1、2三角形中的几何计算基础过关练题组一几何中的长度问题1.(2020湖南长沙长郡中学高一下期末)如图,在ABC中,B=45,AC=8,D是BC边上一点,DC=5,DA=7,则AB的长为() A.42B.43C.8D.462.如图所示,已知圆内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,BD=7,BDC=45,则BC=.3.如图所示,在四边形ABCD中,DAB=90,D=135,AB=10,AC=16,CD=82,则AD=,BC=.4.在ABC中,若c=4,b=7,BC边上的中线AD长为72,求边长a.题组二几何中的角度问题5.在ABC中,B=4,BC边上的高为13BC,则sinBAC=()A.310
2、B.1010C.55D.310106.在ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=3BD,BC=2BD,则sin C的值为()A.33B.36C.63D.667.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sin B=.8.在ABC中,ABC=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.题组三几何中的面积问题9.如图,四边形ABCD中,B=C=120,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于()A.3B.53C.63D.7310.(2021湖南长沙长郡中学高三上月考)易经中记
3、载着一种几何图形八卦图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积,如图,现测得正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m,则每块八卦田的面积为m2.深度解析11.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+b2+c2=ab+bc+ca.(1)证明:ABC是正三角形;(2)如图,点D在边BC的延长线上,且BC=2CD,AD=7,求sinBAD的值.能力提升练一、选择题1.()已知在ABC中,|BC|=10,ABAC=-16,D为边BC的中点,则|AD|等于() A.6B.5C.4D.32.(
4、)如图,在ABC中,AB=AC=2,BC=23,点D在BC边上,ADC=45,则AD的长度为()A.3B.2C.1D.23.(2020河北邯郸高三二模,)如图,在ABC中,tanACB=4,CD是AB边上的高,若CD2-ADBD=3,则ABC的面积为()A.4B.6C.8D.124.()在ABC中,AC=7,BC=2,B=60,则BC边上的高等于()A.32B.332C.3+62D.3+3945.(2020安徽滁州部分重点中学高一下期中联考,)如图,ADC是等边三角形,ABC是等腰直角三角形,ACB=90,BD与AC交于点E.若AB=2,则AE的长为()A.6-2B.12(6-2)C.6+2D
5、.12(6+2)6.()若平行四边形两邻边的长分别是3和6,它们的夹角是45,则这个平行四边形的两条对角线的长分别是()A.3和5B.23和25C.3和15D.5和15二、填空题7.()若等腰三角形的腰长为2,底边中点到腰的距离为32,则此三角形外接圆的半径为.8.(2021河南南阳六校高二上联考,)已知圆内接四边形ABCD中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,则四边形ABCD的面积为.三、解答题9.()如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=2,AD=1,3BC=3BDcos +CDsin .(1)求角的大小;(2)求四边形ABCD周长的取值范围.10.()如图所示,在四边形ABCD中,AD
6、=1,CD=3,AC=23,cos B=33.(1)求ACD的面积;(2)若BC=23,求AB的长.答案全解全析2三角形中的几何计算基础过关练1.D在ACD中,由余弦定理的推论得cosADC=72+52-82275=17,所以cosADB=-17,又ADB为三角形内角,所以sinADB=437,在ADB中,由正弦定理得DAsinB=ABsinADB,所以AB=DAsinADBsinB=743722=46.2.答案763解析在ABD中,由余弦定理的推论得cos A=32+52-72235=-12,A=120,C=60.在BDC中,由正弦定理得BCsin45=7sin60,BC=7sin45sin
7、60=723=763.3.答案8(3-1);14解析设AD=x(x0),在ADC中,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcos D,即162=x2+(82)2-2x82cos 135,x2+16x-128=0,x=8(3-1)或x=-8(3+1)(舍去),AD=8(3-1),cosDAC=AD2+AC2-CD22ADAC=8(3-1)2+162-(82)228(3-1)16=32,sinBAC=12,cosBAC=cos(90-DAC)=sinDAC=12.在ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC,即BC2=102+162-2101612=196,BC=
8、14(负值舍去).4.解析如图,AD是BC边上的中线,可设CD=DB=x(x0),CB=a=2x.c=4,b=7,AD=72,在ACD中,cos C=72+x2-72227x,在ABC中,cos C=72+(2x)2-42272x,72+x2-72227x=72+(2x)2-42272x,解得x=92,a=2x=9.5.D设BC边上的高AD交BC于点D,由题意得AD=BD=13BC,DC=23BC,tanBAD=1,所以tanCAD=2,tanBAC=tan(BAD+CAD)=1+21-12=-3,又BAC为三角形内角,所以sinBAC=31010.6.D设AB=AD=3,则BD=23AB=2
9、,BC=2BD=4.在ABD中,由余弦定理的推论得cos A=(3)2+(3)2-22233=13,A是三角形的内角,sin A=1-132=223.在ABC中,由正弦定理得BCsinA=ABsinC,sin C=ABsinABC=32234=66,故选D.7.答案154解析由已知及余弦定理的推论得cos C=a2+b2-c22ab=5-c24=14,解得c=2或c=-2(舍去),所以b=c,所以B=C,所以sin B=sin C.由cos C=14得sin C=154,所以sin B=154.8.解析(1)在ADC中,由cosADC=17得sinADC=437,由ADC=ABC+BAD得BA
