1、 高考资源网（） 您身边的高考专家沧州一中寒假作业数学（十五）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合，则A. B. C. D. 2. 若复数z满足，其中i为虚数单位，则A. 2B. C. D. 33. 已知命题p：，q：，则p是q的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数的图象大致为A. B. C. D. 5. 已知双曲线与椭圆有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为A. B. C. D. 6. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为A. B. C. D. 7. 已知ABCD为正方形，其内切圆I与各边分别切
2、于E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则 A. B. C. D. 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为A. B. C. D. 29. 将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到图象，若关于x的方程在上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是A. B. C. D. 10. 若函数，分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足，则A. B. C. D. 11. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一
3、象限内的点，延长交椭圆于点Q，若且，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 12. 已知函数，则的零点个数可能为A. 1个B. 1个或2个C. 1个或2个或3个D. 2个或3个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知的展开式各项系数之和为256，则展开式中含项的系数为_14. 设等差数列的前n项和为，若，则公差_15. 在中，其面积为3，设点H在内，且满足，则_16. 已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为_三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且求角A的大小；若，的
4、面积为，求的值18. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男55女合计若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取1名学生，抽取5次，记被抽取的5名学生中对冰球有兴趣的人数为x，若每次抽取的结果是相互独立的，求x的分布列，期望和方差附表：19. 如图，在
5、四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，证明：平面平面PCD；若，E为棱CD的中点，求二面角的余弦值20. 已知点，直线l：，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为H，且满足求动点P的轨迹C的方程；过点F作直线与轨迹C交于A，B两点，M为直线l上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程21. 设函数求证：当时，；求证：对任意给定的正数k，总存在，使得当时，恒有22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的方程为，直线l的参数方程为为参数，若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线写出曲线的参数方程；设点，直线l与曲线的两个交点分别为A，B，求的值23. 已知函数，M为不等式
6、的解集求集合M；若a，求证：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，或，则 故选：B根据条件求出集合A，B的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键2.【答案】C【解析】【分析】设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案本题考查复数相等的充要条件，考查复数的模的求法，是基础题【解答】解：设，则，即，解得，复数的模为故选：C3.【答案】A【解析】解：q：，可得，又命题p：，是q的充分不必要条件故选：Aq：，可得，又命题p：，即可判断出关系本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与
7、计算能力，属于基础题4.【答案】A【解析】【分析】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项【解答】解：所以此函数是一个奇函数，故可排除C，B两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在x轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除D，A选项符合，故选A5.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和椭圆的焦点，考查运算能力，属于基本知识的考查求出双曲线的渐近线方程
8、可得，求出椭圆的焦点坐标，可得，即，解方程可得a，b的值，进而得到双曲线的方程【解答】解：曲线的一条渐近线方程为，可得，椭圆的焦点为，可得，即，由可得，则双曲线的方程为故选D6.【答案】B【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，由退出循环的条件为，故最后一次进行循环的循环变量的值：，故输出的S值为，故选：B由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答7.【答案】C【解析】【分析】由题意，计算正方形EFGH与圆I的面积
9、比，并利用对立事件的概率求出的值本题考查条件概率与几何概率的计算问题，属于基础题【解答】解：由题意，设正方形ABCD的边长为2a，则圆I的半径为，面积为；正方形EFGH的边长为，面积为；所求的概率为故选C8.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点棱锥的体积与表面积，空间几何体的三视图，难度中档由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，三棱锥的原题侧棱与底面的一个顶点垂直，其体积，故选B9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式以及利用整体转换法是解决本题的关键根
