1、返回目录 导数及其应用第三章返回目录 知识结构图解返回目录 分类考试要求考点及能力要求学考高考1.了解导数概念的实际背景aa2.通过函数图象直观理解导数的几何意义bb3.能根据导数的定义求函数 yC(C 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数bb4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数ab返回目录 考点及能力要求学考高考5.了解函数的单调性与导数的关系aa6.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)bb7.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件aa8.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求
2、闭区间上函数的最值(其中多项式函数不超过三次)bb9.会用导数解决实际问题ab返回目录 3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念返回目录 课前教材预案课堂深度拓展课末随堂演练课后限时作业返回目录 课前教材预案要点一 函数的变化率定义实例作用平均变化率函数 yf(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为_，简记作：yx平均速度；曲线割线的斜率刻画函数值在区间_上变化的快慢fx2fx1x2x1x1，x2 返回目录 定义实例作用瞬时变化率函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是函数 f(x)从x0 到 x0 x 的平均变化率在 x0 时的极限，即_lim yx瞬时速度：物体
3、在某一时刻的速度；切线斜率刻画函数值在_附近变化的快慢limx0fx0 xfx0 xx0点返回目录 思考：函数的平均变化率和瞬时变化率有什么关系？提示 平均变化率yxfx0 xfx0 x，当 x 趋于 0 时，它所趋于的一个常数就是函数在 x0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快返回目录 要点二 导数的概念一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limx0yxlimx0 _，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作_或_，即f(x0)limx0yxlimx0fx0 xf
4、x0 x.fx0 xfx0 xf(x0)y|xx0 返回目录 课堂深度拓展考点一 求平均变化率求平均变化率通常采用“两步法”，先作差，再作商，即先求出 xxx0，计算 yf(x0 x)f(x0)，再对所求得的差作商，即yxfx0 xfx0 x.返回目录【例题 1】求正弦函数 ysin x 在 x0 和 x2附近的平均变化率，并比较它们的大小思维导引：根据平均变化率的定义可分别求解，再用作差法比较它们的大小解析 当自变量从 0 变化到 0 x 时，设函数的平均变化率为 k1，则 k1sin xsin 0 xsin xx.当自变量从2变化到2x 时，设函数的平均变化率为 k2，则 k2sin2x
5、sin 2xcos x1x.返回目录 当 x0 时，k10，k2k2；当 x0 时，k1k2sin xx cos x1x2sinx4 1x.x0 且 x 无限趋近于 0，2x44.1sinx4 22，2sinx4 10，即 k1k2.综上可知，正弦函数 ysin x 在 x0 附近的平均变化率大于在 x2附近的平均变化率返回目录【变式 1】已知函数 f(x)2x23x5.(1)当 x14，且 x1 时，求函数增量 y 和平均变化率yx；(2)当 x14，且 x0.1 时，求函数增量 y 和平均变化率yx；(3)分析(1)(2)中的平均变化率的几何意义解析 f(x)2x23x5，yf(x1x)f
6、(x1)2(x1x)23(x1x)5(2x213x15)2(x)22x1x3x2(x)2(4x13)x.返回目录(1)当 x14，x1 时，y212(443)121，则yx211 21.(2)当 x14，x0.1 时，y20.12(443)0.10.021.91.92，则yx1.920.1 19.2.(3)在(1)中，yxf5f454，它表示抛物线上点 A(4,39)与点 B(5,60)连线的斜率；在(2)中，yxf4.1f44.14，它表示抛物线上点 A(4,39)与点 C(4.1,40.92)连线的斜率返回目录 考点二 求函数在某一点处的导数根据导数的定义，求函数 yf(x)在 xx0 处
7、的导数的步骤如下：(1)求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；(2)求平均变化率yxfx0 xfx0 x；(3)取极限，得导数 f(x0)limx0yx.返回目录【例题 2】求 f(x)2xx 的导函数 f(x)，并利用导函数 f(x)求导数值：f(1)，f(2)，f(4)思维导引：求y 求yx 当x0时取极限 分别令x1，2，4求导数值解析 yf(xx)f(x)2xx(xx)2xx 2xx2xx2xxxxxxx 2xxxxx，返回目录 yx2x2xx1，当 x0 时，yx2x21，即 f(x)limx0yxlimx0 2x2xx1 2x21.分别将 x1,2,4 代入可得f(1)211；
8、f(2)24112；f(4)216178.返回目录【变式 2】求函数 y4x2在 x2 处的导数解析 方法一 导数定义法：y4x22 4224x221x24xx22，yx x4x22.y|x2limx0yxlimx0 x4x221.返回目录 方法二 导函数的函数值法：y4xx24x24x2xxx2xx2，yx42xxx2xx2，ylimx0yxlimx042xxx2xx28x3，y|x2 8231.返回目录 函数f(x)在xx0处的瞬时变化率就是该函数在xx0处的导数，物体在某一时刻tt0的瞬时速度就是相应运动方程在tt0处的导数 考点三 函数变化率的应用返回目录【例题 3】已知质点 M 按规
9、律 s2t23 做直线运动(s 的单位：cm，t 的单位：s)(1)当 t2，t0.01 时，求st；(2)当 t2，t0.001 时，求st；(3)求质点 M 在 t2 时的瞬时速度思维导引：s 即位移的改变量，t 即时间的改变量，st即平均速度t 越小，求出的st越接近某时刻的瞬时速度返回目录 解析 ststtstt2tt232t23t4t2t.(1)当 t2，t0.01 时，st4220.018.02(cm/s)(2)当 t2，t0.001 时，st4220.0018.002(cm/s)(3)质点M在t2时的瞬时速度vlimt0stlimt0(4t2t)4t428(cm/s)返回目录【变式 3】高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)之间的关系式为 h(t)4.9t26.5t10，求运动员在 t6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动情况解析 令 t06598，t 为增量，则ht0tht0t 1t4.96598t 2 6.56598t 104.9659826.5659810 4.9t2t4.9t，返回目录 limt0ht0tht0tlimt0(4.9t)0，即运动员在 t06598 s 时的瞬时速度为 0 m/s.说明运动员此时处于跳水运动中离水面最高点处返回目录 课末随堂演练返回目录 课后限时作业