1、20212022学年高三第一学期期中试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)202111一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1. 已知集合M1，1，Nx|x22x0，则MN()A. 1，1 B. 0，1 C. 1，2 D. 1，02. 设f(x)x(xR)，则“x0”是“f(x)6”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 若复数zabi(a，bR)满足zzz2，则()A. a0，b0 B. a0，b0C. a0 D. b04. 已知数列an满足a12，an1a，则a6()A
2、. 220 B. 224 C. 21 024 D. 24 0965. 下列向量一定与向量垂直的是()A. B. C. ab D. ab6. 已知sin (2)，(0，)，则sin ()()A. B. C. D. 7. 若函数ysin 2x与ysin (2x)在(0，)上的图象没有交点，其中(0，2)，则的取值范围是()A. ，2) B. ，C. (，2) D. ，)8. 函数f(x)ln x的零点最多有()A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不
3、答的得0分9. 设等比数列an的前n项和为Sn，则下列数列一定是等比数列的有()A. a1a2，a2a3，a3a4， B. a1a3，a3a5，a5a7，C. S2，S4S2，S6S4， D. S3，S6S3，S9S6，10. 如图，点A是单位圆O与x轴正半轴的交点，点P是圆O上第一象限内的动点，将点P绕原点O逆时针旋转至点Q，则()的值可能为()A. 1 B. C. D. 11. 已知函数f(x)，下列说法正确的有()A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)的最小正周期为2C. 函数f(x)的值域为(1，2D. 函数f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为12. 若正实数x，y满足ln yl
4、n xyxsin ysin x，则下列不等式可能成立的有()A. 0x1y B. yx1 C. 0yx1 D. 0xy1三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)g(x)2x，则g(2)g(2)_14. 试写出一个先减后增的数列an的通项公式：an_15. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p(abc)，则该三角形的面积S，这就是著名的“秦九韶海伦公式”若ABC的周长为8，AB2，则该三角形面积的最大值为_16. 函数f(x)ln (1x)在x0处的切线方程为_由导数的几何意义可知，当x无限接近于0时，的值无限接近于1.于是，当x
5、无限接近于时，(1)x的值无限接近于_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)已知函数f(x)sin (x)(0，0)的图象与y轴交点的纵坐标为，在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.(1) 求f(x)的解析式；(2) 求f(x)在0，上的值域18. (本小题满分12分)已知数列an是首项为12i(i为虚数单位)的等差数列，a1，a3成等比数列(1) 求an的通项公式；(2) 设an的前n项和为Sn，求|S10|.19. (本小题满分12分)在ABC中，点D在边BC上，AD为A的角平分线，ACAD，CD2.(1) 求sin BAC的值
6、；(2) 求边AB的长20. (本小题满分12分)已知数列an满足a11，an1(1) 求证：a2n1a2n12；(2) 设bna2n1，求bn的前n项和Sn.21. (本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B，bcos A.(1) 求证：存在ABC，使得c1；(2) 求ABC面积S的最大值22. (本小题满分12分)设函数f(x)exx2mln (x2)2.(1) 求证：当m0时，f(x)0在x(2，)上总成立；(2) 求证：不论m为何值，函数f(x)总存在零点20212022学年高三第一学期期中试卷(盐城)数学参考答案及评分标准1. C2. B3.
