1、空间向量与立体几何一、单选题1（2020上海高三专题练习）已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用正方体几何性质计算出数量积为零的选项，根据长方体的性质证明数量积一定不为零的选项.【详解】当长方体为正方体时，根据正方体的性质可知：，所以、.根据长方体的性质可知：，所以与不垂直，即一定不为.故选：C2（2020上海市洋泾中学高三期中）已知三条直线，满足：与平行，与异面，则与（ ）A一定异面B一定相交C不可能平行D不可能相交【答案】C【分析】利用正方体的棱与棱的位置关系及异面直线的定义即可得出ABD错误，再利用反证法结合平行公理即可得到与不可能平行.【详解】如
2、图所示：与可能异面，也可能相交，不可能平行用反证法证明一定不平行，假设，又，则，这与已知与异面矛盾，所以假设不成立，故与不可能平行.故选：C.【点睛】熟练掌握正方体的棱与棱的位置关系及异面直线定义是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于基础题3（2020上海高三二模）如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（ ）A有一条B有二条C有无数条D不存在【答案】C【分析】设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.【详解】设平面，且，又平面，平面，平面，显然满足要求的直线l有无数条.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题
3、属于容易题.4（2020上海高三二模）在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件【答案】B【分析】在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论.【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交.“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.二、填空题5（2021上海高三二模）已知球的主视图的面积为，则该球的体积为_.【答案】【分析】由球的主视图的面积可
4、求出球的半径，从而可求出球的体积【详解】解：设球的半径为，则由题意可得，解得，所以球的体积为，故答案为：6（2021上海市控江中学高三三模）若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为_【答案】【分析】利用圆锥的轴截面是面积为的等边三角形求出圆锥的底面半径和母线长，然后再求圆锥的表面积【详解】设圆锥轴截面正三角形的边长是，因为正三角形的面积为， 所以，所以圆锥的底面半径，圆锥的母线，这个圆锥的表面积是：故答案为：7（2020上海市洋泾中学高三期中）表面积为的球的体积为_.【答案】【分析】先求出半径，再利用公式可求体积.【详解】，故答案为：.8（2020上海高三一模）在中，将绕边所
5、在直线旋转一周得到几何体，则的侧面积为_.【答案】【分析】易得旋转后得到的几何体是一个以AB为半径，以AC为高的圆锥，再求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解.【详解】如图所示：因为在中，所以所得圆锥的底面半径为，高为，母线为，所以其侧面积为，故答案为：9（2020上海市建平中学高三月考）已知空间向量，则与的夹角为_.【答案】【分析】计算出，由此可得出与的夹角.【详解】由已知条件可得，因此，与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量的数量积求空间向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.10（2020上海高三月考）已知是球心为的球面上的两点，在空间直角坐标系中，它们的坐标分别为，则两点的球面
6、距离为_.【答案】【分析】由题意利用空间向量求出球心角，再求出球的半径，然后利用球面距离公式求解即可【详解】解：由题意，球的半径，两点的球面距离，故答案为：【点睛】本题主要考查空间向量的数量积的应用，考查球面距离公式，属于基础题三、解答题11（2020上海高三二模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，底面（1）求四棱锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）12；（2）.【分析】（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积.（2）平移直线，找到异面直线与所成角，并计算角的大小.【详解】解：（1）在中,则，则（2）由，所以即为异面直线与所成角（或其补角），
7、由，且，得面，又面，所以，在中，【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题.12（2020上海高三一模）在三棱锥PABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB3，PC4，且三棱锥PABC的体积为10.（1）求点A到直线BC的距离；（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.【答案】（1）（2）arccos【分析】（1）先根据已知的体积和棱长求出，结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离；（2）建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量夹角公式可求.【详解】（1）在三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，PB3，PC4，且三
8、棱锥PABC的体积为10.VPABCVAPBC10，解得PA5，过P作POBC，交BC于O，连结PO，如图，由三垂线定理得AOBC，PO，点A到直线BC的距离：AO.（2）以P为原点，PC，PB，PA所在直线分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，0），（0，3，0），（2，5），设异面直线PB，AD所成角的大小为，则cos.异面直线PB，AD所成角的大小为arccos.【点睛】本题主要考查空间中点到直线的距离和异面直线所成角，空间中的角一般是利用向量来求解，建立适当的坐标系是求解的前提，侧重考查直观想象
9、和数学运算的核心素养.13（2021上海华师大二附中高三三模）如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，M是的中点.（1）证明：；（2）求点B到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先通过线面垂直判定定理可得平面，再次通过线面垂直判定定理可得平面，进而可得结果；（2）利用等体积法，根据可得结果.【详解】（1）底面是边长为2的正方形，M是的中点，平面，平面，.（2）平面，过于点，(设B到面的距离为h)，.14（2021上海市崇明中学高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，点足的中点.（1）证明：直线平面；（2）者直线与平面斤城角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】
10、（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由平而，证得，再由，得到，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面；（2）由（1）得到为与平面所成角，在直角中，可求得，得到，结合，即可求解.【详解】（1）因为平而，平面，所以，又由，且是直角梯形，可得，可得，所以，又因为，且平面，所以平面.（2）由（1）知平面，所以即为直线与平面所成角，在直角中，可得，所以，则，所以.15（2021上海高三二模）已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将RtBED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足（1）求四面体的体积；（2）请计算：直线与所成角的大小；直线与平面所成的角的大小【答案】（1）；（2）；（或）【分析】（1）利用勾股定理证明，结合，证明平面，从而是三棱锥的高，由锥体的体积公式求解即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标利用异面直线所成角的计算公式求解即可；利用待定系数法求出平面的法向量，然后由线面角的计算公式求解即可【详解】（1）由已知，有，又由已知，有因为，所以平面，即是三棱锥的高，所以（2）分别以、为坐标轴建立空间直角坐标系则有，设与所成角的大小为，则故，与所成角的大小为设为平面的一个法向量， 则即令，得故与平面所成的角为（或）