10、据三角函数的图象变换关系求出的解析式，结合三角函数的图象进行求解即可【解答】解：将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，然后向左平移个单位长度，得到图象，即，当时，函数的最大值为，要使在上有两个不相等的实根，则，即实数a的取值范围是，故选：C10.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的运用：求函数解析式，考查运算能力，属于中档题运用奇偶性的定义，将x换为，解方程可得，计算可得所求大小关系【解答】解：函数，分别是定义在R上的偶函数，奇函数，且满足，可得，即有，解得，可得，即有，故选：D11.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考
11、查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题由题意可得为等腰直角三角形，设，运用椭圆的定义可得，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率【解答】解：且，可得为等腰直角三角形，设，由椭圆的定义可得，即有，则，在直角三角形中，可得，化为，可得故选D12.【答案】A【解析】解：由且恒成立，故的零点个数即为与的交点个数，令，则恒成立，故单调递减，故与最多1个，故选：A的零点可转化为的零点，结合导数即可判断函数的单调性，进而可求本题主要考查了函数零点的判断，导数的应用是求解问题的关键13.【答案】28【解析】解：由题意，其展开式的通项为，取，得展开式中含项的系数为故答案为：2
12、8由已知求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题14.【答案】【解析】解：，故答案为：利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15.【答案】【解析】解：满足，可得，延长AH交BC于M，则，由在中，其面积为3，可得，可得，即，故答案为：由条件可得，延长AH交BC于M，运用直角三角形的性质可得，再由三角形的面积公式计算可得所求值本题考查向量的数量积的定义和性质，考查三角形的面积公式，以及直角三角形的性质，属于中档题16.【答案】【解析】解
13、：如下图所示，延长SO交球O于点D，设的外心为点E，由正弦定理得，易知平面ABC，由勾股定理可知，三棱锥的高为，由于点A是以SD为直径的球O上一点，则，由射影定理可知，球O的直径为，因此，球O的表面积为故答案为：作出图形，作球O的直径SD，先利用正弦定理求出的外接圆半径AE，然后利用勾股定理计算出三棱锥的高SE，最后利用射影定理可求出球O的直径2R，最后利用球体表面积公式可得出答案本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算球体的半径，考查计算能力，属于中等题17.【答案】解：中，由正弦定理得：，又，又，又，；由，解得；又，【解析】利用正弦定理和三角形内角和定理与三角恒等变换
14、求得A的值；由三角形面积公式和余弦定理，即可求得的值本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，是基础题18.【答案】解：根据已知数据得到如下列联表有兴趣没有兴趣合计男451055女301545合计7525100根据列联表中的数据，得到，所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，将频率视为概率，即从大一学生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是，由题意知，从而X的分布列为X012345P，【解析】根据已知数据得到列联表，求出，从而有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是，由题意知，由此能求出X的分布列、
15、期望和方差本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机事件概率分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，平面PBC，平面PBC，CD、平面PCD，平面PCD平面PAB，平面平面PCD解：设BC中点为O，连接PO，OE，又面面ABCD，且面面，所以面ABCD以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由知平面PCD，故，设，可得，所以，由题得，解得所以，设y，是平面PAB的法向量，则，即可取0，设b，是平面PAE的法向量，则
16、，即可取所以二面角的余弦值为【解析】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题证明推出平面然后证明平面平面PCD设BC中点为O，连接PO，OE，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系求出平面PAB的法向量，平面PAE的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可20.【答案】解：设，则，即轨迹C的方程为显然直线的斜率存在，设的方程为，由，消去y可得：，设A、B的坐标分别为、，即，即，即，到直线的距离，解得，直线的方程为或【解析】本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，直线和抛
17、物线的位置关系，弦长公式，三角形的面积公式，考查了学生的计算能力，是中档题根据向量的数量积的运算即可求出轨迹方程；设的方程为，根据韦达定理和弦长公式以及点到直线的距离公式和三角形的面积公式即可求出k的值，问题得以解决21.【答案】解：当时，等价于，构造函数，则，记，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减于是， 0/，即当时， 0/，为上的增函数，所以，即于是，当时，证明：由可知，当时，于是，所以，解不等式，可得，取则对任意给定的正数k，当时，有，即【解析】当时，等价于，构造函数，则，记，利用导函数求解函数的极值，转化求解判断函数的单调性，推出结果由可知，当时，于是，转化证明求解即可本题考查函数
18、的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力22.【答案】解：曲线的方程为，若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线曲线的直角坐标方程为，整理得，曲线的参数方程为为参数将直线l的参数方程化为标准形式为为参数，将参数方程代入，得，整理得，【解析】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两线段长的倒数之和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题推导出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线的参数方程将直线l的参数方程化为标准形式，将参数方程代入，得，由根与系数的关系可求的值23.【答案】解：当时，由解得，；当时，恒成立，；当时，由解得，综上，的解集；证明：由a，得，【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；由，即可证得要求证得式子 高考资源网版权所有，侵权必究！
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