时，即，所以，D不正确故选：D.5、在等差数列中，记，则数列A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B6、设a，bR，数列an满足a1=a，an+1=an2+b，则A 当B 当C 当D 当【答案】A【解析】当b=0时，取a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使
9、得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.当时，则，.（）当时，则， ，则， ，故A项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.7、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A3699块B3474块C3402块D3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是
10、以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C8、我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列数列的前3项和是_【答案】【解析】因为，所以即故答案为：.9、设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q的等比数列已知数列an+bn的前n项和，则d+q的值是 【答案】【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：.10、将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列
11、an，则an的前n项和为_【答案】【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.11、记Sn为等比数列an的前n项和若，则S5=_【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以12、记Sn为等差数列an的前n项和，则_【答案】4【解析】设等差数列an的公差为d,因，所以，即，所以13、设等差数列an的前n项和为Sn，若a2=3，S5=10，则a5=_，Sn的最小值为_【答案】 0，.【解析】等差数列中,得又,所以公差,由等差数列的性质得时
12、,时,大于0,所以的最小值为或,即为.14、已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是_【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.15、设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.16、设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【解析】（1） 猜想 由已知可得，.因为，所以（2）由（1）得，所以. 从而. 得，所以 17、已知公比大于的等比数列满足
13、（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【解析】（1）设的公比为由题设得，解得（舍去），由题设得所以的通项公式为（2）由题设及（1）知，且当时，所以18、已知为等差数列，为等比数列，（）求和的通项公式；（）记的前项和为，求证：；（）对任意的正整数，设求数列的前项和【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由，可得，从而的通项公式为由，又，可得，解得，从而的通项公式为（）证明：由（）可得，故，从而，所以（）解：当为奇数时，；当为偶数时，对任意的正整数，有，和 由得 由得，从而得因此，所以，数列的前项和为19、已知数列an，bn，cn满足（）若bn为等比数列，公比，且
14、，求q的值及数列an的通项公式；（）若bn为等差数列，公差，证明：【解析】（）由得，解得由得由得（）由得，所以， 由，得，因此一、单选题1、莱茵德纸草书（）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（ ）ABCD【答案】A【解析】设等比数列为，其公比为，由题意知，可得，因为，所以，解得或（舍去），当时，可得，解得.故选：A.2、已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（）A2BC3D4【答案】C【解析】a1=12，S5=90，512+ d=90，解得d=3故选C3、已知数列满足且
15、，则（ ）A-3B3CD【答案】B【解析】,数列是以2为公差的等差数列，故选：B.4、在公差不为0的等差数列中，成公比为4的等比数列，则（ ）A84B86C88D96【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据，成公比为4的等比数列，由，得，再结合求解.【详解】设等差数列的公差为因为，成公比为4的等比数列，所以，所以，得所以，所以即，解得故选：B5、已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）A1022B1023C2046D2047【答案】D【解析】由求出的递推关系，再求出后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列
16、前项和公式求解【详解】当时，又，是等比数列，公比为2，首项为1，所以，由得，即，所求和为故选：D6、已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】若存在，由，则可得或，由可得，由可得所以中恒有由，可得所以，即所以所以，即所以，则，所以故选：C7、在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年
17、利润为（ ）（取，）A25000元B26000元C32000元D36000元【答案】C【解析】设1月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，即，年利润为元，故选：C8、设等比数列的前n项和为，首项，且，已知，若存在正整数，使得、成等差数列，则的最小值为（ ）A16B12C8D6【答案】C【解析】由，且，整理得：，所以，因为、成等差数列，所以，所以，因为正整数，所以，所以，所以，当时，不成立；当或时，成立；此时或，当时，此时；所以的最小值为8.故选：C.二、多选题9、已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且
18、，则以下结论正确的有（ ）ABCD【答案】AD【解析】等比数列的公比，和异号， ，故A正确；但不能确定和的大小关系；故B不正确；和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；故选：AD10、已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则是等比数列C若是等差数列，则D若是等比数列，且，则【答案】BC【解析】若，当时，不满足，故A错误.若，则，满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.故选：BC11、等差数列的前项和为，若，公差，则（ ）A若，则B若，则是中最大的项C若，则D若，则【答案】BC【解析】等差
19、数列的前项和，又，可得，所以是关于的开口向下的二次函数，若，则的对称轴，所以根据对称性可知；若，则对称轴为，所以是最大项；若，则，又，所以可得，故；不能判断正负，所以与不能比较大小.故选：BC.12、设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,下列结论正确的是( )AS2019S2020BCT2020是数列中的最大值D数列无最大值【答案】AB【解析】当时，不成立；当时，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：13、已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ）A若，则是等差数列B若，则数列的前项和为C若，则是等比数列D若，则【答案】ACD【解析】
20、因为数列的前项和为，且满足，当时，可得，即，所以，可得，即，又因为，所以，则，可得，故A正确，B不正确.当时，由已知得，即，所以，所以，所以，所以，所以，故C正确，D正确.故选：ACD.三、填空题14、设等比数列满足，则_.【答案】【解析】因为，所以，又，所以，所以.故答案为：15、已知数列的前项和，则数列的前10项和为_【答案】【解析】因为，所以，所以，又满足上式，所以，所以，所以数列的前10项和为，故答案为：16、若数列满足：，则_.【答案】.【解析】.两式相减，得.故是首项为，公差为的等差数列的第项，故.故答案为：.17、把数列中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号
21、三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），则第100个括号内各数之和为_.【答案】1992【解析】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第个括号内共4个数；故前个括号内共有数字个数为；又因为所有括号内的数字构成等差数列，首项为，公差为；因此第个括号内的数字分别为，所以.故答案为：1992.四、解答题18、已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且是等比数列的前项.(1)求;(2)设，求的前项和.
22、【解析】 (1)设数列的公差为，由题意知: 又因为成等比数列，所以，又因为，所以. 由得，所以， ， .(2)因为，所以所以数列的前项和.19、已知公比大于1的等比数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和【解析】（1）由题意可得，求出和，从而可求出数列的通项公式；（2）由题意可得，然后利用错位相减法可求得数列的前项和【详解】解：设的公比为，（1）由整理得，解得或（舍去），（2），20、已知等差数列的前n项和为(1)求的通项公式；(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请
23、说明理由【解析】（1）设等差数列的公差为d，由得，解得，；（2）， ，若，则，整理得，又，整理得，解得，又，存在满足题意21、已知数列满足，且.（1）证明：数列为等比数列；（2）记，是数列前项的和，求证：.【解析】（1）因为，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，则，所以，因此得证.结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型：（1）等差型，其中是公差为的等差数列；（2）无理型；（3）指数型；（4）对数型.22、已知数列的前项和是.（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和是，求使得的最小正整数【解析】（1）利用可得答案；（2）求出利用裂项相消可得答案.【详解】（1），当时，符合上式，所以（2），令，解得，所以最小正整数为1011.23、在，这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列的前项和为， （1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.【解析】（1）选时，当时，因为，所以，由，可得，得，整理得，所以因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以；选时，因为所以当时，得：，即中，令，得，适合上式所以当时，又，所以对任意，（2）因为即所以，于是，得所以
