1、课时素养检测 六平面向量基本定理(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1【解析】选ABC.选项A中,设e1+e2=e1,则无解;选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.2.如图,在
2、OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则()A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】选A.由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.【补偿训练】在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n(m,nR),则的值是_.【解析】方法一:根据题意可知AFECFB,所以=,故=(-)=-,所以=-2.方法二:如图,=2,=m+n,所以=+=m+(2n+1),因为F,E,B三点共线,所以m+2n+1=1,所以=-2.答案:-23.如果e1,e2是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是()a=e1+e2(,R)
3、可以表示平面内的所有向量;对于平面内任一向量a,使a=e1+e2的实数对(,)有无穷多个;若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线,则=;若实数,使得e1+e2=0,则=0.A.B.C.D.【解析】选B.由平面向量基本定理可知,是正确的.对于,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于,当12=0或12=0时不一定成立,应为12-21=0.4.平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若=+,则+=()A.B.2C.D.【解析】选D.因为=+,=+=+,=-.所以=+=+(-),所以解得则+=.5.设点O为面积为4的ABC内部一点,且有+2=0,
4、则AOC的面积为()A.2B.1C.D.【解析】选B.如图,以,为邻边作OADB,则=+,结合条件+2=0知,=-2,设OD交AB于M,则=2,所以=-,故O为CM的中点,所以SAOC=SCAM=SABC=4=1.6.如图所示,在ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为()A.=a+bB.=a+bC.=a+bD.=a+b【解析】选A.由于=a,=,=b,=b,则=-=b-a,=-=b-a.设=,=,由-=,得-=a,得解得因此=+=a+=a+b.二、填空题(每小题4分,共8分)7.在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,点M,
5、N分别是CD,AB的中点,设=a,=b.若=ma+nb,则=_.【解析】因为=+=-a-b+a=a-b,所以m=,n=-1,所以=-4.答案:-48.在平行四边形ABCD中,点E和F分别是边CD和BC的中点.若=+,其中,R,则+=_.【解析】选择,作为平面向量的一组基底,则=+,=+,=+,又=+=+,于是得即故+=.答案:【补偿训练】如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为_【解析】因为点O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.又因为M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,所以mn=1
6、,当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.答案:1三、解答题(每小题14分,共28分)9.在OAB的边OA,OB上分别取M,N,使|OM|OA|=13,|ON|OB|=14,设线段AN与BM的交点为P,=a,=b,用a,b表示.【解析】因为A,P,N三点共线,所以=+(1-)=a+(1-)b.又因为M,P,B三点共线,所以=+(1-)=a+(1-)b.所以解得所以=a+b.10.已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求+;(2)若PQ过ABO的重心G,且=a,=b,=m a,=n b,求证:+=3.【解析】(1)因为+=2,又2=-,所以+=-+=0.(2)因为=(a+b),
7、且G是ABO的重心,所以=(a+b).由P,G,Q三点共线,得,所以有且只有一个实数,使=,又=-=(a+b)-ma=a+b,=-=nb-(a+b)=-a+b,所以a+b=.又a,b不共线,所以消去,整理得3mn=m+n,故+=3.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=+,则+的值为()A.B.-C.1D.-1【解析】选A.由题意得=+=+-=-,所以=-,=1,所以+=.2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的
8、值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,所以解得3.(多选题)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,不是该平面内所有向量基底的是()A.,B.,C.,D.,【解析】选ABC.D项由于,不共线,所以是一个基底.4.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+【解析】选C.=+=+=-+=-+=-+(+)=-+.二、填空题(每小题4分,共16分)5.如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=_,=_,=_
9、(用向量a,b表示).【解析】=+=-b-a+b=b-a,=+=-b+=b-a,=+=-b-=a-b.答案:b-ab-aa-b6.如图,已知ABC中,D为边BC上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若=m+n,则m+n=_.【解析】依题意得=+=+=+(-)=+,故=+=+=-+=-,故m+n=-=-.答案:-7.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=1+2(1,2为实数),则1+2的值为_.【解析】=+=+=+(-)=-+,因为=1+2,所以1=-,2=,故1+2=.答案:8.向量a在基底e1,e2下可以表示为a=2e1+3e2,若a在基底e1+
10、e2,e1-e2下可表示为a=(e1+e2)+(e1-e2),则=_,=_.【解析】由条件得2e1+3e2=(e1+e2)+(e1-e2),所以,解得答案:-三、解答题(共38分)9.(12分)如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点, 设=b,=d,=m,=n.(1)试以b,d为基底表示;(2)试以m,n为基底表示.【解析】(1)=-=(+)-(+)=-=(b-d).(2)m=+=d+,n=+=+d,所以2n=2+d.由消去d,得=n-m.10.(12分)如图,在ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试
11、问:+是否为定值?【解析】设=a,=b,则=x a,=y b,=(+)=(a+b),所以=-=(a+b)-x a=a+b,=-=y b-x a=-x a+y b,因为与共线,所以存在实数,使=,所以a+b=(-x a+y b)=-x a+y b.因为a与b不共线,所以消去,得+=4,所以+为定值.11.(14分)设e1,e2是不共线的向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b可以作为一组基底;(2)以a,b为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;(3)若4e1-3e2=a+b,求,的值.【解析】(1)假设a=tb(tR),则e1-2e2=t(e1+3e2),由e1,e2不共线,得故t不存在,所以a与b不共线,可以作为一组基底.(2)设c=ma+nb(m,nR),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2,即解得所以c=2a+b.(3)由4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e1-2e2)+(e1+3e2)=(+)e1+(-2+3)e2,即解得