1、课时素养评价 七向量数量积的坐标表示(15分钟30分)1.已知两个非零向量a,b满足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),则ab的值为()A.1B.-1C.0D.-2【解析】选B.因为2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2+=,所以a=,所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以ab=2-3=-1.2.(2019全国卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=()A.B.2C.5D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|=.【补偿训练】已知向量a=(1,2),b=(-1,x),若ab,
2、则|b|=()A.B.C.D.5【解析】选C.因为向量a=(1,2),b=(-1,x),ab,所以=,解得x=-2,所以|b|=.3.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.【解析】选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3.设所求两向量的夹角为,则cos =,因为0,所以=.4.在ABC中,C=90,=(k,1),=(2,3),则k的值为_.【解析】因为=-=(2,3)-(k,1)=(2-k,2),=(2,3),所以=2(2
3、-k)+6=0,所以k=5.答案:55.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求:(1)2+的模;(2)cosBAC.【解析】(1)如图,=(-1,1),=(1,5),故2+=(-2,2)+(1,5)=(-1,7),故|2+|=5;(2)cosBAC= = =. (20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分,其中多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(2020新高考全国卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)【解析】选A.设P(x,y),建立
4、如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),=(x,y), =(2,0),所以=2x,由题意可得点C的横坐标为3,点F的横坐标为-1,所以-1x3,所以-26.2.已知=(3,-1),n=(2,1)且n=7,则n=()A.-2B.2C.-2或2D.0【解析】选B.n=n(-)=n-n=7-(2,1)(3,-1)=7-(6-1)=2.3.(2020岳阳高一检测)设向量a=(3,-4),向量b与向量a方向相反,且|b|=10,则向量b的坐标为()A.(-6,8)B.(6,8)C.(-6,-8)D.(8,-6)【解析】选A.向量a=(3,-4),向量b与向量a方向相反,设b=(3x,-4
5、x),x0,则|b|=-5x=10,解得x=-2,所以向量b的坐标为(-6,8).4.(多选题)设向量a=,b=,则下列叙述错误的是()A.若k-2,则a与b的夹角为钝角B.的最小值为2C.与b共线的单位向量只有一个为D.若=2,则k=2或-2【解析】选CD.对于选项A,若a与b的夹角为钝角,则ab0且a与b不共线,则k-20且-k2,解得k2且k-2,故选项A正确,不符合题意;对于选项B,=2,当且仅当k=0时,等号成立,故选项B正确,不符合题意;对于选项C,=,与b共线的单位向量为,即与b共线的单位向量为或,故选项C错误,符合题意;对于选项D,=2=2,即=2,解得k=2,故选项D错误,符
6、合题意.二、填空题(每小题5分,共10分)5.点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点,N是边BC的中点,则的最大值是_.【解析】以A为坐标原点,AD所在直线为x轴,AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,那么有=(1,-2),设M点坐标为(x,y),则=(x,y),其中0x2,-2y0, =x-2y,当x取得最大值2,y取得最小值-2时,取得最大值6.答案:66.设平面向量a=(cos ,sin )(02),b=,若两个向量a+b与a-b的模相等,则角=_.【解析】|a|=1,|b|=1,由题意知(a+b)2=(a-b)2,化简得ab=0,所以-cos +sin =0,所以ta
7、n =.又02,所以=或=.答案:或【补偿训练】已知向量a=(,2),b=(-1,1),若=,则的值为_.【解析】结合条件可知,= ,得到ab=0,代入坐标,得到+2=0,解得 =2.答案:2三、解答题7.(10分)已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,-1).(1)若|c|=3,且ca,求向量c的坐标;(2)若b是单位向量,且a(a-2b),求a与b的夹角.【解析】(1)设c=(x,y),由|c|=3,ca可得所以或故c=(-3,3)或c=(3,-3).(2)因为|a|=,且a(a-2b),所以a(a-2b)=0,即a2-2ab=0,所以ab=1,故cos =,又0,所以=.