10、D=ADC-ABC,所以sinBAD=sin(ADC-ABC)=sinADCcosABC-cosADCsinABC=43712-1732=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=ABsinBADsin(-ADC)=ABsinBADsinADC=83314437=3,BC=BD+DC=5,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=82+52-28512=49,所以AC=7(负值舍去).9.B连接BD,在BCD中,由已知可得DBC=30,故ABD=90.由余弦定理知,BD2=22+22-222cos 120=12,解得BD=23(负
11、值舍去),所以S四边形ABCD=SABD+SBCD=12423+1222sin 120=53.10.答案162+16-2信息提取正八边形可分割成8个全等的等腰三角形;正八边形的边长为8 m,代表阴阳太极图的圆的半径为2 m;求每块八卦田的面积.数学建模以八卦田的面积为背景,构建解三角形的数学模型,利用正弦定理、三角形的面积公式求解.由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为45,设等腰三角形的腰长为a,利用正弦定理可求出a的值,再利用三角形和圆的面积公式求解即可.解析由题图可知,正八边形被分割成8个全等的等腰三角形,顶角为3608=45,设等腰三角形的腰长为a m,由正弦定理可得
12、asin1352=8sin45,解得a=82sin1352,所以三角形的面积S=1282sin13522sin 45=3221-cos1352=16(2+1)m2,则每块八卦田的面积为16(2+1)-1822=162+16-2(m2).方法总结对平面图形的面积的求解,要注意分割与补形这两种策略的灵活应用,通过割补将图形转化为易于求得面积的规则图形,再将求得的各块图形的面积相加、减即可得到所求平面图形的面积.11.解析(1)证明:由a2+b2+c2=ab+bc+ca得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,所以a-b=b-c=c-a=0,所以a=b=c,即ABC是正三角形.(2)因为ABC
13、是等边三角形,BC=2CD,所以AC=2CD,ACD=120.在ACD中,由余弦定理可得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD,即7=4CD2+CD2-4CDCDcos 120,解得CD=1(负值舍去).在ABD中,BD=3CD=3,由正弦定理可得sinBAD=BDsinBAD=3327=32114.能力提升练一、选择题1.D设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由题意可得bccos A=-16,故由余弦定理得100=b2+c2-2bccos A,即b2+c2=68.设|AD|=x(x0),则在ADC中,b2=x2+25-2x5cosADC,在ADB中,c2=x2+25-2x5cos
14、ADB,所以b2+c2=2x2+225,即2x2=18,解得x=3(负值舍去),故选D.2.B在ABC中,AB=AC=2,BC=23,cos C=22+(23)2-222223=32,C为三角形内角,sin C=12.在ACD中,由正弦定理,得ADsinC=ACsinADC,AD=2sin4512=2.故选B.3.B由题得SABC=12BCACsinACB=12BCACcosACBtanACB=2BCACcosACB=BC2+AC2-AB2=AC2+BC2-(AD+BD)2=AC2+BC2-AD2-BD2-2ADBD=(AC2-AD2)+(BC2-BD2)-2ADBD=2CD2-2ADBD=2
15、(CD2-ADBD)=23=6.4.B设AB=c(c0),在ABC中,由余弦定理知AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即7=c2+4-22ccos 60,所以c2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0,又c0,所以c=3.设BC边上的高等于h,由三角形面积公式知SABC=12ABBCsin B=12BCh,即1232sin 60=122h,解得h=332.5.A由题意可得AC=BC=CD=DA=2,BAC=45,ACB=90,ACD=60,BCD=ACB+ACD=90+60=150,BCD为等腰三角形,CBE=15,ABE=45-15=30,AEB=105.sin 105=sin
16、(60+45)=sin 60cos 45+cos 60sin 45=6+24,在ABE中,AEsin30=ABsin105,即AE12=26+24,AE=6-2.6.C设一条对角线长为l1(l10),则l12=(3)2+(6)2-236cos 45=3;设另一条对角线长为l2(l20),则l22=(3)2+(6)2-236cos 135=15,所以l1=3,l2=15.二、填空题7.答案233解析如图,设AB=AC,D为底边的中点,DEAC于点E,BFAC于点F,则由DE=32,知BF=3.又AB=2,AF=1,CF=AC-AF=1,tan C=BFCF=3,C=60,设此三角形外接圆的半径为
17、R,则2R=ABsinC=433,R=233.8.答案83解析连接BD,由圆内接四边形对角互补,知A+C=,利用余弦定理,得42+62-246cos C=22+42-224cos(-C),cos C=12,0C7,3+7AB+CB+CD+DA3+27,四边形ABCD的周长的取值范围为(3+7,3+27.10.解析(1)因为AD=1,CD=3,AC=23,所以cos D=AD2+CD2-AC22ADCD=-13.因为D(0,),所以sin D=1-cos2D=223,所以SACD=12ADCDsin D=1213223=2.(2)因为AC=23,BC=23,所以ACB=-2B.因为ACsinB=ABsinACB,所以23sinB=ABsin(-2B)=ABsin2B=AB2sinBcosB=AB233sinB,所以AB=4.
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