1、课时素养评价 四十七独立事件的概率 (20分钟35分)1.已知甲、乙两人独立出行,各租用共享单车一次(假定费用只可能为1,2,3元).甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5,0.2,甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2,0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为()A.0.18B.0.3C.0.24D.0.36【解析】选B.由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4,所以甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为P=0.50.2+0.20.4+0.30.4=0.3.2.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()A
2、.B.C.D.【解析】选D. 设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则P(A)=, P(B)=,P(C)=,停车一次即为事件BC+AC+AB的发生,故概率P= +=.3.2019年10月20日,第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”,其中有5项成果均属于芯片领域,分别为华为高性能服务器芯片“鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”“特斯拉全自动驾驶芯片”寒武纪云端AI芯片“思元270”赛灵思“Versal自适应计算加速平台”.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解,且学生之间的选择互不影响,则至少有1名学生选择“
3、芯片领域”的概率为()A.B.C.D.【解析】选D.根据题意可知,1名学生从15项中任选1项,其选择“芯片领域”的概率为=,故其没有选择“芯片领域”的概率为,则3名学生均没有选择“芯片领域”的概率为=,因此至少有1名学生选择“芯片领域”的概率为1-=.4.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)=_.【解析】因为P()P()=,P()P(B)=P()P(A),设P(A)=x,P(B)=y,所以,所以x=.答案:5.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为,且他们是否破译出密码互不影响,
4、则至少有1人破译出密码的概率是_.【解析】依题意,设事件A表示至少有1人破译出密码,则事件A的对立事件表示三人都没有破译出密码,则P(A)=1-P()=1-=.答案:6.袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个,从中任取1只,有放回地抽取3次.求:(1)3只全是红球的概率;(2)3只颜色全相同的概率;(3)3只颜色不全相同的概率.【解析】由于是有放回地取球,因此袋中每只球每次被取到的概率均为.(1)3只全是红球的概率为P1=.(2)3只颜色全相同的概率为P2=2P1=2=.(3)3只颜色不全相同的概率为P3=1-P2=1-=. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.下列各对事
5、件中,是相互独立事件的是()A.运动员甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”【解析】选B.在A中,甲射击一次,“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件,不独立;在B中,甲、乙各射击一次,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;在C中,甲,乙各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二者是
6、互斥事件,不独立;在D中,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因此当P(A)1时,P(AB) P(A)P(B),故A、B不独立.2.下列对各事件发生的概率判断正确的是()A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B.三人独立地破译一份密码,他们能单独译出的概率分别为,假设他们破译密码是彼此独立的,则此密码被破译的概率为C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为D.设两个独立事件A和B都
7、不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是【解析】选C.对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为=,故A错误;对于B,用A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为=,所以此密码被破译的概率为1-=,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为+=,故C正确;对于D,易得P(A)=P(B),即P(A)P()=P(B)P(),即P(A)1-
8、P(B)=P(B)1-P(A),所以P(A)=P(B),又P( )=,所以P()=P()=,所以P(A)=,故D错误.3.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为,.只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进入第三关的概率为()A.B.C.D.【解析】选C.设Ai=“第i次通过第一关”,Bi=“第i次通过第二关”,其中i=1,2;由题意选手能进入第三关的事件为:A1B1+A2B1+A1B2+A2B2,所以概率为P=+=.4.设M,N为两个随机事件,给出以下命题:(1)若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N
9、)=,则P(M+N)=;(2)若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;(3)若P()=,P(N)=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;(4)若P(M)=,P()=,P(MN)=,则M,N为相互独立事件;(5)若P(M)=,P(N)=,P( )=,则M,N为相互独立事件;其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.若M,N为互斥事件,且P(M)=,P(N)=,则P(M+N)=+=,故(1)正确;若P(M)=,P(N)=,P(MN)=,则由相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(2)正确;若P()=,P(N)=,P(MN)=,则P(M)=1-P
10、()=,P(MN)=P(M)P(N),由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(3)正确;若P(M)=,P()=,P(MN)= ,当M,N为相互独立事件时,P(N)=1-P()=,P(MN)=,故(4)错误;若P(M)=,P(N)=,P( )=,则P(MN)=P(M)P(N)=,P( )=1-P(MN),由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M,N为相互独立事件,故(5)正确. 二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.从甲袋中摸出一个红球的概率是,从乙袋中摸出一个红球的概率是,从两袋各摸出一个球,下列结论正
