1、理科数学第I卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分共50分 1.已知全集等于A.B.C.D. 2.i是虚数单位，则= A.B.C. D. 3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A） （B） （C） （D）4. 用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（A）方程没有实根（B）方程至多有一个实根（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根5.设是空间三条直线，是两个平面，则下列命题为真命题的是A.若B.若C.若D.若6. 设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为(A) 3 (B
2、)2 (C)1 (D)-17.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是A. B. C. D.96 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 频率/组距 第8题图 8.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96， 98），98，100), 100，102)，102，104),104，106,已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A
3、）90 (B）75 (C） 60 (D）459. 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为(A） (B） 5 (C） (D）10. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0，a1)的图象过区域M的a的取值范围是（A）1,3 (B)2, (C)2,9 (D), 9第II卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则 .12. 设函数f(x)=ax2+c(a0)，若，0x01，则x0的值为 .13. 在中，已知，当时，的面积为 .14. 如图所示，四个相同的直角三
4、角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_.15.已知函数，现有四个命题：；对于恒成立；不存在三个点，使得为等边三角形.其中真命题的序号为_.（请将所有真命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）在中，内角A,B,C的对边为a,b,c.已知.（I）求角C的值；（II）若，且的面积为，求.17.（本小题满分12分）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮现有8个相同
5、的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量11123从中随机地选取5只（）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推设表示所得的分数，求的分布列及数学期望18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.19.（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为.
6、满足，且恰为等比数列的前三项.(I)求数列，的通项公式(II)设是数列的前n项和.是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.21.（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。理科数学答案（
7、2016.5）11.-3 12. 13. 14. 15. 1.2.3 1-10 DBBAC ADADC16. 解：（）, ,.2分，即，,又是三角形的内角， .6分（）,.9分又， .12分17、解：（）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率4分（） 8分的分布列为：10864P- 12分18. （）证明：由四边形ABCD为菱形，ABC=60，得ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AEBC. 又BCAD，因此AEAD.因为PA平面ABCD，AE平面ABCD， 所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD. 所以 AEPD.（
8、）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，则EHA为EH与平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 当AH最短时，EHA最大，即 当AHPD时，EHA最大.此时 tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45，所以 PA=2.解法一：因为 PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平面ABCD.过E作EOAC于O，则EO平面PAC， 过O作OSAF于S，连ES，则ESO为二面角E-AF-C的平面角，在RtAOE中，EO=AEsin30=，AO=AEcos30=,又F是PC的中点，在RtASO中，SO=AOsin45=,又在RtE
9、SO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm,=因为 二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为（19）解：（）设等差数列的公差为，所以， 解得， 所以 . . .
10、5分 （）,所以，.9分 所以,单调递减，得，而，所以不存在，使得等式成立. .12分20.（1），解，得；解，得；所以在上单调递增，在上单调递减（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得（3）不等式恒成立，即恒成立，令，则令，则， ，在上单调递增，,从而，所以在上单调递增,且，所以.21. 解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