7、 D4. C5. A6. B7. A8. B9. BD10. ABC11. AD12. AD13. 14. |n2|(答案不唯一)15. 216. yxe217. 解：(1) 因为函数f(x)sin (x)的图象与y轴交点的纵坐标为，所以sin ，又00)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为，所以，得2，则f(x)的解析式为f(x)sin (2x).(6分)(2) 因为x0，所以2x，所以sin (2x)，1，即f(x)在0，上的值域为，1.(10分)18. 解：(1) a1，a3成等比数列，a112i，a312i.(2分)设an的公差为d，则a3a1(12i)(12i)4i2d，d2i，
8、(4分)则ana1(n1)d12i(n1)2i1(2n4)i，即an的通项公式为an1(2n4)i.(6分)(2) S1010a1d10(12i)2i1070i，(9分) |S10|50.(12分)19. 解：(1) 在ADC中，cos DAC. sin2DACcos2DAC1，sinDAC0， sin DAC.(3分)又AD为A的角平分线，sin BACsin 2DAC2sin DACcos DAC.(6分)(2) (解法1)在ABC中，SABCSABDSADC，即ABACsin BACABADsin BADADACsin DAC，(9分)ABAB，AB.(12分)(解法2)在ADC中，co
9、s ADC， cos ADBcos (ADC)cosADC.AD为A的角平分线，即，BDAB.(9分)在ADB中，AB2DA2DB22DADBcos ADB，即AB210(AB)22AB()，AB.(12分)(解法3)求出sin B与sin ADB，在ADB中用正弦定理即得，参照评分20. (1) 证明：a2n11，a2n22n(a2n11)，a2n111，a2n1a2n12，即a2n1a2n12.(4分)(2) 解：由(1)可知数列an的奇数项成等差数列，a2n1a1(n1)22n1，a1a3a2n113(2n1)n2.(7分)又a2n22n(a2n11)2n22n，22n4n，数列成等比数
10、列，4424n，Snn2.(12分)21. (解法1)(1) 证明：因为acos B，bcos A，由正弦定理，得.所以sin A cos Asin B cos B，即sin 2Asin 2B.(2分)在ABC中，A，B(0，)，且AB，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.当AB时，C，所以c2cos2Acos2Bcos2Asin2A1，即c1，所以存在ABC，使得c1.(5分)(2)解： 当AB时，SABCcos A cos Bsin A cos Asin 2A；(8分)当AB时，SABCcos2A sin(2A)cos2A sin2Asin A cos3A，所以Ssin2A cos6A(
11、1cos2A)cos6A.(9分)令xcos2A(0，1)，则Sf(x)(1x)x3，所以f(x)x33(1x)x2x2(34x)，当x(0，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0，所以当x时，f(x)maxf()，即当cos2A，A时，(SABC)max.又，所以ABC面积的最大值为.(12分)(解法2)(1)证明：当a，b，c1时满足条件，故存在ABC，使得c1.(5分)(注：满足a2b21即可，满足C也可)(2) 解：因为acos B，bcosA，由正弦定理，得，所以sin A cos Asin B cos B，即sin 2Asin 2B.(7分)在ABC中，A，B(0，)，且AB
12、，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.当AB时，SABCcos A cos Bsin A cos Asin 2A；(8分)当AB时，SABCcos2A sin(2A)cos2A sin2Asin A cos3A，所以Ssin2A cos6A(1cos2A)cos6A.(9分)令xcos2A(0，1)，则Sf(x)(1x)x3，所以f(x)x33(1x)x2x2(34x)，当x(0，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0，所以当x时，f(x)maxf()，即当cos2A，A时，(SABC)max，又，所以ABC面积的最大值为.(12分)22证明：(1) 当m0时，f(x)exx22，要证
13、f(x)0，即证1，令g(x)(x2)，所以g(x)0，故g(x)在(2，)上单调递减，所以g(x)g(2)1，所以当m0时，f(x)0在x(2，)上总成立(4分)(2) 当m0时，f(2)e26mln 40，f(1)e1120，又f(x)的图象在1，2上连续不间断，所以函数f(x)有零点；(6分)当m0时，先证当x4时，ex2x2，令(x)，所以(x)0，所以(x)(4)，所以当x4时，ex2x2成立此时，xln (2x2)ln (x2)，所以当x4时，f(x)x2mx2，设yx2mx2的正零点为x1，x0取maxx1，4，则f(x0)0，又f(1)e1120，f(x)的图象连续不间断，所以函数f(x)有零点所以不论m为何值，函数f(x)总有零点(12分)