11、确的是()A.2个球都是红球的概率为B.2个球不都是红球的概率为C.至少有1个红球的概率为D.2个球中恰有1个红球的概率为【解析】选ACD.设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1,“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2,则P(A1)=,P(A2)=,且A1,A2独立;在A中,2个球都是红球为A1A2,其概率为=,A正确;在B中,“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件,其概率为,B错误;在C中,2个球中至少有1个红球的概率为1-P()P()=1-=,C正确;2个球中恰有1个红球的概率为+=,D正确.6.如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣分别为A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险
12、丝被切断的概率,下列结论正确的是()A.AB所在线路畅通的概率为B.ABC所在线路畅通的概率为C.DE所在线路畅通的概率为D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为【解析】选BD.由题意知,A,B,C,D,E保险闸被切断的概率分别为P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P=,所以A、B两个箱子畅通的概率为=,因此A错误;D、E两个箱子并联后畅通的概率为1-=1-=,因此C错误;A、B、C三个箱子混联后畅通的概率为1-=1-=,B正确;根据上述分析可知,当开关合上时电路畅通的概率为=,D正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.投到某出版社的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初
13、审专家的评审,则直接予以录用,若两位初审专家都未予通过,则不予录用,若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为,复审的稿件能通过评审的概率为,各专家独立评审,则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为_.【解析】记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审;B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审;C表示事件:稿件能通过复审专家的评审;D表示事件:稿件被录用,则D=A+BC,P(A)=,P(B)=2=,P(C)=,所以P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(BC) =P(A)+P(B)P(C)=+=
14、.答案:8.甲、乙两人同时参加公务员考试,甲笔试、面试通过的概率分别为和;乙笔试、面试通过的概率分别为和.若笔试、面试都通过则被录取,且甲、乙录取与否相互独立,则该次考试甲、乙同时被录取的概率是_,只有一人被录取的概率是_.【解析】甲被录取的概率为P1=,乙被录取的概率为P2=,则该次考试甲、乙同时被录取的概率是P=P1P2=,只有一人被录取的概率是P=P1+P2(1-P1)=+=.答案: 四、解答题(每小题10分,共20分)9.在校体育运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率
15、为,乙胜丙的概率为.(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.【解析】(1)若甲队获第一名且丙队获第二名,即甲胜乙,甲胜丙,且丙胜乙,即P=,即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是;(2)当甲队恰得3分,即甲队胜了一场时,甲胜乙且丙胜甲,或甲胜丙且乙胜甲,P=+=,当甲恰得6分,即甲队胜了2场,即P=,那么该次比赛中甲队至少得3分的概率P=+=.10.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2 . 已知各轮问题能否正确回答互不影响
16、.(1)求该选手被淘汰的概率;(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题被淘汰的概率.【解析】(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i=1,2,3,4),则P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(A3)=0.5,P(A4)=0.2.该选手被淘汰的概率:P=P(+A1+A1 A2+A1 A2 A3)=P()+P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P(A2)P(A3)P()=0.4+0.60.6+0.60.40.5+0.60.40.50.8=0.976.(2) P=P(A1+A1 A2+A1 A2 A3)=P(A1)P()+P(A1)P(A2)P()+P(A1)P
17、(A2)P(A3)P()=0.60.6+0.60.40.5+0.60.40.50.8=0.576.1.在荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶),而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示.假设现在青蛙在A叶上,则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.B.C.D.【解析】选A.若按照顺时针方向跳的概率为p,则按逆时针方向跳的概率为2p,可得p+2p=3p=1,解得p=,即按照顺时针方向跳的概率为,按逆时针方向跳的概率为,若青蛙在A叶上,则跳3次之后停在A叶上,则满足3次逆时针或者3次顺时针.若先按逆时针开始从ABC,则对应的概率为=;若
18、先按顺时针开始从ACB,则对应的概率为=,则概率为+=.2.甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7,0.6,且每次射击命中与否相互之间没有影响,求:(1)甲射击三次,第三次才命中目标的概率;(2)甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率.【解析】记“甲第i次射击命中目标”为事件Ai,“乙第i次射击命中目标”为事件Bi,依题意得P=0.7,P=0.6,且Ai,Bi(i=1,2,3)相互独立.(1)“甲第三次才命中目标”为事件 A3,且三次射击相互独立,所以P=P()P()P=0.30.30.7=0.063.答:甲第三次才命中目标的概率为0.063.(2)记“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C.P(C)=1-PP()=1-0.30.4=0.88.答:甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为0.88.
