1、排列组合和二项式定理一、单选题1将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有种A72B36C64D81【答案】B【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.【详解】解：将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏2.从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排
2、列方法（ ）种.ABCD【答案】C【详解】排列方法为,选C.3已知n，下面哪一个等式是恒成立的（）ABCD【答案】B【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；由排列数的定义可知，B选项正确；由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.4在二项式的展开式中任取2项，则取出的2项中系数均为偶数的概率为ABCD【答案】C【分析】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，再研究其系数为偶数情况有几个，从中取两
3、个有几种取法得出答案【详解】二项式的展开式共十项，从中任取2项，共有种取法，展开式系数为偶数的有，共六个，取出的2项中系数均为偶数的取法有种取法，取出的2项中系数均为偶数的概率为故选【点睛】本题考查二项式定理及等可能事件的概率，正确求解本题的关键是找出哪些项的系数是偶数，求出取出的2项中系数均为偶数的事件包含的基本事件数5一个质量均匀的正四面体型的骰子，其四个面上分别标有数字，若连续投掷三次，取三次面向下的数字分别作为三角形的边长，则其能构成钝角三角形的概率为（ ）ABCD【答案】C【分析】三次投掷总共有64种,只有长度为或223的三边能构成钝角三角形,由此计算可得答案.【详解】解：由题可知：
4、三次投掷互不关联，所以一共有种情况：能构成链角三角形的三边长度只能是：或者是所以由长度为的三边构成钝角三角形一共有：种：由三边构成钝角三角形一共有：种：能构成钝角三角形的概率为.故选:C.【点睛】本题考查了古典概型的概率求法,分类计数原理,属于基础题.6若，则等于（ ）ABCD【答案】D【分析】中最大的数为，包含个数据，且个数据是连续的正整数，由此可得到的表示.【详解】因为，所以表示从连乘到，一共是个正整数连乘，所以.故选D.【点睛】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：的运用.7组合数恒等于（ ）ABCD【答案】D【分析】根据组合数的公式得到和，再比较选项得到答案.【详解】，可知 故选：
5、D【点睛】本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型.二、填空题8世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有_种不同的组合.【答案】6【分析】直接根据组合数求解即可【详解】解：从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有种不同的组合，故答案为：6【点睛】本题主要考查组合的应用，属于基础题9在3名男生和4名女生中选出3人，男女生都有的选法有_种.【答案】30【分析】用全部情况减去全男生和全女生的情况，即可得到答案.【详解】由题知：从人中选共有种情况，全是男生有种情况，全是女生有种情况，故男女生都有的选法有种.故答案为：【点睛】本题主要考查组合的实际问题，间接法为解题的关键，
6、属于简单题.10某校开设类选修课5门，类选修课4门，一位同学从中供选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有_.种【答案】70【分析】根据分类计数原理，3门功课可分成2种情况，分别求方法种数.【详解】由条件可知3门课程可以分成以下两种情况：类2门，类1门，共有种，或类1门，类2门，共有，所以不同的选法共有种方法.故答案为：70【点睛】本题考查分类计数原理，组合知识，重点考查分类讨论的思想，属于基础题型.11若排列数，则_.【答案】3【分析】利用排列数计算公式即可得出【详解】解：排列数，故答案为：3【点睛】本题考查了排列数计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12二项式的展开式
7、中，各项的系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，且，则_.【答案】3【分析】给二项式中的赋值1求出展开式的各项系数的和；利用二项式系数和公式求出，代入已知的等式，解方程求出的值【详解】解：令二项式中的为1得到各项系数之和又各项二项式系数之和解得故答案为：3【点睛】本题考查解决展开式的各项系数和问题常用的方法是赋值法、考查二项式系数的性质：二项式系数和为，属于基础题13 ，则_；【答案】1【分析】利用赋值法，令代入即可【详解】解：令得，则，故答案为：1【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法是解决本题的关键属于基础题三、解答题14（1）化简：；（2）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究
8、中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是多少?【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据组合数的运算公式求解；（2）首先列举所有不超过30的素数，然后按照古典概型写出概率.【详解】（1） （2）不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，任取2个不同的数有种方法，其中和为30的有共三组，则【点睛】本题考查组合数的证明和古典概型的概率公式意在考查推理与证明和计算能力，属于基础题型15已知正整数,.(1)若的展开式中,各项系数之和比二项式系数之和大992,求的值；(2)若,且是中的最大值,求的值.【答案】(1) ；(2)或.【分析】(1)令求出的展开式中各项系数和,结合二项式系数和公式,可由题意列出方程,解方程即可求出的值(2)根据数列最大项的定义,可以列出不等式组,解这个不等式组即可求出的值.【详解】(1) 令,所以的展开式中各项系数和为：,二项式系数和为：,由题意可知：或(舍去),所以；(2) 二项式的通项公式为：.因为是中的最大项,所以有：,因此或.【点睛】本题考查了二项式系数之和公式和展开式系数之和算法,考查了二项式展开式系数最大值问题,考查了数学运算能力.