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2020-2021学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用章末综合测评(含解析)新人教A版必修第二册.doc

1、章末综合测评(一)平面向量及其应用(时间:120分钟,满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1向量a(2,1),b(1,2),则(2ab)a()A6B5C1D6A由向量数量积公式知,(2ab)a(3,0)(2,1)6.2设非零向量a,b,c满足|a|b|c|,abc,则向量a,b的夹角为()A150B120 C60D30B设向量a,b夹角为,|c|2|ab|2|a|2|b|22|a|b|cos ,则cos ,又0,180,120.故选B3已知向量a(1,k),b(2,2),且ab与a共线,则ab的值为()A1B

2、2 C3D4Aab(3,k2),ab与a共线,3k(k2)0,解得k1.4在ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b2c2a2bc,则sin(BC)的值为()A B C DB由b2c2a2bc,得cos A,则sin(BC)sin A.5已知点A,B,C满足|3,|4,|5,则的值是()A25B25 C24D24A因为|2|291625|2,所以ABC90,所以原式()0225.6已知A(7,1),B(1,4),直线yax与线段AB交于点C,且2,则实数a等于()A2B1 C DA设C(x,y),则(x7,y1),(1x,4y),2,解得C(3,3),又C在直线yax上,所以3a

3、3,a2.7如图,在ABC中,若,则的值为()A B C DB,(),又,.8已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则的取值范围是()A1,0B1,2C1,3D1,4C建立如图所示坐标系,设M(x,y),其中A(1,1),B(1,1),易知x2y21,而(1x,1y)(1x,1y)x2(y1)21,若设E(0,1),则|21,由于0|2,所以|21的取值范围是1,3,故选C二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是()A|a

4、b|a|b| B|ab|a|b|C(ab)2|ab|2 D(ab)(ab)a2b2ACD|ab|a|b|cosa,b|a|b|,故A正确;由向量的运算法则知C,D正确;当ba0时,|ab|a|b|,故B错误故选ACD10在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,a2,c2,则角C的大小是()A BC DBD由正弦定理可得,所以sin Csin A,而ac,所以AC,所以C,故C或.11已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足B,acb,则()A2B3C DACB,acb,(ac)2a2c22ac3b2,由余弦定理可得,a2c22accos b2,联立,可得2a25

5、ac2c20,即2520,解得2或.故选AC12点P是ABC所在平面内一点,满足|2|0,则ABC的形状不可能是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形ACDP是ABC所在平面内一点,且|2|0,|()()|0,即|,|,两边平方并化简得0,A90,则ABC一定是直角三角形故选ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13与向量a(1,2)平行,且模等于的向量为_(1,2)或(1,2)因为所求向量与向量a(1,2)平行,所以可设所求向量为(x,2x),又因为其模为,所以x2(2x)25,解得x1.因此所求向量为(1,2)或(1,2)14已知向量

6、a(m,2),b(1,n)(n0),且ab0,点P(m,n)在圆x2y25上,则mn_,|2ab|_.(本题第一空2分,第二空3分)3因为向量a(m,2),b(1,n)(n0),且ab0,P(m,n)在圆x2y25上,解得m2,n1,即mn213.2ab(3,5),|2ab|.15在ABC中,SABC(a2b2c2),b1,a,则c_.1SABCabsin C,absin C(a2b2c2),a2b2c22absin C由余弦定理得,2abcos C2absin C,tan C1,C45,c1.16如图所示,半圆的直径AB2,O为圆心,C是半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,

7、则()的最小值是_因为点O是AB的中点,所以2,设|x,则|1x(0x1),所以()22x(1x)2.所以当x时,()取到最小值.四、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知|a|4,|b|3,(2a3b)(2ab)61.(1)求|ab|;(2)求向量a在向量ab方向上的投影解(1)因为(2a3b)(2ab)61,所以4|a|24ab3|b|261.因为|a|4,|b|3,所以ab6,所以|ab|.(2)因为a(ab)|a|2ab42610,所以向量a在向量ab方向上的投影为.18(本小题满分12分)如图所示,在平面直角坐标系中,|2

8、|2,OAB,(1,)(1)求点B,C的坐标;(2)求证:四边形OABC为等腰梯形解(1)连接OB(图略),设B(xB,yB),则xB|cos(OAB),yB|sin(OAB),(1,),B,C.(2)证明:,3,.又易知OA与BC不平行,|2,四边形OABC为等腰梯形19(本小题满分12分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,casin Cccos A(1)求A;(2)若a2,ABC的面积为,求b,c.解(1)由casin Cccos A,及正弦定理得sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0,所以sin.又0A,故A.(2)ABC的面积Sbcsi

9、n A,故bc4.而a2b2c22bccos A,故b2c28.解得bc2.20(本小题满分12分)已知a(cos ,sin ),b(cos ,sin ),0.(1)若|ab|,求证:ab;(2)设c(0,1),若abc,求,的值解(1)证明:由题意得|ab|22,即(ab)2a22abb22.又因为a2b2|a|2|b|21,所以22ab2,即ab0,故ab.(2)因为ab(cos cos ,sin sin )(0,1),所以由得,cos cos(),由0,得0.又0,故.代入sin sin 1,得sin sin ,而,所以,.21(本小题满分12分)如图,在OAB中,已知P为线段AB上的一

10、点,xy.(1)若,求x,y的值;(2)若3,|4,|2,且与的夹角为60时,求的值解(1),即2,即x,y.(2)3,33,即43,O.x,y.()2242429.22(本小题满分12分)如图,我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛,小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D相距为3 n mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角,且sin A.(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积;(2)记小岛D对小岛B与C的视角为,小岛B对小岛C与D的视角为,求sin(2)的值解(1)sin A,且角A为钝角,cos A.在ABD中,由余弦定理得:AD2AB22ADA

11、Bcos ABD2.AD2522AD5(3)2AD28AD200.解得AD2或AD10(舍)小岛A与小岛D之间的距离为2 n mile.A,B,C,D四点共圆,角A与角C互补sin C,cos Ccos(180A)cos A.在BDC中,由余弦定理得:CD2CB22CDCBcos CBD2,CD2522CD5(3)2CD28CD200,解得CD2(舍)或CD10.S四边形ABCDSABDSBCDABADsin ACBCDsin C5251031518.四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile.(2)在BDC中,由正弦定理得:sin .DC2DB2BC2,为锐角,cos .又sin()sin(180C)sin C,cos()cos(180C)cos C.sin(2)sin()sin cos()cos sin().

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